2026届山东省聊城市东阿县数学九年级第一学期期末学业水平测试试题含解析

2026届山东省聊城市东阿县数学九年级第一学期期末学业水平测试试题注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。一、选择题（每题4分，共48分）1．如图，直线，等腰的直角顶点在上，顶点在上，若，则（）A．31° B．45° C．30° D．59°2．关于的一元一次方程的解为，则的值为（）A．5 B．4 C．3 D．23．已知二次函数y=ax2+bx+c的y与x的部分对应值如下表：则下列判断中正确的是（）

x

…

﹣1

0

1

2

…

y

…

﹣5

1

3

1

…A．抛物线开口向上

B．抛物线与y轴交于负半轴C．当x=3时，y＜0

D．方程ax2+bx+c=0有两个相等实数根4．x＝1是关于x的一元二次方程x2+ax﹣2b＝0的解，则2a﹣4b的值为（）A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．25．解方程2（5x-1）2=3(5x-1)的最适当的方法是（）A．直接开平方法． B．配方法 C．公式法 D．分解因式法6．下列几何图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（）A．圆 B．正方形 C．矩形 D．平行四边形7．如图，将△ABC绕着点A顺时针旋转30°得到△AB′C′，若∠BAC′=80°，则∠B′AC=（）‘A．20° B．25° C．30° D．35°8．已知正比例函数的函数值随自变量的增大而增大，则二次函数的图象与轴的交点个数为（）A．2 B．1 C．0 D．无法确定9．如图，在圆O中，弦AB=4，点C在AB上移动，连接OC，过点C作CD⊥OC交圆O于点D，则CD的最大值为（）A． B．2 C． D．10．如图，AB是⊙O的直径，点C，D，E在⊙O上，若∠AED＝20°，则∠BCD的度数为()A．100° B．110° C．115° D．120°11．抛物线的顶点坐标是（）A．（﹣1，2） B．（﹣1，﹣2） C．（1，﹣2） D．（1，2）12．如图，AB是半圆的直径，O为圆心，C是半圆上的点，D是上的点，若∠D＝110°，则∠AOC的度数为（）A．130° B．135° C．140° D．145°二、填空题（每题4分，共24分）13．如图，四边形，都是平行四边形，点是内的一点，点，，，分别是，上，，的一点，，，若阴影部分的面积为5，则的面积为__________．14．如图，四边形ABCD内接于⊙O，F是上一点，且，连接CF并延长交AD的延长线于点E，连接AC．若∠ABC＝105°，∠BAC＝25°，则∠E的度数为______度．15．已知点是正方形外的一点，连接，，.请从下面A，B两题中任选一题作答.我选择_______题:A．如图1，若，，则的长为_________.B．如图2，若，，则的长为_________.16．小天想要计算一组数据92，90，94，86，99，85的方差S02，在计算平均数的过程中，将这组数据中的每一个数都减去90，得到一组新数据2，0，4，﹣4，9，﹣5，记这组新数据的方差为S12，则S12__S02（填“＞”，“＝”或”＜”）17．已知⊙半径为，点在⊙上，，则线段的最大值为_____．18．把抛物线y=2x2先向下平移1个单位，再向左平移2个单位，得到的抛物线的解析式是_______.三、解答题（共78分）19．（8分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝6cm，BC＝8m，点P从点A出发沿边AC向点C以1cm/s的速度移动，点Q从点C出发沿CB边向点B以2cm/s的速度移动，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动．（1）如果点P，Q同时出发，经过几秒钟时△PCQ的面积为8cm2？（2）如果点P，Q同时出发，经过几秒钟时以P、C、Q为顶点的三角形与△ABC相似？20．（8分）近日，国产航母山东舰成为了新晋网红，作为我国本世纪建造的第一艘真正意义上的国产航母，承载了我们太多期盼，促使我国在伟大复兴路上加速前行如图，山东舰在一次测试中，巡航到海岛A北偏东60°方向P处，发现在海岛A正东方向有一可疑船只B正沿BA方向行驶。山东舰经测量得出：可疑船只在P处南偏东45°方向，距P处海里。山东舰立即从P沿南偏西30°方向驶出，刚好在C处成功拦截可疑船只。求被拦截时，可疑船只距海岛A还有多少海里？（，结果精确到0.1海里）21．（8分）已知在平面直角坐标中，点A(m，n)在第一象限内，AB⊥OA且AB＝OA，反比例函数y＝的图象经过点A，（1）当点B的坐标为(4，0)时（如图1），求这个反比例函数的解析式；（2）当点B在反比例函数y＝的图象上，且在点A的右侧时（如图2），用含字母m，n的代数式表示点B的坐标；（3）在第（2）小题的条件下，求的值．22．（10分）如图，△ABC中，已知∠BAC＝45°，AD⊥BC于D，BD＝2，DC＝3，把△ABD、△ACD分别以AB、AC为对称轴翻折变换，D点的对称点为E、F，延长EB、FC相交于G点．（1）求证：四边形AEGF是正方形；（2）求AD的长．23．（10分）如图，反比例函数的图象与正比例函数的图象交于点，且点的横坐标为2.（1）求反比例函数的表达；（2）若射线上有点，，过点作与轴垂直，垂足为点，交反比例函数图象于点，连接，，请求出的面积.24．（10分）超速行驶被称为“马路第一杀手”，为了让驾驶员自觉遵守交通规则，市公路检测中在一事故多发地段安装了一个测速仪器，如图所示，已知检测点A设在距离公路BC20米处，∠B＝45°，∠C＝30°，现测得一辆汽车从B处行驶到C处所用时间为2.7秒．（1）求B，C之间的距离（结果保留根号）；（2）如果此地限速为80km/h，那么这辆汽车是否超速？请说明理由．（参考数据：1.7，≈1.4）25．（12分）在美化校园的活动中，某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角（两边足够长），用32m长的篱笆围成一个矩形花园ABCD（篱笆只围AB，BC两边），设AB＝xm．（Ⅰ）若花园的面积是252m2，求AB的长；（Ⅱ）当AB的长是多少时，花园面积最大？最大面积是多少？26．矩形中，线段绕矩形外一点顺时针旋转，旋转角为，使点的对应点落在射线上，点的对应点在的延长线上．（1）如图1，连接、、、，则与的大小关系为______________．（2）如图2，当点位于线段上时，求证：；（3）如图3，当点位于线段的延长线上时，，，求四边形的面积．

