第三节　随机事件的概率与古典概型-2026版高考数学一轮总复习

第三节随机事件的概率与古典概型高中总复习·数学课标要求

1.

结合具体实例，理解样本点和有限样本空间的含义，理解随机事件与样

本点的关系.了解随机事件的并、交与互斥的含义，能结合实例进行随机

事件的并、交运算.2.

结合具体实例，理解古典概型，能计算古典概型中简单随机事件的

概率.3.

通过实例，理解概率的性质，掌握随机事件概率的运算法则.4.

结合实例，会用频率估计概率.目录CONTENTS知识·逐点夯实01.考点·分类突破02.课时·跟踪检测03.PART01知识·逐点夯实必备知识|课前自修

1.

样本空间和随机事件关键词含义样本点随机试验E的

的基本结果，常用ω表示样本

点样本空间

样本点的集合，常用Ω表示样本空间有限样本空间如果一个随机试验有n个可能结果ω1，ω2，…，ωn，则称

样本空间Ω＝{ω1，ω2，…，ωn}为有限样本空间每个可能

全体

关键词含义随机事件样本空间Ω的

，常用大写字母A，B，C，…表

示基本事件只包含一个样本点的事件必然事件每次试验

⁠的事件不可能事件每次试验

⁠的事件子集

一定发生

一定不发生

2.

两个事件的关系和运算事件的关系和

运算含义符号表示包含关系A发生导致B发生A⊆B相等关系B⊇A且A⊇BA＝B并事件（和事

件）A与B至少有一个发生A∪B或A＋B事件的关系和

运算含义符号表示交事件（积事

件）A与B同时发生A∩B或AB互斥事件A与B不能同时发生A∩B＝⌀互为对立事件A与B有且仅有一个发生A∩B＝⌀，A∪B＝Ω3.

古典概型（1）古典概型的特征①有限性：样本空间的样本点只有

个；②等可能性：每个样本点发生的可能性

⁠.有限

相等

4.

概率的基本性质性质1：对任意的事件A，都有P（A）≥0；性质2：必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，即P（Ω）＝1，P

（⌀）＝0；性质3：如果事件A与事件B互斥，那么P（A∪B）＝

⁠

⁠；性质4：如果事件A与事件B互为对立事件，那么P（B）＝1－P（A），

P（A）＝

⁠；性质5：如果A⊆B，那么P（A）≤P（B），由该性质可得，对于任意

事件A，因为⌀⊆A⊆Ω，所以0≤P（A）≤1；性质6：设A，B是一个随机试验中的两个事件，我们有P（A∪B）

＝

⁠.P（A）＋P

（B）

1－P（B）

P（A）＋P（B）－P（A∩B）

5.

频率和概率随着试验次数n的增大，频率偏离概率的幅度会缩小，即事件A发生的频

率fn（A）会逐渐

事件A发生的概率P（A），我们称频率的这

个性质为频率的稳定性.因此，可以用频率fn（A）估计概率P

（

A

）.稳定于

A

若事件A1，A2，…，An两两互斥，则P（A1∪A2∪…∪An）＝P（A1）

＋P（A2）＋…＋P（An）.

1.

判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）（1）事件发生的频率与概率是相同的.

（

×

）（2）两个事件的和事件是指两个事件同时发生.

（

×

）（3）若A∪B是必然事件，则A与B是对立事件.

（

×

）（4）掷一枚硬币两次，出现“两个正面”“一正一反”“两个反面”，

这三个结果是等可能事件.

（

×

）××××2.

（人A必修二P235练习1题改编）一个人打靶时连续射击两次，与事件

“至多有一次中靶”互斥的事件是（

）A.

至少有一次中靶B.

两次都中靶C.

只有一次中靶D.

两次都不中靶解析：

射击两次中“至多有一次中靶”即“有一次中靶或两次都不中

靶”，与该事件不能同时发生的是“两次都中靶”.√3.

（人A必修二P257练习1（1）（2）题改编）把一枚质地均匀的硬币连

续抛掷1

000次，其中有496次正面朝上，504次反面朝上，则掷一次硬币正

面朝上的概率为（

）A.0.496B.0.504C.0.5D.1解析：

掷一次硬币正面朝上的概率是0.5.√4.

