第八节　三角函数与解三角形的实际应用-2026版高考数学一轮总复习

第八节三角函数与解三角形的实际应用高中总复习·数学课标要求

1.

会运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些简单的实际问题.2.

会用三角函数解决简单的实际问题.目录CONTENTS知识·逐点夯实01.考点·分类突破02.课时·跟踪检测03.PART01知识·逐点夯实必备知识|课前自修

测量中的几个有关术语术语名称术语意义图形表示仰角与俯角在目标视线与水平视线（两者在同一铅垂面

内）所成的角中，目标视线在水平视线上方

的角叫做

，目标视线在水平视线下

方的角叫做

⁠

方位角从某点的指北方向线起按顺时针方向到目标

方向线之间的夹角叫做

.方位角

θ的范围是

⁠

仰角

俯角

方位角

0°≤θ＜360°

术语名称术语意义图形表示方向角正北或正南方向线与目标方向线所成的锐

角，通常表达为北（南）偏东（西）α例：

坡角与坡比

1.

判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）（1）东北方向就是北偏东45°的方向.

（

√

）（2）从A处望B处的仰角为α，从B处望A处的俯角为β，则α，β的关

系为α＋β＝180°.

（

×

）

（4）方位角与方向角的实质是一样的，均是确定观察点与目标点之间的

位置关系.

（

√

）√××√2.

两座灯塔A和B与海岸观察站C的距离相等，灯塔A在观察站北偏东

40°，灯塔B在观察站南偏东60°，则灯塔A在灯塔B的（

）A.

北偏东10°B.

北偏西10°C.

南偏东10°D.

南偏西10°解析：

灯塔A，B的相对位置如图所示，由已知得

∠ACB＝80°，∠CAB＝∠CBA＝50°，则α＝60°－

50°＝10°，即北偏西10°，故选B.

√3.

如图所示，D，C，B三点在地面的同一条直线上，DC＝a，从C，D

两点测得A点的仰角分别是60°，30°，则A点离地面的高度AB＝

⁠

a

.

a

31

PART02考点·分类突破精选考点|课堂演练

三角函数模型的应用（师生共研过关）B.

当筒车旋转10

s时，盛水筒M对应的点P的纵坐标为0D.

盛水筒M第一次到达最高点需要的时间是25

s√√√

解题技法三角函数模型的实际应用类型及解题关键（1）已知函数解析式，利用三角函数的有关性质解决问题，其关键是准

确理解自变量的意义及函数的对应关系；（2）函数解析式未知时，需把实际问题抽象转化成数学问题，建立三角

函数模型，再利用三角函数的有关知识解决问题，其关键是建模.

√

解三角形应用举例（定向精析突破）考向1

测量距离问题

√

解题技法测量距离问题的类型及解法（1）类型：①两点间可视但不可达；②两点间既不可视也不可达；（2）解法：选择合适的辅助测量点，构造三角形，将问题转化为求某个

三角形的边长问题，从而利用正、余弦定理求解.考向2

测量高度问题

中国古代四大名楼鹳雀楼，位于山西省运城市永济市蒲州镇，因唐

代诗人王之涣的诗作《登鹳雀楼》而流芳后世.如图，某同学为测量鹳雀

楼的高度MN，在鹳雀楼的正东方向找到一座建筑物AB，高约为37

m，在

地面上点C处（B，C，N三点共线）测得建筑物顶部A，鹳雀楼顶部M

的仰角分别为30°和45°，在A处测得楼顶部M的仰角为15°，则鹳雀楼的高度约为（

）A.74

mB.60

mC.52

mD.91

m√

解题技法测量高度问题的三个注意点（1）要理解仰角、俯角、方向（位）角的概念；（2）在实际问题中，若遇到空间与平面（地面）同时研究的问题，最好

画两个图形，一个空间图形，一个平面图形；（3）注意山或塔垂直于地面或海平面，把空间问题转化为平面问题.考向3

测量角度问题

南偏西60°

解题技法测量角度问题的基本思路测量角度问题的关键是在弄清题意的基础上，画出表示实际问题的图

形，并在图形中标出有关的角和距离，再用正弦定理或余弦定理解三角

形，最后将解得的结果转化为实际问题的解.

1.

（2024·西安模拟预测）在100

m高的楼顶A处，测得正西方向地面上

B，C两点（B，C与楼底在同一水平面上）的俯角分别是75°和15°，

则B，C两点之间的距离为（

）√

A.

北偏东75°B.

南偏东15°C.

东北方向D.

东南方向√√

PART03课时·跟踪检测关键能力|课后练习

1.

台风中心从A地以每小时40

km的速度向西北方向移动，离台风中心30

km内的地区为危险区，若城市B在A地正西40

km处，则B城市处于危险区

内的时间为（

）A.0.5

hB.1

hC.1.5

hD.2

h√

2.

一个风车的半径为6

m，每12

min旋转一周，它的最低点P0离地面2

m，

风车翼片的一个端点P从P0开始按逆时针方向旋转，则点P离地面的距离

h（t）（m）与时间t（min）之间的函数关系式是（

）

√

A.346B.373C.446D.473√

A.7公里B.8公里C.9公里D.10公里√

5.

〔多选〕（2025·兰州高三诊断考试）某学校开展测量旗杆高度的数学

建模活动，学生需通过建立模型、实地测量、迭代优化完成此次活动.在

以下不同小组设计的初步方案中，一定可以计算出旗杆高度的方案有（

）A.

在水平地面上任意寻找两点A，B，分别测量旗杆顶端的仰角α，β，

再测量A，B两点间的距离B.

在旗杆对面找到某建筑物（低于旗杆），测得建筑物的高度为h，在该

建筑物底部和顶部分别测得旗杆顶端的仰角α和βC.

在地面上任意寻找一点A，测量旗杆顶端的仰角α，再测量A到旗杆底

部的距离D.

在旗杆的正前方A处测得旗杆顶端的仰角α，正对旗杆前行5

m到达B

处，再次测量旗杆顶端的仰角β√√√解析：

当A，B两点

与旗杆底部不在一条直线上

时，就不能测量出旗杆的高

度，故A不正确；如图1，在

△ABD中，由正弦定理求

AD，则旗杆的高CD＝h＋AD

sin

β，故B正确；如图2，在Rt△ADC中，直接利用锐角三角函数求出旗杆的高DC＝ACtan

α，故C正确；如图3，在△ABD中，由正弦定理求AD，则旗杆的高CD＝AD

sin

α，故D正确.故选B、C、D.

50π

（2）如果下次航行直接从A出发到达C，求∠CAB的大小.

D.

±1√

A.2.1RB.2.2RC.2.3RD.2.4R√

A.20

cmD.30

cm√

13.

（方案设计问题）为了测量两山顶M，N间的距离，飞机沿水平方向在A，B两点进行测量.A，B，M，N在同一个铅垂平面内（如示意图）.飞机能够测量的数据有俯角和A，B间的距离.请设计一个方案，包括：①指出需要测量的数据（用字母表示，并在图中标出）；②用文字和公式写出计算M，N间的距离的步骤.解：方案一：①需要测量的数据有