河北省秦皇岛市山海关区2025届高三下学期考前保温数学试题（含解析）

第=page11页，共=sectionpages11页河北省秦皇岛市山海关区2025届高三下学期考前保温数学试题❖一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.集合A={y|y=x2−1,y∈N}，B={x|1−x|≤2}，那么A.{1,2,3} B.{0,1,2,3} C.[−1,3] 2.若复数z=1−ia+i为纯虚数，i为虚数单位，则z的虚部为A.1 B.i C.−1 D.−3.已知a为单位向量，|b|=2，|a+b|=6，则aA.14 B.12 C.14.从−2，−1，1，2，3，4，5，6这8个数中随机选取3个不同的数，则这3个数可以构成等差或等比数列的概率是(

)A.956 B.528 C.11565.已知梯形ABCD的外接圆直径为4213，AB=6，AD>2，∠ABC=π3，则梯形A.2 B.3 C.2 6.已知抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点为F，抛物线上有一点M，过点M的直线交抛物线的准线于点N，若MF⊥NF，|MF|=2|NF|=5，则p=(

A.14 B.12 C.17.已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π)在−π6,πA.23 B.43 C.2 8.设函数f(x)=(2x−1)ex−a+a(a<1)，若f(x)≤0有且仅有2个整数解，则A.14e B.12e C.二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分。9.在一次问答竞赛中，已知A组的成绩X与B组的成绩Y均服从正态分布，且X∼N(130,25)，Y∼N(135,36)，则(

)A.E(X)=130 B.D(Y)=6

C.P(X<110)+P(X≤150)=1 10.如图，四边形ABCD是一个正方形，AB=4，半圆面APD⊥平面ABCD，动点P在半圆弧AD⌢上运动(点P不与点A、D重合)，动点Q在线段PB上运动，下列说法正确的是(

)

A.平面PBD⊥平面PAB

B.存在点P使得PA⊥BD

C.当三棱锥体积VP−ABD最大时，二面角P−BD−A的正切值为2

D.当三棱锥体积VP−ABD最大时，11.如图，在一处四周都是镜子的暗房里，在A点平行于地面发出一条射线α，α与AB的夹角为θ，在AB中点处有一个感应器P(体积忽略不计)，已知AB=12，AD=m，则下列说法正确的是(

)

A.若m=3，射线α经过一次反射就被感应器捕捉到，则θ=π3

B.若m=8，射线α第一个反射点在BC边上，则最少需要折射三次才能被感应器捕捉到

C.无论AD长度如何变化，必定存在θ使得射线α反射两次就可以被感应器捕捉到

D.存在θ，使得射线α依次经过BC，AD，三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.若直线l:ax+2by=1的截距之和为2，且ab>0，则2a+b的最小值为13.已知函数f(x)=log2x+log4(4−ax)的值域为14.科学家发现一种特殊的粒子，现在把该粒子放在依次排开的1∼5号密封箱子中，两个箱子之间只有一条通道相连，该粒子每天只会出现在一个箱子里，第二天会随机出现在相邻箱子中的一个，若科学家每天只能观察一个箱子，则至少需要