（人A必修二P237例8改编）从集合{1，2，4}中随机抽取一个数a，从

集合{2，4，5}中随机抽取一个数b，则向量m＝（a，b）与向量n＝

（2，－1）垂直的概率为（

）

√

PART02考点·分类突破精选考点|课堂演练

随机事件关系的判断（基础自学过关）1.

口袋中装有3个红球和4个黑球，每个球编有不同的号码，现从中取出3

个球，则互斥而不对立的事件是（

）A.

至少有1个红球与至少有1个黑球B.

至少有1个红球与都是黑球C.

至少有1个红球与至多有1个黑球D.

恰有1个红球与恰有2个红球√解析：

对于A，不互斥，如取出2个红球和1个黑球，与至少有1个黑球

不是互斥事件，所以A不符合题意；对于B，至少有1个红球与都是黑球不

能同时发生，且必有其中1个发生.所以为互斥事件，且为对立事件，所以

B不符合题意；对于C，不互斥.如取出2个红球和1个黑球，与至多有1个黑

球不是互斥事件，所以C不符合题意；对于D，恰有1个红球与恰有2个红球

不能同时发生，所以为互斥事件，但不对立，如恰有3个红球.2.

〔多选〕有甲、乙两种报纸供市民订阅，记事件E为“只订甲报纸”，

事件F为“至少订一种报纸”，事件G为“至多订一种报纸”，事件I为

“一种报纸也不订”，下列命题正确的是（

）A.

E与G是互斥事件B.

F与I互为对立事件C.

F与G不是互斥事件D.

G与I是互斥事件解析：

对于A，E与G有可能同时发生，不是互斥事件，故A错误；

对于B，F与I不可能同时发生，且发生的概率之和为1，所以F与I互为对

立事件，故B正确；对于C，F与G可以同时发生，不是互斥事件，故C正

确；对于D，G与I可以同时发生，不是互斥事件，故D错误.√√3.

〔多选〕口袋里装有1红，2白，3黄共6个除颜色外完全相同的小球，从

中取出两个球，事件A＝“取出的两个球同色”，B＝“取出的两个球中

至少有一个黄球”，C＝“取出的两个球至少有一个白球”，D＝“取出

的两个球不同色”，E＝“取出的两个球中至多有一个白球”.下列判断正

确的是（

）A.

A与D为对立事件B.

B与C是互斥事件C.

C与E是对立事件D.

P（C∪E）＝1解析：

当取出的两个球为一黄一白时，B与C都发生，B不正确；当

取出的两个球中恰有一个白球时，事件C与E都发生，C不正确；显然A

与D是对立事件，A正确；C∪E为必然事件，P（C∪E）＝1，D正确.√√练后悟通事件关系判断的策略（1）判断事件的互斥、对立关系时一般用定义判断，不可能同时发生的

两个事件为互斥事件；两个事件，若有且仅有一个发生，则这两个事件为

对立事件，对立事件一定是互斥事件，反之不成立.互斥事件是不可能同

时发生的事件，但也可以同时不发生；对立事件是特殊的互斥事件，特殊

在对立的两个事件不可能都不发生，即有且仅有一个发生；（2）判断事件的交、并关系时，一是要紧扣运算的定义，二是要全面考

虑同一条件下的试验可能出现的全部结果，必要时可列出全部的试验结果

进行分析.也可类比集合的关系，运用Venn图分析事件.随机事件的概率（定向精析突破）考向1

古典概型的概率

（1）（2025·湘豫名校联考）党的二十大报告提出：“深化全民阅读

活动.”今天，我们思索读书的意义、发掘知识的价值、强调阅读的作

用，正是为了更好地满足人民群众精神文化生活新期待.某市把图书馆、

博物馆、美术馆、文化馆四个公共文化场馆面向社会免费开放，开放期间

需要志愿者参与协助管理.现有A，B，C，D，E共5名志愿者，每名志

愿者均参与本次志愿者服务工作，每个场馆至少需要一名志愿者，每名志

愿者到各个场馆的可能性相同，则A，B两名志愿者不在同一个场馆的概

率为（

D

）D

（2）（2025·八省联考）有8张卡片，分别标有数字1，2，3，4，5，6，

7，8，现从这8张卡片中随机抽出3张，则抽出的3张卡片上的数字之和与

其余5张卡片上的数字之和相等的概率为

⁠.