参考答案一、选择题（每题4分，共48分）1、A【分析】过点B作BD//l1，，再由平行线的性质即可得出结论．【详解】解：过点B作BD//l1，则∠α=∠CBD．

∵，

∴BD//，

∴∠β=∠DBA,

∵∠CBD+∠DBA=45°，

∴∠α+∠β=45°,∵∴∠α=45°-∠β=31°.

故选A．本题考查的是平行线的性质，根据题意作出辅助线，构造出平行线是解答此题的关键．2、D【分析】满足题意的有两点，一是此方程为一元一次方程，即未知数x的次数为1；二是方程的解为x=1,即1使等式成立，根据两点列式求解.【详解】解：根据题意得，a-1=1,2+m=2,解得，a=2,m=0,∴a-m=2.故选：D.本题考查一元一次方程的定义及方程解的定义，对定义的理解是解答此题的关键.3、C【解析】根据表格的数据，描点连线得，根据函数图像，得：抛物线开口向下；抛物线与y轴交于正半轴；当x=3时，y＜0；方程有两个相等实数根.故选C.4、A【分析】先把x=1代入方程x2+ax-2b=0得a-2b=-1，然后利用整体代入的方法计算2a-4b的值即可．【详解】将x＝1代入原方程可得：1+a﹣2b＝0，∴a﹣2b＝﹣1，∴原式＝2（a﹣2b）＝﹣2，故选：A．本题考查了一元二次方程的解的定义．一元二次方程的解就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．5、D【详解】解：方程可化为[2（5x-1）-3]（5x-1）=0，即（10x-5）（5x-1）=0，根据分析可知分解因式法最为合适．故选D．6、D【分析】根据中心对称图形和轴对称图形的定义逐一判断即可．【详解】A．圆是中心对称图形，也是轴对称图形，故本选项不符合题意；B．正方形是中心对称图形，也是轴对称图形，故本选项不符合题意；C．矩形是中心对称图形，也是轴对称图形，故本选项不符合题意；D．平行四边形是中心对称图形，不是轴对称图形，故本选项符合题意．故选D．此题考查的是中心对称图形和轴对称图形的识别，掌握中心对称图形和轴对称图形的定义是解决此题的关键．7、A【解析】根据图形旋转的性质，图形旋转前后不发生任何变化，对应点旋转的角度即是图形旋转的角度，可直接得出∠C′AC=30°，由∠BAC′=80°可得∠BAC=∠B′AC′=50°，从而可得结论.【详解】由旋转的性质可得，∠BAC=∠B′AC′，∵∠C′AC=30°，∴∠BAC=∠B′AC′=50°，∴∠B′AC=20°.故选A.此题主要考查了旋转的性质，图形旋转前后不发生任何变化，这是解决问题的关键．8、A【分析】根据正比例函数的性质可以判断k的正负情况，然后根据△的正负，即可判断二次函数的图象与轴的交点个数，本题得以解决．【详解】∵正比例函数的函数值随自变量的增大而增大，∴k＞0，∵二次函数为∴△＝[−2（k＋1）]2−4×1×（k2−1）＝8k＋8＞0，∴二次函数为与轴的交点个数为2，故选：A．本题考查二次函数与x轴的交点个数和正比例函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用根的判别式来解答．9、B【分析】连接OD，利用勾股定理得到CD，利用垂线段最短得到当OC⊥AB时，OC最小，根据垂径定理计算即可．【详解】连接OD，如图，设圆O的半径为r，∵CD⊥OC，∴∠DCO=90°，∴CD=，∴当OC的值最小时，CD的值最大，而OC⊥AB时，OC最小，此时D、B重合，则由垂径定理可得：CD=CB=AC=AB=1，∴CD的最大值为1.