天才能确保观测到该粒子.四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)已知各项都是正数的数列an，其前n项和为Sn，a(1)求an(2)若bn=16.(本小题15分)已知函数f(x)=x(1)当a=1时，求函数f(x)在x=1处的切线方程；(2)若f(x)<0恒成立，求a的取值范围17.(本小题15分)有一款网络答题竞赛游戏，答题类型有科普类与文学类两种，随机抽取了50名参赛人员进行答题偏好的问卷调查，调查所得数据如下表：科普类文学类合计男生5女生10合计2550(1)完成以上列联表，依据小概率值α=0.01的χ2(2)随着参赛人员越多，题库提供的题量越多，某同学统计了当参赛人数分别为2∼6人时，题库给出的题量y的数据，用最小二乘法得到答题量y关于参赛人数x的回归直线方程为y=bx−16，已知该组数据的相关系数r=0.99，题量y的方差sy2=600附：参考公式：χ2=回归系数b=i=1nx参考数据：α0.100.050.0100.0050.001x2.7063.8416.6357.87910.82818.(本小题17分)已知双曲线C:y2a2−x2b2=1(a>0,b>0)的上下焦点分别为F1(0,c)、F2(0,−c)，离心率为62，点F1到渐近线的距离为1，过点F(1)求双曲线C的方程；(2)若PF1−(3)证明：MF1+19.(本小题17分)如图，在边长为a的正方形ABCD中，E，F分别为边AB，AD上的点，连接CE，CF，EF，将△AEF沿着折线EF翻折，使点A到达点A1位置，连接A1(1)若E，F分别为边AB，AD上的中点，A1E⊥CF，求此时三棱锥(2)若EF=BE+DF，O是AC的中点.(ⅰ)求∠ECF的大小；(ⅱ)若正方形边长为2+1，当S△CEF取最小值，VA1−CEF取最大值时，求此时直线A答案和解析1.【答案】B

【解析】解：由A={y|y=x2−1,y∈N}，

则y可以取0，1，2，⋯，

由B={x||1−x|≤2}，得−2≤1−x≤2，

解得故选：B.2.【答案】A

【解析】解：由题意得，z=1−ia+i=所以a−1a2+1=0，a+1a2+1≠0，

所以a=1，所以z=−i故选：A.3.【答案】A

【解析】解：由|a+b|=又|a|=1,|b于是a在b上的投影向量的长度为|故选：A.4.【答案】C

【解析】解：从8个数中随机选取3个不同的数共有C8能构成等差数列的情况有：公差为1或−1的有{1,2,3}，{2,3,4}，{3,4,5}，{4,5,6}，公差为2或−2的有{−1,1,3}，{1,3,5}，{2,4,6}，公差为3或−3的有{−2,1,4}，{−1,2,5}，公差为4或−4的有{−2,2,6}，共10种情况，能构成等比数列的情况有：公比为−12或−2的有公比为12或2的有{1,2,4}，共2但{4,−所以构成等差或等比数列的概率是11故选：C.5.【答案】B

【解析】解：如图，

若梯形ABCD有外接圆，则梯形ABCD为等腰梯形，设梯形ABCD的外接圆半径为R，则由正弦定理得2R=BDsin 在△ABD中，由余弦定理可得：BD2=AB2解得AD=4，则梯形ABCD的高为ℎ=ADsin πS梯形ABCD设梯形ABCD的内切圆半径为r，根据等面积法，有S梯形ABCD=12故选：B.6.【答案】D

【解析】解：如图，过M作MM1⊥l由抛物线的定义知MM1=|MF|=5，

又MF⊥NF设∠FMN=α，则∠M1MN=α，

则|MN|=所以sin α=|NF||MN|=1所以∠MFx=∠M1MF=2α，

则|MF|cos ∠MFx=3，

所以p+3=|M故选：D.7.【答案】B

【解析】解：由f(x)=f(5π3−x)即f(x)的图象关于直线x=5π6对称，且故{−2πω3+φ=k即ω=2由函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π)在−π得T2≥π所以0<ω⩽2，0<23(k+12)⩽2，

解得−12<k⩽当k=0时，ω=13，则−2π9+φ=k3π，此时f(x)=sin (13x+2π9由于y=sin x在π6,π3上单调递增，当k=1时，ω=1，则−2π3+φ=k4π，k4此时f(x)=sin (x+2π3)，

由于y=sinx在π2,π上单调递减，

故当k=2时，ω=53，−10π9+φ=k5π，此时f(x)=sin (53x+π9由于y=sin x在−π6,2π3综上，ω=13或1，则ω故选：B.8.【答案】C

