专题01实数（期中复习讲义）八年级数学上学期沪教版五四制2024

专题01实数（期中复习讲义）核心考点复习目标考情分析平方根与立方根了解算术平方根、平方根、立方根的概念及表示方法；了解开方与乘方互为逆运算，会用平方根、立方根计算及解决实际问题。高频考点：常以选择填空、解答形式考查。重难点题型考查平方根、立方根的性质应用和规律探究。性质应用常因忽略平方根的正负性而致错。无理数与实数了解无理数和实数的概念，知道实数与数轴上的点一一对应，能用有理数估计一个无理数的大致范围，能进行简单的实数运算。并会按问题的要求对结果取近似值。高频考点：常以选择填空、解答形式考查。重难点题型考查无理数的估算与实数运算。知识点01：平方根一般地，如果一个数x的平方等于a，即x²=a，那么这个数x叫作a的平方根，也称为二次方根.a叫作被开方数.求一个数a的平方根的运算叫作开平方，·示例：求64的平方根，就是要对64进行开平方运算，64是被开方数.正数的两个平方根可以用“”表示，其中+表示的正平方根（即算术平方根），表示的负平方根，读作“负根号”．0的平方根记为“”，=0.·易错点：忽略平方根的正负性，将平方根等同于算术平方根知识点02：平方根的性质正数有两个平方根，它们互为相反数;0的平方根是0;负数没有平方根.被开方数的小数点向右或者向左移动两位，它的算术平方根的小数点相应地向右或者向左移动一位.知识点03：立方根一般地，如果一个数x的立方等于a，即x³=a，那么这个数x叫作a的立方根，也称为三次方根.a叫作被开方数求一个数a的立方根的运算叫作开立方.例如，求64的立方根，就是要对64进行开立方运算，64是被开方数.一个数a的立方根用“”表示。知识点04：立方根的性质正数的立方根为正数，的立方根为，负数的立方根为负数。当被开方数(大于0)扩大(或缩小)倍，它的立方根相应地扩大(或缩小)倍．被开方数的小数点向右或者向左移动三位，它的立方根的小数点相应地向右或者向左移动一位知识点05：有理数的小数形式可以把整数看成小数点后是0的小数，于是任何一个有理数都可以写成有限小数或无限循环小数的形式。反过来，任何有限小数或无限循环小数也都是有理数.有理数必为有限小数或无限循环小数;反过来，有限小数或无限循环小数必为有理数.·易错点：混淆无限小数与无理数的定义，认为“无限小数都是无理数”。知识点06：无理数无限不循环小数又叫无理数.·示例：（1）无理数的特征：无理数的小数部分位数无限.无理数的小数部分不循环，不能表示成分数的形式.（2）常见的无理数有三种形式：①含类.②看似循环而实质不循环的数，如：1.313113111…….③带有根号的数，但根号下的数字开方开不尽，如.·易错点：认为带根号的数都是无理数，或无理数只能用根号表示。知识点07：实数与数轴1.实数的概念与分类有理数和无理数统称为实数.有理数为有限小数或无限循环小数，无理数为无限不循环小数.不是有理数的实数就是无理数.实数可以这样分类:实数也可以分为正实数、0、负实数。2.实数与数轴上的点的关系我们尝试用数轴上的一个点来表示．由前面的学习，我们知道两个边长为1的小正方形可以拼成一个面积为2的正方形ABCD，它的边长为．观察正方形ABCD，可知它的一边是一个直角三角形的斜边，这个直角三角形的两条直角边长都是1．这样，就在数轴上确定一个点来表示．要点归纳：每一个实数都可以用数轴上的点表示，而且这些点是唯一的；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数．数轴上的点与实数一一对应。·易错点：认为数轴上的点只能表示有理数，或无理数无法在数轴上精确表示。知识点08：实数的绝对值与大小比较借助数轴，可以将有理数的绝对值、大小比较推广到实数.有理数关于相反数和绝对值的意义同样适合于实数.一个实数在数轴上所对应的点到原点的距离，叫作这个实数的绝对值，实数a的绝对值记作|a|.绝对值相等、符号相反的两个实数互为相反数;0的相反数是0.非零实数a的相反数是a.一个正实数的绝对值是它本身，0的绝对值是0，一个负实数的绝对值是它的相反数，设a表示一个实数，则·易错点：绝对值化简时符号错误：|π3|错写为3π（正确应为π3，因π＞3）。知识点09：实数的运算实数的加、减、乘、除、乘方运算的意义，和有理数运算的意义一样，我们学过的有理数的运算法则、运算律以及运算顺序的规定，在实数范围内同样适用.若a、b、c为实数，则有加法交换律:a+b=b+a.加法结合律:(a+b)+c=a+(b+c)乘法交换律:ab=ba.乘法结合律:(ab)c=a(bc).乘法对加法的分配律:a(b+c)=ab+ac.