解题技法古典概型的概率求解步骤（1）求出所有样本点的个数n；（2）求出事件A包含的所有样本点的个数m；

考向2

互斥事件与对立事件的概率

某商场有奖销售中，购满100元商品得1张奖券，多购多得.1

000张奖

券为一个开奖单位，设特等奖1个，一等奖10个，二等奖50个.设1张奖券

中特等奖、一等奖、二等奖的事件分别为A，B，C，求：（1）1张奖券的中奖概率；

（2）1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率.

解题技法互斥事件概率的两种求法（1）将所求事件转化成几个彼此互斥事件的和事件，利用互斥事件概率

的加法公式求解概率；（2）若将一个较复杂的事件转化为几个彼此互斥事件的和事件时分类太

多，而其对立面的分类较少，可考虑先求其对立事件的概率，即运用“正

难则反”的思想.常用此方法求“至少”“至多”型事件的概率.

1.

从正六边形的6个顶点中任取3个构成三角形，则所得三角形是直角三角

形的概率为（

）

√

3.

经统计，在某储蓄所一个营业窗口排队等候的人数及相应的概率如下：排队人数012345人及5人以上概率0.10.160.30.30.10.04求：（1）至多2人排队等候的概率；解：记“无人排队等候”为事件A，“1人排队等候”为事件B，“2人排

队等候”为事件C，“3人排队等候”为事件D，“4人排队等候”为事件

E，“5人及5人以上排队等候”为事件F，则事件A，B，C，D，E，F

彼此互斥.（1）记“至多2人排队等候”为事件G，则G＝A∪B∪C，所以P（G）＝P（A∪B∪C）＝P（A）＋P（B）＋P（C）＝0.1＋

0.16＋0.3＝0.56.（2）至少3人排队等候的概率.解：法一记“至少3人排队等候”为事件H，则H＝D∪E∪F，所以P（H）＝P（D∪E∪F）＝P（D）＋P

（E）＋P（F）＝0.3＋0.1＋0.04＝0.44.法二记“至少3人排队等候”为事件H，则其对立事件为事件G，所以P

（H）＝1－P（G）＝0.44.用频率估计概率（师生共研过关）

某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4

元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处

理完.根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：℃）有关.

如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20，

25），需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶.为了确定

六月份的订购计划，统计了前三年的六月份各天的最高气温数据，得到下

面的频数分布表：最高气

温[10，

15）[15，

20）[20，

25）[25，

30）[30，

35）[35，40]天数216362574以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率.（1）估计六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率；

（2）设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y（单位：元），当六月份

这种酸奶一天的进货量为450瓶时，写出Y的所有可能值，并估计Y大于

零的概率.解题技法1.

频率反映了一个随机事件出现的频繁程度，频率是随机的，而概率是一

个确定的值，通常用概率来反映随机事件发生的可能性的大小，有时也用

频率来作为随机事件概率的估计值.2.

利用概率的统计定义求事件的概率，即通过大量的重复试验，事件发生

的频率会逐步趋近于某一个常数，这个常数就是概率.

某险种的基本保费为a（单位：元），继续购买该险种的投保人称为续

保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下表：上年度出险次数01234≥5保费0.85aa1.25

a1.5a1.75a2a出险次数01234≥5频数605030302010（1）记A为事件“续保人本年度的保费不高于基本保费”.求P（A）的

估计值；随机调查了该险种的200名续保人在上一年内的出险情况，得到如下统

计表：

（2）记B为事件“续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的

160%”.求P（B）的估计值；

（3）求续保人本年度平均保费的估计值.解：

由所给数据得保费0.85aa1.25a1.5a1.75a2a频率0.300.250.150.150.100.05调查的200名续保人的平均保费为0.85a×0.30＋a×0.25＋1.25a×0.15

＋1.5a×0.15＋1.75a×0.10＋2a×0.05＝1.192

5a.因此，续保人本年度平均保费的估计值为1.192

5a.PART03课时·跟踪检测关键能力|课后练习

A.

至多有一张移动卡B.

恰有一张移动卡C.

都不是移动卡D.

