2026高三数学一轮复习第25讲　正弦定理、余弦定理 教师备用习题

第25讲正弦定理、余弦定理【备选理由】例1综合性比较强,是对例题的拓展;例2巧用向量的坐标法解决解三角形问题,提供了新的解题思路.1(1)[配合探究点三使用][2024·黑龙江哈尔滨期末]在锐角三角形ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,S为△ABC的面积,且4S=3[a2-(b-c)2],则b2+c2bc的取值范围为 (C)A.32,52 C.2,52 D.(2)已知锐角三角形ABC是单位圆的内接三角形,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且sin2A+sin2C-sin2B=4sin2AcosB-2sinAsinBcosC,则bca的取值范围是A.12,2 C.(3,23) D.3(3)[2024·北京东城区模拟]在锐角三角形ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,sinA-sinBsinC=c-ba+b,若a=23,则bA.[10,12] B.(10,12]C.[20,24] D.(20,24][解析](1)在锐角三角形ABC中,由余弦定理可知2bccosA=b2+c2-a2,由面积公式可得S=12bcsinA,4×12bc·sinA=3(a2-b2-c2+2bc),则2bc·sinA=3(-2bc·cosA+2bc因为bc≠0,所以sinA=-3cosA+3,则sinA+π3=32.因为所以0<A<π2,所以π3<A+π3<5π6,则A+π3=2π所以sinA=32,cosA=1则bc=sinBsinC=sin(A+C)因为△ABC为锐角三角形,所以0<C<π2,0<B=2π3-C<则π6<C<π2,又y=tanx在0所以1tanC∈(0,3).令t=bc=32·1tanC+1所以b2+c2bc=bc+cb=t+1t,由“对勾”函数的单调性知y=t+1又当t=1时,b2+c2bc=2,当t=12或t=2所以b2+c故选C.(2)因为锐角三角形ABC是单位圆的内接三角形,所以asinA=bsinB=csinC=2,则a=2sinA,b=因为sin2A+sin2C-sin2B=4sin2AcosB-2sinAsinBcosC,所以由正弦定理得a2+c2-b2=4a2cosB-2abcosC,根据余弦定理得a2+c2-b2=2accosB,所以4a2cosB-2abcosC=2accosB,则2acosB-bcosC=ccosB,即2acosB=ccosB+bcosC,由正弦定理得2sinAcosB=sinCcosB+sinBcosC=sin(B+C)=sin(π-A)=sinA,又sinA≠0,所以cosB=12因为△ABC是锐角三角形,所以B∈0,π2,所以B=π3,所以0<A<π2,所以bca=3sinCsinA=3sin2π3-Asin因为π6<A<π2,所以0<1tanA<3,所以32<32故选D.(3)因为sinA-sinBsinC=c-ba+b,所以由正弦定理可得a-所以cosA=b2+c2-a22bc=12,又0<A<π2,所以A=π3.又a=23,所以由正弦定理得asinA=bsin又B+C=2π3,△ABC为锐角三角形,所以0<B<π2,0<C=2π3-B<π2,可得所以b2+c2=16(sin2B+sin2C)=16sin2B=161+34sin2B-又B∈π6,π2,所以2B-π6∈π6,所以20<b2+c2≤24.故选D.2[配合探究点一、三使用]在△ABC中,已知AB=2AC=4,∠BAC=60°,AB,BC边上的中线CF,AE交于点D,则cos∠EDF= (A)A.714 B.1010 C.77 [解析]由题意得AC=2,根据余弦定理得BC2=22+42-2×2×4cos60°=12,则BC=23,所以AC2+BC2=AB2,则∠ACB=90°,如图,以A为原点,AC所在直线为x轴,建立平面直角坐标系,则A(0,