故答案为：1．本题考查垂径定理和勾股定理，作辅助线构造直角三角形应用勾股定理，并熟记垂径定理内容是解题的关键.10、B【分析】连接AD，BD，由圆周角定理可得∠ABD＝20°，∠ADB＝90°，从而可求得∠BAD＝70°，再由圆的内接四边形对角互补得到∠BCD=110°.【详解】如下图，连接AD，BD，∵同弧所对的圆周角相等，∴∠ABD=∠AED＝20°，∵AB为直径，∴∠ADB＝90°，∴∠BAD＝90°-20°=70°，∴∠BCD=180°-70°=110°.故选B本题考查圆中的角度计算，熟练运用圆周角定理和内接四边形的性质是关键.11、D【分析】根据顶点式，顶点坐标是（h，k），即可求解.【详解】∵顶点式，顶点坐标是（h，k），∴抛物线的顶点坐标是（1，2）．故选D．12、C【分析】根据“圆内接四边形的对角互补”，由∠D可以求得∠B，再由圆周角定理可以求得∠AOC的度数．【详解】解：∵∠D＝110°，∴∠B＝180°﹣110°＝70°，∴∠AOC＝2∠B＝140°，故选C．本题考查圆周角定理及圆内接四边形的性质，熟练掌握有关定理和性质的应用是解题关键．二、填空题（每题4分，共24分）13、90【分析】根据平行四边形的性质得到AB∥CD，AB=CD，EF∥HG，EF=HG，根据平行线分线段成比例定理和相似三角形的性质即可得到结论．【详解】∵四边形都是平行四边形，∴，，∴，∴，．又∵，∴，∴，，，．易知，∴此题考查平行四边形的性质，平行线分线段成比例定理，三角形的面积，正确的识别图形是解题的关键．14、1【分析】根据圆内接四边形的性质求出∠ADC的度数，由圆周角定理得出∠DCE的度数，根据三角形外角的性质即可得出结论．【详解】∵四边形ABCD内接于⊙O，∠ABC＝105°，∴∠ADC＝180°﹣∠ABC＝180°﹣105°＝75°，∵，∠BAC＝25°，∴∠DCE＝∠BAC＝25°，∴∠E＝∠ADC﹣∠DCE＝75°﹣25°＝1°，故答案为：1．本题考查了圆内接四边形的问题，掌握圆内接四边形的性质、圆周角定理、三角形外角的性质是解题的关键．15、A或B【分析】A.连接，证得，然后用勾股定理即可求得答案；B.将绕点逆时针旋转，点与点重合，点旋转至点，根据旋转的性质可求得，证得，最后用勾股定理即可求得答案.【详解】A.如图，连接，四边形是正方形，，，，，∴，在中，；B.如图，将绕点逆时针旋转，点与点重合，点旋转至点，连接、、，，，，由旋转的性质得：，∴，，，在中，∴，，．故答案为：A或BA.B.本题主要考查了正方形的性质、旋转变换的性质、勾股定理，解题的关键是熟练掌握旋转变换的性质和直角三角形的判定与性质，根据已知的角构造直角三角形是正确解答本题的关键．16、=【分析】根据一组数据中的每一个数据都加上或减去同一个非零常数，那么这组数据的波动情况不变，即方差不变，即可得出答案．【详解】∵一组数据中的每一个数据都加上（或都减去）同一个常数后，它的平均数都加上（或都减去）这一个常数，两数进行相减，方差不变，∴则S12＝S1．故答案为：＝．本题考查方差的意义：一般地设n个数据，x1，x2，…xn的平均数为，则方差S2=[（x1-）2+（x2-）2+…+（xn-）2]，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立，关键是掌握一组数据都加上同一个非零常数，方差不变．