2024-2025学年江苏省镇江市九年级上学期数学期中试卷【附答案】

/2024-2025学年江苏省镇江市九年级上学期数学期中卷一、选择题（本大题共计10小题，每题3分，共计30分）

1.下列各式中，y是x的二次函数的是（

）A.y=x2−1 B.y=1x2

2.关于x的一元二次方程ax2+bx+A.2019 B.2018 C.2021 D.2020

3.如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为A1,1,B3,1,A.−23≤k≤−12 B.

4.二次函数y=A.函数的对称轴是直线xB.当x<2时，y随C.函数的开口方向向上D.函数图象与y轴的交点坐标是0

5.将抛物线y=−2x2向右平移A.y=−2x+12 B.y

6.在同一平面直角坐标系中，正比例函数y=kx和一次函数A. B.

C. D.

7.如果关于x的一元二次方程kx2−A.k<12

B.k<12且k≠0

C.−12≤8.关于二次函数y=−A.该抛物线与y轴的交点坐标是0B.当x=2C.该抛物线与x轴没有交点D.当x>−2时，y随

9.若二次函数y=mx2+A.m=0 B.m=−1 C.m=

10.如图，等边△ABC中，D、E分别在AB、BC边上，且AD=2BE=6,将DE绕点E顺时针旋转60∘，得到EF，取EF中点G，连接AG，延长CF交AG于点A.32 B.9 C.22 二、填空题（本大题共计5小题，每题3分，共计15分）

11.已知二次函数y=x2+2mx+2，当x

12.已知函数y=a−

13.已知关于x的一元二次方程x2+2k+8x+

14.观察下列图形规律：当n＝________时，图形“●”的个数和“△”的个数相等．

15.已知二次函数y=ax2+bx+ca≠0的图象如图所示，有下列结论：三、解答题（本大题共计8小题，每题10分，共计80分）

16.解方程：（1）x+（2）x2

17.如图，隧道的截面由抛物线和长方形构成．长方形的长为16m，宽为6m，抛物线的最高点C离路面AA1的距离为8m．（1）建立适当的坐标系，求出表示抛物线的函数表达式；（2）一大型货车装载设备后高为7m，宽为4m．如果隧道内设双向行驶车道，那么这辆货车能否安全通过？

18.已知关于x的一元二次方程a+cx2+2bx+a−

19.如图，抛物线y=x2−2x−3与x轴交A、B两点（A点在B点左侧），直线l与抛物线交于A、（1）求A、B两点的坐标及直线AC的函数表达式；（2）P是线段AC上的一个动点，过P点作y轴的平行线交抛物线于E点，求线段PE长度的最大值．

20.已知关于x的一元二次方程41求证：无论m取任何值时，方程都有两个不相等的实数根；2设该方程的两个实数根为a，b，若a2+b

21.某农经公司以40元/千克的价格收购一批农产品进行销售，经过市场调查，发现该产品日销售量p（千克）与销售价格x（元/千克）之间满足一次函数关系，部分数据如表：

销售价格x（元/千克）4050607080日销售量p（千克）1201008060401求p与x之间的函数表达式；2农经公司应该如何确定这批农产品的销售价格，才能使日销售利润最大？

22.如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A−3,0，（1）求抛物线的表达式．（2）点P是抛物线上位于线段AC下方的一个动点，连接AP，CP，求△APC面积最大时点P（3）在抛物线上是否存在点Q，使得以点A，C，Q为顶点的三角形是直角三角形？如果存在，请直接写出所有满足条件的点Q的坐标；如果不存在，请说明理由．

23.在平面直角坐标系中，O为坐标原点，直线y=kx−2kk≠0与x轴交于点B．与y轴交于点A，直线y=−x+b与x轴交于点C1如图1，求证：BE=2如图2，连接AE，EF⊥AB于点F．∠BEF=2∠EAF，AG⊥AE，AG交x轴的负半轴于点G，设BF的长为t3如图3，在2的条件下，当CG=5时，求点

参考答案与试题解析2024-2025学年江苏省镇江市九年级上学期数学期中卷一、选择题（本大题共计10小题，每题3分，共计30分）1.【答案】A【考点】二次函数的定义【解析】此题暂无解析【解答】A2.【答案】C【考点】一元二次方程的解列代数式求值【解析】此题暂无解析【解答】解：把x=−1代入方程得：

a−b+1=0，即a−b=−1，

3.【答案】B【考点】一次函数图象与系数的关系待定系数法求一次函数解析式【解析】此题暂无解析【解答】【详解】解：把A1,1代入y=kx+3得1=k+3，解得k=−2