至少有一张移动卡

12345678910111213141516171819202022232425√2.

设A，B为同一试验中的两个随机事件，则“P（A）＋P（B）＝1”

是“事件A，B互为对立事件”的（

）A.

充分不必要条件B.

必要不充分条件C.

充要条件D.

既不充分也不必要条件√解析：

因为P（A）＞0，P（B）＞0，所以若事件A，B为对立事

件，则P（A）＋P（B）＝1；但P（A）＋P（B）＝1推不出两个事件

A，B对立，如掷一颗骰子，事件A为出现1点、2点、3点，事件B为出现3

点、4点、5点，此时P（A）＋P（B）＝1，但两个事件不对立，所以

“P（A）＋P（B）＝1”是“事件A，B互为对立事件”的必要不充分

条件.故选B.

3.

从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，则这2个数互质的概率为（

）

√4.

某芯片制造厂有甲、乙、丙三条生产线生产7

nm规格的芯片.现有25块

该规格的芯片，其中来自甲、乙、丙的芯片数量分别为5块、10块、10块.

若甲、乙、丙生产的芯片的优质品率分别为0.8，0.8，0.7，则从这25块

芯片中随机抽取一块，该芯片为优质品的概率是（

）A.0.76B.0.64C.0.58D.0.48

√5.

某学校为了搞好课后服务工作，教务科组建了一批社团，学生们都能自

主选择自己喜欢的社团.目前话剧社团、书法社团、摄影社团、街舞社团

分别还可以再接收1名学生，恰好含甲、乙的4名同学前来教务科申请加

入，按学校规定每人只能加入一个社团，则甲进街舞社团，乙进书法社团

或摄影社团的概率为（

）√

6.

〔多选〕下列说法中正确的有（

）A.

若事件A与事件B是互斥事件，则P（A∩B）＝0B.

若事件A与事件B是对立事件，则P（A∪B）＝1C.

某人打靶时连续射击三次，则事件“至少有两次中靶”与事件“至多有

一次中靶”是对立事件D.

把红、橙、黄3张纸牌随机分给甲、乙、丙3人，每人分得1张，则事件

“甲分得的不是红牌”与事件“乙分得的不是红牌”是互斥事件√√√

9.

某市A，B两所中学的学生组队参加辩论赛，A中学推荐了3名男生、2

名女生，B中学推荐了3名男生、4名女生，两所中学所推荐的学生一起参

加集训.集训后队员水平相当，从参加集训的男生中随机抽取3人、女生中

随机抽取3人组成代表队.（1）求A中学至少有1名学生入选代表队的概率；

（2）某场比赛前，从代表队的6名队员中随机抽取4人参赛，求参赛女生

人数不少于2人的概率.

10.

某公司现有员工120人，在荣获“优秀员工”称号的85人中，有75人是

高级工程师.既没有荣获“优秀员工”称号又不是高级工程师的员工共有

14人，公司将随机选择一名员工接受电视新闻节目的采访，被选中的员工

是高级工程师的概率为（

）√

11.

已知随机事件A和B互斥，且P（A∪B）＝0.6，P（A）＝0.4，则

事件B的对立事件的概率为（

）A.0.2B.0.4C.0.6D.0.8解析：

由题得P（A∩B）＝0，P（A∪B）＝0.6，又P（A∪B）

＝P（A）＋P（B）－P（A∩B），所以P（B）＝0.6－0.4＝0.2，所

以事件B的对立事件的概率为1－0.2＝0.8，故选D.

√12.

〔多选〕小张上班从家到公司开车有两条线路，所需时间（分钟）随

交通堵塞状况有所变化，其概率分布如下表所示：所需时间（分钟）30405060线路一0.50.20.20.1线路二0.30.50.10.1A.

任选一条线路，“所需时间小于50分钟”与“所需时间为60分钟”是

对立事件B.

从所需的平均时间看，线路一比线路二更节省时间C.

如果要求在45分钟以内从家赶到公司，小张应该走线路一D.

若小张上、下班走不同线路，则所需时间之和大于100分钟的概率为

0.04则下列说法正确的是（

）√√解析：

对于选项A，“所需时间小于50分钟”与“所需时间为60分

钟”是互斥而不对立事件，所以选项A错误；对于选项B