17、【分析】过点A作AE⊥AO,并使∠AEO＝∠ABC,先证明，由三角函数可得出，进而求得，再通过证明，可得出，根据三角形三边关系可得:,由勾股定理可得，求出BE的最大值，则答案即可求出.【详解】解:过点A作AE⊥AO,并使∠AEO＝∠ABC,∵,∴,∴,∵,∴,∴,∴，又∵,∴,∵，∴，又∵，∴,∴,∴,在△OEB中，根据三角形三边关系可得:,∵，∴,∴BE的最大值为：，∴OC的最大值为：.本题主要考查了三角形相似的判定和性质、三角函数、勾股定理及三角形三边关系，解题的关键是构造直角三角形.18、y＝2（x＋2）2﹣1【解析】直接根据“上加下减、左加右减”的原则进行解答即可．【详解】由“左加右减”的原则可知,二次函数y＝2x2的图象向下平移1个单位得到y＝2x2−1，由“上加下减”的原则可知,将二次函数y＝2x2−1的图象向左平移2个单位可得到函数y＝2(x＋2)2−1，故答案是：y＝2(x＋2)2−1.本题考查的是二次函数图象与几何变换，熟练掌握规律是解题的关键.三、解答题（共78分）19、（1）1s或2s；（1）当t＝或t＝时，以P、C、Q为顶点的三角形与△ABC相似．【分析】（1）设P、Q同时出发，x秒钟后，AP＝xcm，PC＝（6﹣x）cm，CQ＝1xcm，依据△PCQ的面积为8，由此等量关系列出方程求出符合题意的值．（1）分两种情况讨论，依据相似三角形对应边成比例列方程求解即可．【详解】（1）设xs后，可使△PCQ的面积为8cm1．由题意得，AP＝xcm，PC＝（6﹣x）cm，CQ＝1xcm，则（6﹣x）•1x＝8，整理得x1﹣6x+8＝0，解得x1＝1，x1＝2．所以P、Q同时出发，1s或2s后可使△PCQ的面积为8cm1．（1）设t秒后以P、C、Q为顶点的三角形与△ABC相似，则PC＝6﹣t，QC＝1t．当△PCQ∽△ACB时，＝，即＝，解得：t＝．当△PCQ∽△BCA时，＝，即＝，解得：t＝．综上所述，当t＝或t＝时，以P、C、Q为顶点的三角形与△ABC相似．本题考查一元二次方程的应用，三角形的面积公式的求法和一元二次方程的解的情况．关键在于读懂题意，找出之间的等量关系，列出方程求解．20、被拦截时，可疑船只距海岛A还有57.7海里.【分析】过点P作于点D，在中，利用等腰直角三角形性质求出PD的长，在中，求出PC的长，再求的．可得.【详解】解：过点P作于点D由题意可知，在中，∴在中，∴又∴∴∴（海里）即被拦截时，可疑船只距海岛A还有57.7海里.此题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握直角三角形中三角函数的运用是解题的关键．21、（1）y＝；（2）B(m+n，n﹣m)；（3）【分析】（1）根据等腰直角三角形性质，直角三角形斜边中线定理，三线合一，得到点坐标，代入解析式即可得到．（2）过点作平行于轴的直线，过点作垂直于轴的直线交于点，交轴于点，构造一线三等角全等，得到，，所以（3）把点和点的坐标代入反比例函数解析式得到关于、的等式，两边除以，换元法解得的值是【详解】解：（1）过作，交轴于点，，，为等腰直角三角形，，，将，代入反比例解析式得：，即，则反比例解析式为；（2）过作轴，过作，，，，，在和中，，，，，，，则；（3）由与都在反比例图象上，得到，整理得：，即，这里，，，△，，在第一象限，，，则．此题属于反比例函数综合题，涉及的知识有：全等三角形的判定与性质，坐标与图形性质，等腰直角三角形的性质，以及一元二次方程的解法，熟练掌握反比例函数的性质是解本题的关键．