把C2,2代入y=kx4.【答案】B【考点】二次函数的性质【解析】利用二次函数的解析式与图象，判定开口方向，求得对称轴，与y轴的交点坐标，进一步利用二次函数的性质判定增减性即可．【解答】解：∵y=x2−2x−3=x−12−4，

∴对称轴为直线x=1，

又∵a=1>0，开口向上，

∴x<1时，y随5.【答案】D【考点】二次函数图象的平移规律二次函数图象与几何变换【解析】此题暂无解析【解答】D6.【答案】A【考点】一次函数的图象【解析】此题暂无解析【解答】【详解】当k>0时，正比例函数y=kx经过第一、三象限，一次函数y=kx−k经过第一、

三、四象限；

当k<0时，正比例函数y=7.【答案】D【考点】根的判别式【解析】此题暂无解析【解答】【解答】解：由题意知：

2k+1≥0,k≠0，Δ=8.【答案】D【考点】二次函数的最值二次函数的图象二次函数的性质【解析】此题暂无解析【解答】D9.【答案】C【考点】抛物线与x轴的交点根的判别式【解析】此题暂无解析【解答】C10.【答案】B【考点】全等的性质和SAS综合（SAS）等边三角形的性质根据旋转的性质求解由平行截线求相关线段的长或比值【解析】在BC上截取CM=BE=3，连接FM，则利用等边三角形的性质得BD=EM，再根据旋转的性质得到∠DEF=60∘,ED=EF，接着可证明△BDE≅△MEF，得到∠B=∠EMF=60∘,BE=MF=CM，则∠MCF=∠MFC=30∘，所以CH平分∠ACB；延长CH交AB于N，作【解答】

解：在BC上截取CM=BE=3，连接FM，

∵△ABC为等边三角形，

∴AB=BC,∠B=60∘，AD=2BE=BE+CM，

∴BD=EM，

∵将线段DE绕点E顺时针旋转60∘，得到线段EF，

∴∠DEF=60∘,ED=EF，

∴∠DEB+∠MEF=120∘，

而∠DEB+∠BDE=120∘，

∴∠BDE=∠MEF，

在△BDE和△MEF中，

BD=ME∠BDE=∠MEFDE=EF ，

∴△BDE≅△MEFSAS，

∴∠B=∠EMF=60∘,BE=FM，

∴MF=CM，

∴∠MCF=∠MFC=12二、填空题（本大题共计5小题，每题3分，共计15分）11.【答案】m【考点】二次函数的性质二次函数的图象二次函数的最值【解析】先求出抛物线的对称轴，再根据当x>2时，y的值随x的增大而增大及抛物线的开口方向，即可求出【解答】抛物线的对称轴为直线x=−2m2×1=−m

：当x>2时，y的值随12.【答案】1，2或−【考点】抛物线与x轴的交点求抛物线与y轴的交点坐标【解析】需要分三种情况：①函数为一次函数时；②函数为二次函数，与x轴有一个交点，与y轴有一个交点；③函数为二次函数，有一定经过原点；按以上三种情况分别求出a的值即可.【解答】解：①当函数为一次函数时，即a−1=0，解得a=1；

②当函数为二次函数时a≠1，与x轴有一个交点，与y轴有一个交点，

∵x轴有一个交点，

.∴△=−2a2−4a+2a−1=0，解得：a=2

③函数为二次函数时a13.【答案】4【考点】根的判别式根与系数的关系【解析】此题暂无解析【解答】【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2+2k+8x+k2=0的两根为x1,x2，

∴x1+x2=−2k+8,x1x2=14.【答案】5【考点】规律型：点的坐标规律型：数字的变化类规律型：图形的变化类【解析】首先根据n＝1、2、3、4时，“●”的个数分别是3、6、9、12，判断出第n个图形中“●”的个数是3n；然后根据n＝1、2、3、4，“△”的个数分别是1、3、6、10，判断出第n个“△”的个数是nn+12；最后根据图形“●”的个数和“【解答】∵n＝1时，“●”的个数是3＝3×1；