实数之间不仅可以进行加、减、乘、除、乘方运算，而且正数和0可以进行开平方运算，任意一个实数可以进行开立方运算，实数混合运算的顺序为:先乘方和开平(立)方，再乘除，最后加减对于涉及无理数的实数运算，如果没有指明运算结果保留几位小数，那么通常是利用实数的运算法则和运算律对算式进行化简。对于涉及无理数的实数运算，很多时候需要对结果取近似值.这时，可以先对算式进行适当化简，然后一般用“四舍五人法”，按照所要求的精确度取近似值.知识点10：科学记数法把一个数表示成a×(1≤|a|<10，a是整数或小数，n是整数)的形式，这种记数方法叫作科学记数法，当a=1或a=1时,“1”常省略不写·示例：如0.=，=用科学记数法表示绝对值较大或较小的数给表达和计算带来了方便，对于绝对值较大的数，可以直观地表示这个数的整数的位数。·示例：如3.2×有六个整数位.对于绝对值较小的数，可以直观地表示这个数的小数点与左起第一个非零数字之间0的个数，如1.23×的小数点与左起第一个非零数字1之间有三个0.题型一平方根、立方根的性质应用（含非负性）解｜题｜技｜巧1.非负性三巨头：数的偶次方、绝对值以及算术平方根．1.平方根的双重非负性：（被开方数非负）（算术平方根非负），需同时满足。2.立方根的符号性：正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0。【答案】．【答案】±∴a﹣3=0，b﹣4=0，解得a=3，b=4，【答案】题型二无理数的估算（含整数部分、小数部分）解｜题｜技｜巧1.“夹逼法”估算整数部分2.小数部分计算：小数部分=无理数其整数部分（小数部分一定为正数，且小于1）。3.大小比较：将有理数平方（或立方）后与无理数的被开方数比较（需注意：正数平方/立方后大小关系不变，负数需谨慎）【答案】故答案为：【答案】3故答案为：3．的值为．【答案】．故答案为：．(1)“混天绫”的总长度是多少米？(2)哪吒的“混天绫”长度是否足够完成新阵法？请通过计算说明理由．（2）解：能，理由如下：设长方形的长为米，宽为米，能够完成新阵法．【答案】故答案为：【答案】需要米的篱笆需要米的篱笆．题型三实数混合运算解｜题｜技｜巧1.“分步拆解”原则：将算式按“类型”拆分为多个小项，分别计算后再合并（如拆为“算术平方根项”“立方根项”“零指数项”“负指数项”“绝对值项”）。2.绝对值化简：先判断绝对值内数的正负，再去绝对值符号（正数绝对值是本身，负数绝对值是相反数）【答案】【点睛】本题考查了实数的加减运算，熟练掌握运算法则是解题关键．【答案】【答案】类比乘法对加法的分配率对根号前的数字先合并即可．题型四实数的规律探究（含新定义）解｜题｜技｜巧1.数列规律：从“结构”入手观察已知项的“被开方数”或“结果”的变化规律（如等差、等比、平方数、立方数）2.新定义运算：“照葫芦画瓢”：先明确新定义的规则，再将具体数值代入规则，严格按步骤计算（注意符号、被开方数非负等前提）。【答案】∴的主要值是．故答案为：．【典例2】完善下面表格，发现平方根和立方根的规律，并运用规律解决问题．x…64640064000……8m……n40…(1)表格中的______，______；【答案】(1)80，4【分析】本题考查了算术平方根，立方根的计算，及其规律的发现，熟练掌握计算方法和规律是解题的关键．（1）根据算术平方根的意义计算，根据立方根的规律求解．（2）根据表格得出算术平方根的规律，即可求解．（3）根据（2）中规律求出a，根据表格得出立方根的规律，然后求出b，即可求解．故答案为：80，4；（2）解：从表格数字中可以发现：开算术平方根时，被开方数的小数点每向左（或向右）移动两位，它的算术平方根的小数点随即向左（或向右）移动一位．（3）解：根据平方根的变化规律得：从表格数字中可以发现：被开方数的小数点每向左（或向右）移动三位，它的立方根的小数点随即向左（或向右）移动一位．【答案】【知识点】求一个数的算术平方根故答案为：．【变式2】观察下表规律．a88000220200【分析】此题考查了立方根，解题的关键是根据图表找到规律，即如果一个数扩大1000倍，它的立方根扩大10倍，如果一个数缩小1000倍，它的立方根缩小10倍．根据立方根的变化特点和给出的数据进行解答即可．【详解】解：根据图表中的规律得，【变式3】阅读材料，解答问题：(1)计算下列各式：(3)通过（1）（2），完成下列问题：【答案】(1)①，；②，【分析】本题考查算术平方根的计算，读懂题意，理解题中新的运算公式，掌握运算法则是解决问题的关键．（1）由算术平方根的定义计算即可得到答案；（2）根据规律总结即可得答案；故答案为：①，；②，题型五实数与数轴上两点间距离（跨章节）【分析】本题主要考查了数轴上两点距离计算，之间用较大的数减去较小的数即可得到答案．