第六节　双曲线-2026版高考数学一轮总复习

第六节双曲线高中总复习·数学课标要求

1.

了解双曲线的实际背景，感受双曲线在刻画现实世界和解决实际问题中

的作用.2.

了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，以及它的简单几何性质.3.

通过双曲线的学习，进一步体会数形结合的思想.目录CONTENTS知识·逐点夯实01.考点·分类突破02.课时·跟踪检测03.PART01知识·逐点夯实必备知识|课前自修1.

双曲线的定义条件结论1结论2平面内的动点M与平面内的两个

定点F1，F2M点的轨迹为

双曲线

⁠为双曲线

的焦点；

⁠为双曲

线的焦距｜｜MF1｜－｜MF2｜｜＝2a0＜2a＜｜F1F2｜提醒

（1）当2a＝｜F1F2｜时，M点的轨迹是两条射线；（2）当2a＞｜

F1F2｜时，M点不存在.F1，F2

｜F1F2｜

2.

双曲线的标准方程和几何性质标准方程图形

标准方程范围x≥a或x≤－a，y∈Ry≤－a或y≥a，x∈R对称性对称轴：

；对称中心：

⁠顶点A1（－a，0），A2（a，0）A1（0，－a），A2（0，a）渐近线坐标轴

原点

标准方程性质离心率实、虚轴线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长｜A1A2｜＝2a；线

段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长｜B1B2｜＝2b；a叫做

双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长a，b，c的关系c2＝

（c＞a＞0，c＞b＞0）

a2＋b2

2.

双曲线中的常用结论（1）双曲线的焦点到其渐近线的距离为b；（2）若P是双曲线右支上一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，

则｜PF1｜min＝a＋c，｜PF2｜min＝c－a；

1.

判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）（1）平面内到点F1（0，4），F2（0，－4）距离之差的绝对值等于8的点

的轨迹是双曲线.

（

×

）（2）双曲线标准方程中，a，b的大小关系是a＞b.

（

×

）

（4）双曲线的离心率越大，双曲线的开口越开阔.

（

√

）

×××√√

A.

－1＜k＜5B.

k＞5C.

k＜－1D.

k≠－1或5

√

A.1B.3C.9D.1或9解析：

由题意得2c＝8，可得c＝4，所以a2＝c2－b2＝16－12＝4，解

得a＝2.根据双曲线定义可得｜｜MF1｜－｜MF2｜｜＝2a＝4，即｜5

－｜MF2｜｜＝4，解得｜MF2｜＝1或｜MF2｜＝9.当｜MF2｜＝1时，｜

MF1｜＋｜MF2｜＝6＜8，不满足题意，故舍去，当｜MF2｜＝9时，｜

MF1｜＋｜MF2｜＝14＞8，满足题意.所以｜MF2｜＝9.√

√

PART02考点·分类突破精选考点|课堂演练

双曲线的定义及标准方程（师生共研过关）

（1）已知定点F1（－2，0），F2（2，0），N是圆O：x2＋y2＝1上

任意一点，点F1关于点N的对称点为M，线段F1M的中垂线与直线F2M相

交于点P，则点P的轨迹是（

B

）A.

椭圆B.

双曲线C.

抛物线D.

圆B解析：

如图，连接ON，由题意可得｜ON｜＝1，

且N为MF1的中点，又O为F1F2的中点，所以｜MF2｜

＝2.因为点F1关于点N的对称点为M，线段F1M的中垂

线与直线F2M相交于点P，由垂直平分线的性质可得｜

PM｜＝｜PF1｜，所以｜｜PF2｜－｜PF1｜｜＝｜｜PF2｜－｜PM｜｜＝｜MF2｜＝2＜｜F1F2｜，所以由双曲线的定义可得，点P的轨迹是以F1，F2为焦点的双曲线.

1

解题技法1.

双曲线定义的应用（1）利用双曲线的定义判断平面内动点的轨迹是否为双曲线，进而根据

要求可求出曲线方程；（2）在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，经常结合｜｜

PF1｜－｜PF2｜｜＝2a，运用平方的方法，建立关于｜PF1｜·｜PF2｜的

方程.2.

求双曲线标准方程的两种方法（1）待定系数法：设出双曲线方程的标准形式，根据已知条件，列出参

数a，b，c的方程（组）并求出a，b，c的值；（2）定义法：依定义得出距离之差的等量关系式，求出a的值，由定点位

置确定c的值.提醒

求双曲线的标准方程时，若焦点位置不确定，要注意分类讨论.也可

以设双曲线方程为mx2＋ny2＝1（mn＜0）求解.

1.

已知圆C1：（x＋3）2＋y2＝1，C2：（x－3）2＋y2＝9，动圆M同时

与圆C1和圆C2外切，则动圆圆心M的轨迹方程为（

）√

双曲线的几何性质（定向精析突破）考向1

双曲线的渐近线问题

B

A.

x2－y2＝1B

解题技法求双曲线渐近线方程的方法（1）求双曲线中a，b的值，进而得出双曲线的渐近线方程；（2）求a与b的比值，进而得出双曲线的渐近线方程；（3）令双曲线标准方程右侧为0，将所得代数式化为一次式即为渐近

线方程.提醒

两条渐近线的倾斜角互补，斜率互为相反数，且两条渐近线关于x

轴，y轴对称.考向2

双曲线的离心率问题

（1）（2024·全国甲卷理5题）已知双曲线的两个焦点分别为（0，

4），（0，－4），点（－6，4）在该双曲线上，则该双曲线的离心率为

（

C

）A.4B.3C.2C

解题技法求双曲线离心率的两种方法

√

双曲线中的最值（范围）问题（师生共研过关）

20

解题技法与双曲线有关的最值（范围）问题的解题方法（1）几何法：若题目中的待求量有明显的几何特征，则考虑利用双曲线

的定义、几何性质以及平面几何中的定理等知识确定极端位置后数形结合

求解；（2）代数法：①构建函数法：若题目中的条件和结论能体现一种明确的

函数关系，则可先引入变量构建以待求量为因变量的函数，再求这个函数

的最值；②构建不等式法：利用已知或隐含的不等关系，构建以待求量为

元的不等式求解.

PART03课时·跟踪检测关键能力|课后练习

A.

y＝±xB.

y＝±2xC.

y＝±3xD.

y＝±4x

12345678910111213141516171819202022232425√

A.

－2＜m＜1B.

m＞1C.

m＜－2D.

－1＜m＜2

√

√

D.2

√

C.

｜PF｜的最小值为2√√

A.

曲线C上的点（x，y）满足x∈R，y≤1B.

曲线C关于x轴，y轴对称C.

曲线C与x轴，y轴共有3个公共点√√√

－1

B.2D.4√

B.3｜PF1｜＝4｜PF2｜√√√

解：（1）根据题意，道路MN段上的任意一点到

景点A的距离比到景点B的距离都多16

km，则道路MN所在的曲线是以定点A，B为左、右

焦点的双曲线的右支，其方程为x2－y2＝64

（8≤x≤10，0≤y≤6）.又由道路NP段上的任意一点到O的距离都相等，则道路NP所在的曲线为以O为圆心，ON为半径的圆，其方程为x2＋y2＝64（－8≤y≤0