n＝2时，“●”的个数是6＝3×2；

n＝3时，“●”的个数是9＝3×3；

n＝4时，“●”的个数是12＝3×4；

∴第n个图形中“●”的个数是3n；

又∵n＝1时，“△”的个数是1=1×1+12；

n＝2时，“△”的个数是3=2×2+12；

n＝3时，“△”的个数是6=3×3+12；

n＝4时，“△”的个数是10=4×4+12；

∴第15.【答案】①②③④【考点】二次函数的性质【解析】①由图象与x轴的交点可以判断；

②根据开口方向可以判断a的正负，根据顶点坐标所在的位置可以判断b的正负，根据与y轴的交点可以判断c的正负，从而可以解答本题；

③根据对称轴可以确定a、b的关系，由x=−2对应的函数图象，可以判断该结论是否正确；【解答】解：由二次函数的图象与x轴两个交点可知，b2−4ac>0，故①正确；

由二次函数的图象可知，开口向上，则a>0，顶点在y轴右侧，则b<0（左同右异），图象与y轴交于负半轴，则c<0，故abc>0，故②正确；

由图象可知：−b2a=1，则b=−2a，当x=−2时，y三、解答题（本大题共计8小题，每题10分，共计80分）16.【答案】解：（1）x+22=2

x+2（2）x2−3x+2=0

x−2x−1【考点】解一元二次方程-直接开平方法解一元二次方程-因式分解法【解析】此题暂无解析【解答】解：（1）x+22=2

x+（2）x2−3x+2=0

x−2x−117.【答案】如图，以AA1所在直线为x轴，以线段AA1的中点为坐标原点建立平面直角坐标系，

根据题意得A−8, 0，B−8, 6，C0, 8，

设抛物线的解析式为y＝ax2根据题意，把x＝±4代入解析式y=−132x2+8，

得y＝【考点】二次函数的应用【解析】（1）根据抛物线在坐标系中的特殊位置，可以设抛物线的解析式为y＝ax2+8，再把B−8,【解答】如图，以AA1所在直线为x轴，以线段AA1的中点为坐标原点建立平面直角坐标系，

根据题意得A−8, 0，B−8, 6，C0, 8，

设抛物线的解析式为y＝ax2根据题意，把x＝±4代入解析式y=−132x2+8，

得y＝18.【答案】△ABC【考点】一元二次方程的解等腰三角形的定义【解析】此题考查了一元二次方程的解的定义．把x=−1代入一元二次方程得到【解答】解：△ABC是等腰三角形，

理由如下：把x=−1代入a+cx2+2bx+a19.【答案】解：（1）令y=0，解得x1=−1或x2=3，

∴A−1, 0B3, 0；

将C点的横坐标x=2代入y=x2−2x−3

得y=−3，

∴C（2）设P点的横坐标为x−1≤x≤2（注：x的范围不写不扣分）

则P、E的坐标分别为：Px, −x−1，Ex, 【考点】二次函数综合题【解析】（1）令y=0，解x2−2x−3=0（2）设出P点的横坐标，表示出P、E的坐标，可得PE长度的表达式，进而根据x的取值范围可得线段PE长度的最大值．【解答】解：（1）令y=0，解得x1=−1或x2=3，

∴A−1, 0B3, 0；

将C点的横坐标x=2代入y=x2−2x−3

得y=−3，

∴C（2）设P点的横坐标为x−1≤x≤2（注：x的范围不写不扣分）

则P、E的坐标分别为：Px, −x−1，Ex, 20.【答案】（1）证明：∵Δ=−4m+12−4（2）解：∵4x2−4m+1x+m2+2m=0的两个实数根为a，b，

∴a+b=m+1

,ab=14m2【考点】根的判别式根与系数的关系解一元二次方程-配方法【解析】此题暂无解析【解答】（1）证明：∵Δ=−4m+12−（2）解：∵4x2−4m+1x+m2+2m=0的两个实数根为a，b，

∴a+b=m+1

,ab=14m221.【答案】解：1设p=kx+b，

则40k+b=120，50k2设日销售利润w=px−40

=−2x+200x−40

即w=−2x2+280x【考点】一次函数的应用待定系数法求一次函数解析式二次函数的应用二次函数的最值【解析】

【解答】解：1设p=kx+b，

则40k+b=120，50k

2设日销售利润w=px−40

=−2x+200x−40

即w=−2x2+280x22.【答案】（1）抛物线的表达式为y（2）点P的坐标为−（3）存在，满足条件的点Q的坐标为−1,−4或2,【考点】待定系数法求二次函数解析式二次函数y=ax^2+bx+c(a≠0)的图象和性质二次函数综合——面积问题二次函数综合——特殊三角形问题【解析】（1）利用抛物线的交点式直接代值求解即可得到答案；（2）过点P作x轴的垂线，交AC于D，如图所示，由二次函数图象与性质，利用平面直角坐标系中三角形的面积求法得到S△APC=（3）当△ACQ为直角三角形时，分三种情况：①∠CAQ=90∘【解答】（1）解：∵抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A−3,（2）解：过点P作x轴的垂线，交AC于D，如图所示：

由1知抛物线的表达式为y=x2+2x−3，

∴抛物线与y轴交于点C0,−3，

设直线AC:y=kx+b′，将A−3,0、C0,−3代入得