专题3-3 三角函数与解三角形综合大题21类型（讲+练）-高考数学二轮复习讲练测（全国）（原卷版）

专题3-3三角函数与解三角形综合大题21种类型目录TOC\o"1-1"\h\u讲高考 1题型全归纳 2【题型一】“化一法” 2【题型二】恒成立求参型 3【题型三】利用对称性求三角函数零点 3【题型四】恒等变形 4【题型五】三角函数图像与解析式综合 4【题型六】正弦定理化简求角 4【题型七】余弦定理+均值求角范围 6【题型八】求周长最值型 7【题型九】求面积最值型 7【题型十】四边形最值型 8【题型十一】中线型最值 8【题型十二】角平分线型最值 9【题型十三】与高有关的最值型 10【题型十四】外接圆型 11【题型十五】有角无边型最值 12【题型十六】边系数不对称型最值 12【题型十七】角非对边型最值 12【题型十八】判断三角形形状 13【题型十九】三角形几解的问题 13【题型二十】三角形中边与角的不等式恒明 14【题型二十一】解三角形模型应用 14专题训练 15讲高考1．（2022·天津·统考高考真题）在中，角A、B、C的对边分别为a，b，c.已知.(1)求的值；(2)求的值；(3)求的值.2．（2022·全国·统考高考真题）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，分别以a，b，c为边长的三个正三角形的面积依次为，已知．(1)求的面积；(2)若，求b．3．（2022·北京·统考高考真题）在中，．(1)求；(2)若，且的面积为，求的周长．4．（2022·全国·统考高考真题）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c﹐已知．(1)若，求C；(2)证明：5．（2022·浙江·统考高考真题）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知．(1)求的值；(2)若，求的面积．6．（2022·全国·统考高考真题）记的内角的对边分别为，已知．(1)证明：；(2)若，求的周长．7．（2022·全国·统考高考真题）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．(1)若，求B；(2)求的最小值．题型全归纳【题型一】“化一法”【讲题型】例题.已知函数．(1)求函数的对称中心及最小正周期；(2)若，，求的值．【讲技巧】化一法，即通过二倍角、降幂公式，两角和与差公式，化简为辅助角形式，再利用辅助角化为正余弦单一函数形式，再借助函数性质求解计算。【练题型】已知函数.(1)求的最小正周期及对称轴方程；(2)时，的最大值为，最小值为，求，的值.【题型二】恒成立求参型【讲题型】例题.已知函数，其中向量，．(1)求的解析式及对称中心和单调减区间；(2)不等式在上恒成立，求实数m的取值范围．【讲技巧】恒成立两个基础结论：(1)a≥f(x)恒成立⇔a≥f(x)max；(2)a≤f(x)恒成立⇔a≤f(x)min.【练题型】已知函数的一个零点为．(1)求A和函数的最小正周期；(2)当时，若恒成立，求实数m的取值范围．【题型三】利用对称性求三角函数零点【讲题型】例题.已知．(1)求函数的值域；(2)若方程在上的所有实根按从小到大的顺序分别记为，求的值．【讲技巧】三角函数图像的主要一个特征，就是轴对称与中心对称。与水平线相交时的零点，多以对称轴为突破点与其他函数相交时的零点，一般情况下，要看看其他函数是否具有对称中心【练题型】已知函数.(1)求函数的单调递增区间；(2)若函数在区间上恰有个零点，（i）求实数的取值范围；（ii）求的值.【题型四】恒等变形【讲题型】例题.已知、是方程的两个实数根.(1)求实数的值；(2)求的值；(3)若，求的值.【讲技巧】(1)化简的基本原则是：①切化弦：公式tanx＝eq\f(sinx,cosx)；②降次数：公式cos2α＝eq\f(1＋cos2α,2)，sin2α＝eq\f(1－cos2α,2)；(2)和积转换法：运用公式(sinθ±cosθ)2＝1±2sinθcosθ解决sinθ±cosθ与sinθcosθ关系的变形、转化；(3)巧用“1”的变换：1＝sin2θ＋cos2θ＝cos2θ(1＋tan2θ)＝sin2θeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,tan2θ)))＝taneq\f(π,4)；(4)整角转化：运用相关角的互补、互余等特殊关系，如2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝(α＋β)－β，β＝eq\f(α＋β,2)－eq\f(α－β,2)等【练题型】已知．(1)求证：；(2)若已知，求的值．【题型五】三角函数图像与解析式综合【讲题型】例题.已知函数的部分图象如图所示.(1)求函数的解析式；(2)将函数图象上所有的点向右平移个单位长度，再将所得图象上每一个点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象.当时，方程恰有三个不相等的实数根，，求实数a的取值范围以及的值.