22、（1）见解析；（2）AD＝1；【分析】（1）先根据△ABD≌△ABE，△ACD≌△ACF，得出∠EAF＝90°；再根据对称的性质得到AE＝AF，从而说明四边形AEGF是正方形；（2）利用勾股定理，建立关于x的方程模型（x﹣2）2+（x﹣3）2＝52，求出AD＝x＝1．【详解】（1）证明：由翻折的性质可得，△ABD≌△ABE，△ACD≌△ACF，∴∠DAB＝∠EAB，∠DAC＝∠FAC，∵∠BAC＝45°，∴∠EAF＝90°，∵AD⊥BC，∴∠E＝∠ADB＝90°，∠F＝∠ADC＝90°，∴四边形AEGF为矩形，∵AE＝AD，AF＝AD，∴AE＝AF，∴矩形AEGF是正方形；（2）解：根据对称的性质可得：BE＝BD＝2，CF＝CD＝3，设AD＝x，则正方形AEGF的边长是x，则BG＝EG﹣BE＝x﹣2，CG＝FG﹣CF＝x﹣3，在Rt△BCG中，根据勾股定理可得：（x﹣2）2+（x﹣3）2＝52，解得：x＝1或x=﹣1（舍去）．∴AD＝x＝1；本题考查了翻折对称的性质，全等三角形和勾股定理，以及正方形的判定，解本题的关键是熟练掌握翻折变换的性质：翻折前后图形的对应边或对应角相等；有四个角是直角的四边形是矩形，有一组邻边相等的矩形是正方形．23、（1）y=(x>0)；（2）△OAB的面积为2.【分析】（1）将A点的横坐标代入正比例函数，可求出A点坐标，再将A点坐标代入反比例函数求出k，即可得解析式；（2）过A点作AN⊥OM，垂足为点N，则AN∥PM，根据平行线分线段成比例得，进而求出M点坐标，将M点的横坐标分别代入反比例函数和正比例函数，求出B、P的坐标，再利用三角形面积公式求出△POM、△BOM的面积，作差得到△BOP的面积，最后根据S△OAB∶S△BAP=OA∶AP=1∶2即可求解．【详解】解：（1）A点在正比例函数y=x的图象上，当x=2时，y=3，∴点A的坐标为(2,3)将(2,3)代入反比例函数解析式y=(x>0)，得，解得k=1．∴反比例函数的表达式为y=(x>0)（2）如图，过A点作AN⊥OM，垂足为点N，则AN∥PM，∴.∵PA=2OA，∴MN=2ON=4，∴OM=ON+MN=2+4=1∴M点的坐标为(1,0)将x=1代入y=，得y==1，∴点B的坐标为(1,1)将x=1代入y=x，得y==9，∴点P的坐标为(1,9)．∴S△POM=×1×9=27，S△BOM=×1×1=3∴S△BOP=27-3=24又∵S△OAB∶S△BAP=OA∶AP=1∶2∴S△OAB=×24=2答：△OAB的面积为2．本题考查了反比例函数与一次函数的综合问题，以及平行线分线段成比例，熟练掌握待定系数法求函数解析式，利用点的坐标求三角形面积是解题的关键．24、（1）（20+20）m；（2）这辆汽车没超速，见解析【分析】（1）如图作AD⊥BC于D．则AD=20m，求出CD、BD即可解决问题；（2）求出汽车的速度和此地限速为80km/h比较大小，即可解决问题，注意统一单位．【详解】（1）如图作AD⊥BC于D．则AD=10m，在Rt△ABD中，∵∠B=45°，∴BD=AD=10m，在Rt△ACD中，∵∠C=30°，∴tan30°，∴CDAD=20m，∴BC=BD+DC=(20+20)m．（2）结论：这辆汽车没超速．理由如下：∵BC=BD+DC=(20+20)BC≈54m，∴汽车速度20m/s=72km/h．∵72km/h＜80km/h，∴这辆汽车没超速．本题考查了解直角三角形的应用，锐角三角函数、