【解析】解：f(x)=(2x−1)(e令g(x)=(2x−1)ex，则当x<−12时，g′(x)<0，

当x>−12时，g′(x)>0，

由f(x)=(2x−1)ex−2ax+2a⩽0，

根据题意，存在2个整数解使得(2x−1)e则函数g(x)与直线y=2ax−2a的图象有2个横坐标为整数的交点，

直线y=2ax−2a必过(1,0)点，函数g(x)在x=0处的导数g′(0)=1，

则切线方程为y=x−1且经过(1,0)点，即此时直线y=2ax−2a与g(x)相切，此时a=12，

又因为a<1，分析图象可知，

另一个交点只能在即a可以取最大值，g(−1)=−3e，

当直线y=2a(x−1)过点(−1,−3e)时，故选：C.9.【答案】ACD

【解析】解：对于A，B，因为X∼N(130,52)所以E(X)=130，D(Y)=36，故A正确，B错误；对于C，因为P(X<110)+P(X⩽150)=P(X>150)+P(X⩽150)=1，故C正确；对于D，P(X<140)=P(X<130+2×5)=P(Y<135+2×6)>P(Y<145)，故D正确.故选：ACD.10.【答案】ACD

【解析】解：因为四边形ABCD为正方形，则AB⊥AD，

因为平面ABCD⊥平面PAD，平面ABCD∩平面PAD=AD，AB⊂平面ABCD，

所以AB⊥平面PAD，对于A，因为AB⊥平面PAD，PD⊂平面PAD，

所以PD⊥AB，因为PA⊥PD，PA∩AB=A，PA、AB⊂平面PAB，

所以PD⊥平面PAB，因为PD⊂平面PBD，所以平面PBD⊥平面PAB，故A正确；对于B，当点P运动到某一位置时，PA⊥BD，

由圆的几何性质可知PA⊥PD，因为BD∩PD=D，BD、PD⊂平面PBD，

所以PA⊥平面PBD，因为PB⊂平面PBD，所以PA⊥PB，因为AB⊥平面PAD，PA⊂平面PAD，

所以AB⊥PA，这与PA⊥PB矛盾，故B错误；对于C，如图1，取线段AD的中点O，连接PO，

过点O在平面ABCD内作ON⊥BD，垂足为点N，连接PN，当三棱锥体积VP−ABD最大时即点P为半圆弧的中点，PA=PD因为O为AD的中点，所以PO⊥AD，因为平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，PO⊂平面PAD，

所以PO⊥平面ABCD，因为BD⊂平面ABCD，所以BD⊥PO，因为ON⊥BD，PO∩ON=O，OP、ON⊂平面PON，

所以BD⊥平面PON，因为PN⊂平面PON，所以PN⊥BD，所以二面角P−BD−A的平面角为∠PNO，因为sin ∠ADB=ABBD=ON所以，tan ∠PNO=POON=22=对于D，将平面PAB与平面PBD展开成平面图，连接AD，如图2所示，

此时|AQ|+|DQ|最小，

由题意可知PA=PD=22，PB=26，BD=42，

cos ∠APD=再由余弦定理可知AD即(AQ+DQ)2的最小值为16+166故选：ACD.11.【答案】BC

【解析】解：由于该射线平行于地面，

根据题意可视为射线α在平面四边形ABCD内部发生反射，对于A，当m=3时，发出射线α使其反射点在AB靠近A端的四等分点，反射后再正好被感应器P捕捉，所以tanθ=33=1，则对于B，当m=8时，第一次反射在BC边上，

所以不可能只反射一次就被感应器P捕捉，如图1，假设反射两次后被感应器P捕捉，则第二次反射一定在CD边上，将平面依次向右、向上翻折一次，P到达P′观察线段AP设直线kAP′=2AD32AB=所以线段不可能完全在平面与翻折平面构成图形的内部，即不可能经过两次反射后被感应器P捕捉；如图2，计算得：tanθ=8+812+12+6=815时可以反射三次后被感应器P捕捉(线段对于C，如图3，依次将平面向上、向右翻折，连接AP′，

观察线段PP所以AP′与直线CD的交点M在线段故线段AP意味着射线α将依次经过CD、BC反射后被感应器P捕捉，反射了两次，故C正确；对于D，如图4，同C翻折，同理分析，观察线段P′所以线段AP′一定不可能完全在平面与翻折平面构成图形的内部，故D故选：BC.12.【答案】94【解析】解：将直线l转换为截距式，即x1a+由2a+b=1当且仅当ba=a故得2a+b的最小值为9故答案为：913.【答案】1