【讲技巧】形如函数y＝Asin(ωx＋φ)的图像及性质(1)图像变换：①相位变换：y＝sinx→y＝sin(x＋φ)的规则是：左加(φ＞0)或右减(φ＜0)|φ|个单位；②周期变换：y＝sin(x＋φ)→y＝sin(ωx＋φ)的规则是：纵坐标不变，将横坐标缩小(伸长)为原来的|eq\f(1,ω)|倍；③振幅变换：y＝sin(ωx＋φ)→y＝Asin(ωx＋φ)的规则是：横坐标不变，将纵坐标缩小(伸长)为原来的|A|倍；注意：y＝sinωx→y＝sin(ωx＋φ)变换规则是：先提取后者x的系数ω，然后在左(右)平移|eq\f(φ,ω)|个单位；(2)基本性质：①定义域：解三角函数不等式用“数形结合” ②值域：由内向外 ③单调性：同增异减(3)周期公式：①y＝Asin(ωx＋φ)(或y＝Acos(ωx＋φ))的最小正周期T＝eq\f(2π,|ω|) ②y＝|Asin(ωx＋φ)|的周期T＝eq\f(π,|ω|).(3)对称性：换元思想，将y＝Asin(ωx＋φ)中的“ωx＋φ”看成y＝sinx中的“x”，采用整体代入求解．①对称轴：最值处，令sin(ωx＋φ)＝1，则ωx＋φ＝kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)，可求得对称轴方程；②对称中心：零点处，令sin(ωx＋φ)＝0，ωx＋φ＝kπ(k∈Z)，可求得对称中心的横坐标；正弦“第一零点”：；正弦“第二零点”：余弦“第一零点”：；余弦“第二零点”：【练题型】已知函数的部分图象如图所示．(1)求函数的解析式；(2)将函数的图象上所有的点向右平移个单位，再将所得图象上每一个点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象．当时，方程恰有三个不相等的实数根，求实数a的取值范围和的值．【题型六】正弦定理化简求角【讲题型】例题.在中，角、、所对的边分别为、、，且．(1)求角；(2)若，，求的面积．【讲技巧】在处理三角形中的边角关系时，一般将边角混合的式子全部化为角的关系式或全部化为边的关系式．式子中若出现边的一次式，一般采用正弦定理，若出现边的二次式，一般采用余弦定理．应用正、余弦定理时，注意公式变式的应用．解决三角形问题时，注意角的限制范围．【练题型】在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．(1)求A；(2)若△ABC的面积为，，求a．【题型七】余弦定理+均值求角范围【讲题型】例题.已知的内角所对的边分别为，.(1)求角的最大值；(2)若的面积为，，且，求b和c的值.【讲技巧】解三角形中最值或范围问题，通常涉及与边长，周长有关的范围问题，与面积有关的范围问题，或与角度有关的范围问题，常用处理思路：①余弦定理结合基本不等式构造不等关系求出答案；②采用正弦定理边化角，利用三角函数的范围求出最值或范围，如果三角形为锐角三角形，或其他的限制，通常采用这种方法；③巧妙利用三角换元，实现边化角，进而转化为正弦或余弦函数求出最值【练题型】记锐角的内角为，已知.(1)求角的最大值；(2)当角取得最大值时，求的取值范围.【题型八】求周长最值型【讲题型】例题.．在①；②；③设△ABC的面积为S，且．这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上．并加以解答．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．(1)求角B的大小；(2)若，，求钝角△ABC的周长的取值范围．（如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）【讲技巧】解三角形：最值范围可以用余弦定理+均值不等式来求解。可以利用正弦定理，结合角与角所对应的边，转化为角的形式，再进行三角恒等边形，化一，求解最值与范围，要主语三角形是否有“锐角、钝角”三角形的角度范围限制【练题型】已知△ABC的内角A，B，C所对边分别为a，b，c，且.(1)求B的大小；(2)若△ABC为钝角三角形，且，求△ABC的周长的取值范围.【题型九】求面积最值型【讲题型】例题.在中，内角所对的边分别为，且．(1)若，求角的值；(2)若外接圆的周长为，求面积的取值范围．【练题型】在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.(1)若，的面积为，求的值；(2)若为锐角三角形，作角B的平分线交AC于点D，记与的面积分别为，，求的取值范围.【题型十】四边形最值型【讲题型】例题.如图所示，在平面四边形中，，设.(1)若，求的长；(2)当为何值时，△的面积取得最大值，并求出该最大值.【讲技巧】四边形面积最值型，一般用某一条对角线，把四边形分为两个三角形，有公共边的两个三角形个再各自用余弦定理，构建数量关系【练题型】在中，角，，的对边分别为，，，．(1)求角的大小；(2)若，为外一点（、在直线两侧），，，求四边形面积的最大值．【题型十一】中线型最值【讲题型】例题.．已知内角所对的边分别为，面积为，且，求：(1)求角A的大小；(2)求边中线长的最小值.【讲技巧】三角形中线的处理方法（如图）：1.向量法：双余弦定理法（补角法）：如图设，在中，由余弦定理得，①在中，由余弦定理得，②因为，所以所以①+②式即可3.延伸补形法：如图所示，延伸中线，补形为平行四边形4.中线分割的俩三角形面积相等【练题型】已知内角所对的边分别为，面积为，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知条件（若两个都选，以第一个评分），求：(1)求角的大小；(2)求边中线长的最小值.条件①：;条件②：.【题型十二】角平分线型最值【讲题型】例题.在中，角，，的对边分别是，，，满足(1)求角；(2)若角的平分线交于点，且，求的最小值.