【解析】解：因为f(x)=log2 即log4 (4x−ax2)≤1，

又y=log4则a>0，

由y=4x−ax2=−a(x−2a)2+此时f(x)=log2 f(x)=log4(−x2则得f(x)≤f(2)=1，符合题意.故答案为：1.14.【答案】6

【解析】解：假设考虑最坏情况，粒子会以对抗方式移动以尽可能避免被观测，科学家第一天查看2号或者4号箱子，以2号箱子为例，如果没观察到粒子，则粒子一定在1，3，4，5这四个箱子中的一个，第二天粒子一定会在2，3，4，5这四个箱子中的一个，第二天科学家去3号箱子查看，如果没有观察到粒子，则粒子一定在2，4，5这三个箱子中的一个，所以第三天粒子一定会在1，3，4，5这四个箱子中的一个，第三天科学家去4号箱子查看，如果没有观察到粒子，则粒子一定在1，3，5这三个箱子中的一个，所以第四天粒子一定在2，4这两个箱子中的一个，第四天科学家去2号箱子查看，如果没有观察到粒子，则粒子一定在4号箱子，则第5天粒子一定在3，5这两个箱子中的一个，第五天科学家去3号箱子查看，如果没有观察到粒子，则粒子一定在5号箱子，第六天一定在4号箱子，因此科学家第六天去4号箱子一定能观察到它，这时6天一定可以确保观察到粒子，其他情况确保观察到粒子都不少于6天.故答案为：6.15.【答案】解：(1)由题意得4S所以2Sn−12=a所以2Sn当n≥2时，有4S所以2a所以an−an−1=2，

故数列a所以an(2)证明：由(1)得bn所以1b所以1b裂项得12(

【解析】详细解答和解析过程见【答案】16.【答案】解：(1)当a=1时，f(x)=xex+x+则f所以f(1)=e，f所以切线方程为y−e=(2e+2)(x−1)，(2)解法一：f(x)=xeax+ax+f′(x)=eax当a≥0时，f′(x)>0，则当x>1时，不满足f(x)<当a<0时，当x=−1当0<x<−1a时，f′(x)>当x>−1a时，f′(x)<则f(x)的最大值为f(−1依题意ln(−1令t=−1a，g(t)=lnt+1则g′(t)=1又g(e)=lne+1e×e−2=0，

故g(t)所以0<−1a<e即a<−1e，则a的取值范围是解法二：由题意得f(x)=e设t=lnx+ax，则又因为f′(t)=et+1又f(0)=0，所以要使f(t)<0恒成立，需使t<即lnx+ax<0，得a<−lnx设ℎ(x)=−ln xx当0<x<e时，ℎ′(x)<0，当故ℎ(x)在(0,e)上单调递减，在所以ℎ(x)从而a<−1e，即a

【解析】详细解答和解析过程见【答案】17.【答案】解：(1)完成列联表如下：科普类文学类合计男生15520女生102030合计252550零假设为H0χ2根据小概率值α=0.01的χ2独立性检验，我们推断H0不成立，

即认为该游戏的答题偏好与性别有关联，此推断犯错误的概率不大于(2)由题意可得：x=15因为sy2=又因为r=i=1可得i=15所以b

【解析】详细解答和解析过程见【答案】18.【答案】解：(1)由题意得双曲线的一条渐近线方程为y=abx则焦点F1到渐近线的距离为|bc|又因为双曲线C的离心率e=ca=62，a2则双曲线C的方程为y2(2)设P(x1,y1)、Q(x2,y2)因为kPF1=y1−3又因为kPF1=kQF2，即又因为NQ与F1F2互相平分，

所以四边形F所以PF设PF1的直线方程为代入双曲线方程整理得：(k所以{k2−2≠0故x1+x直线PF1与双曲线只有两个交点，

所以x1由弦长公式得：|PF1|−|N则2k4+7且由题意可知|PF