【讲技巧】三角形角平分线的处理方法：角平分线定理（大题中，需要证明，否则可能会扣过程分）：【练题型】已知的内角A，B，C的对边为a，b，c，且．(1)求；(2)若的面积为，求内角A的角平分线长的最大值．，【题型十三】与高有关的最值型【讲题型】例题.在中，角，，的对边分别是，，，且满足．(1)求；(2)若，是边上的高，求的最大值．【讲技巧】三角形高的处理方法：1.等面积法：两种求面积公式如2.三角函数法：5.三角形内心：【练题型】在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知且.(1)若，求；(2)若BC边上的高是AH，求BH的最大值.【题型十四】外接圆型【讲题型】例题.已知的内角、、所对的边分别为、、，.(1)求角；(2)若为锐角三角形，且外接圆的半径为，求的取值范围.【讲技巧】三角形所在的外接圆的处理方法：1.外接圆的圆心到三角形的三个顶点的距离相等。锐角三角形外心在三角形内部。直角三角形外心在三角形斜边中点上。钝角三角形外心在三角形外。2.正弦定理：eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)＝2R，其中R为外接圆半径【练题型】在中，角的对边分别为a，b，c，且．(1)求B；(2)若外接圆的半径为，点D为边的中点，证明：．【题型十五】有角无边型最值【讲题型】例题.在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，.(1)证明：；(2)求的取值范围.【讲技巧】有角无边型1.一个角为定值，则另外俩角和为定值，所以可以消角。2.注意锐角三角形，或者钝角三角形对角的范围的限制，如果有这样限制，要对每个角都要用不等式范围求解。3.有角无边型，如果出现边，多为边的比值齐次式型，一般可以用正弦定地来边化角转化【练题型】已知在三角形ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的三边，若(1)求∠C的大小；(2)求的值．【题型十六】边系数不对称型最值【讲题型】例题在锐角三角形中,角的对边分别为,向量,,且.(1)求角的大小;(2)若的面积为,求的取值范围.【练题型】已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．(1)求A；(2)若，求的取值范围．【题型十七】角非对边型最值【讲题型】例题.在锐角中，角A，，所对的边分别为．(1)求A；(2)若，求面积的取值范围．【练题型】在锐角中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，已知．(1)求角B的值；(2)若，求的周长的取值范围．【题型十八】判断三角形形状【讲题型】例题.在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并解答问题．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知______．(1)求角C的值；(2)若的面积，试判断的形状．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．【讲技巧】判断三角形形状的方法：角化边，通过正、余弦定理化角为边，通过因式分解、配方等方法得出边与边之间的关系，进行判断；边化角，通过正、余弦定理化边为角，利用三角恒等变换、三角形内角和定理及诱导公式等推出角与角之间的关系，进行判断．无论使用哪种方法，都不要随意约掉公因式，要移项、提取公因式，否则会有遗漏一种情况的可能．注意挖掘隐含条件，重视角的范围对三角函数值的限制．【练题型】已知的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，且．(1)若，求A的大小；(2)当取得最大值时，试判断的形状．【题型十九】三角形几解的问题【讲题型】例题.已知三内角A､B､C的对边分别为a､b､c，且.(1)求角A的值；(2)在解三角形问题中，若，且有两解，求边a的取值范围.【练题型】在中，角所对应的边分别为，，时，（1）若，求（2）记（i）当为何值时，使得有解；（写出满足条件的所有的值）（ii）当为何值时，为直角三角形（iii）直接写出一个满足条件的值，使得有两解【题型二十】三角形中边与角的不等式恒明【讲题型】例题.在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知．(1)求的最小值；(2)证明：．【练题型】已知.(1)求的取值范围；(2)若，，求证：.【题型二十一】解三角形模型应用【讲题型】例题.如图，经过村庄A有两条夹角为的公路，，根据规划，在两条公路之间的区域内建一工厂，分别在两条公路边上建两个仓库，（异于村庄），要求（单位：）.(1)当时，求线段的长度；(2)设，当取何值时，工厂产生的噪音对居民的影响最小？（即工厂与村庄的距离最远）【练题型】2022年是上海浦东开发开放32周年，浦东始终坚持财力有一分增长，民生有一分改善，全力打造我国超大城市的民生样板，使寸土寸金的商业用地变身“城市绿肺”，老码头､旧仓库变身步行道､绿化带等.现有一足够大的老码头，计划对其进行改造，规划图如图中五边形所示，线段处修建步行道，为等腰三角形，且，，，.(1)求步行道BE的长度；(2)若沿海的区域为绿化带，，当绿化带的周长最大时，求该绿化带