【典例2】（2324七年级下·上海闵行·期中）已知数轴上点A到原点的距离为2，则在数轴上到点A的距离为的点所表示的数有个．【答案】4【分析】本题考查实数与数轴、两点间的距离，首先根据数轴上点A到原点的距离为2，则点A对应的数是，再根据数轴上到点A的距离为进一步得到对应的点．【详解】解：∵数轴上点A到原点的距离为2，∴点A对应的数是．∴在数轴上到点A的距离为的点所表示的数有4个，故答案为：4．【变式1】（2324七年级下·上海松江·期中）数轴上到这点距离为的点所表示的数是．【知识点】数轴上两点之间的距离、实数与数轴【分析】本题考查了实数与数轴，利用两点间距离公式分左右两种情况计算即可求解，掌握两点间距离公式是解题的关键．【变式2】（2324七年级下·上海金山·期中）阅读理解题如图1．下面让我们一起利用绝对值的几何意义来探究最小值问题．问题：请你模仿上述研究方法：【知识点】数轴上两点之间的距离、实数与数轴、线段的和与差【分析】本题考查实数与数轴，数轴上两点距离，掌握数轴上两点距离，分区间结合数形结合的方法是解题关键．【详解】（1）解：如图，对应的数为，对应的数为，期中基础通关练（测试时间：10分钟）A．3 B． C． D．【答案】B【知识点】求一个数的立方根【分析】本题主要考查了求一个数的立方根．根据立方根的性质计算，即可．故选：B2．（2324六年级下·上海浦东新·期末）已知地球与月球的距离约为千米，数据用科学记数法表示正确的是（

）【答案】D故选：D．3．（2324七年级下·上海黄浦·期中）学校里有一个正方形的花坛，它的面积是20平方米，请你估计这个正方形的边长约在（

）A．3米和4米之间 B．4米和5米之间 C．5米和6米之间 D．6米和7米之间【答案】B【知识点】算术平方根的实际应用、无理数的大小估算【分析】此题考查了估算无理数的大小，先估算被开方数在哪两个相邻的平方数之间，再估算该无理数在哪两个相邻的整数之间．用用“夹逼法”求解即可．【详解】解：∵一个正方形的花坛，它的面积是20平方米，故选B．4．（2324七年级下·上海金山·期中）下列实数中，无理数是（

）【答案】D【知识点】求一个数的算术平方根、求一个数的立方根、无理数【分析】本题主要考查了无理数的概念，熟练掌握无理数的定义是解题的关键．根据无理数是无限不循环小数，可得答案．B．是分数，属于有理数，故本选项不合题意；D．是无限不循环小数，是无理数，故本选项题意．故选D．【知识点】用科学记数法表示绝对值小于1的数6．（2324七年级下·上海金山·期中）实数a的立方根是3，那么．【答案】【知识点】已知一个数的立方根，求这个数【详解】解：∵实数a的立方根是3，故答案为：【知识点】数轴上两点之间的距离、实数与数轴【知识点】利用平方根解方程【分析】本题主要考查了求平方根的方法解方程，先把常数项移到方程右边，再把方程两边同时除以9，接着把方程两边同时开平方即可得到答案．期中重难突破练（测试时间：10分钟）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】B【知识点】求一个数的算术平方根、求一个数的立方根、无理数【分析】本题主要考查了无理数的定义：无限不循环小数为无理数．根据无理数是无限不循环小数，可得答案．、是无理数，共2个，故选：B．2．（2324七年级下·上海黄浦·期中）根据下图中的程序，当输入为36时，输出的值是．【答案】【知识点】求一个数的算术平方根、求一个数的立方根、程序设计与实数运算【分析】此题主要考查了立方根、算术平方根的性质和应用．根据立方根、算术平方根的含义和求法，以及有理数、无理数的含义和求法，求出当输入的为36时，输出的值是多少即可．∴当输入的为36时，输出的值是．故答案为：．【答案】【知识点】数轴上两点之间的距离、实数与数轴、实数的混合运算【分析】本题主要考查了实数与数轴，实数的运算，直接用点B表示的数减去点A表示的数即可得到答案．故答案为：．4．（2324七年级下·上海浦东新·期中）的算术平方根减去的立方根的差为．【答案】【知识点】有理数的减法运算、求一个数的算术平方根、求一个数的立方根【分析】本题考查了算术平方根、立方根，根据算术平方根、立方根的定义计算即可得出答案，熟练掌握算术平方根、立方根的定义是解此题的关键．故答案为：．【答案】或【知识点】求一个数的平方根、求一个数的立方根【分析】本题考查平方根，立方根．如果一个数的平方等于，这个数就叫做的平方根，如果一个数的立方等于，那么这个数叫做的立方根，由此即可计算．【详解】解：的平方根是，故答案为：或．【答案】624【知识点】无理数的大小估算、新定义下的实数运算∴对624进行两次操作后可变为4，∴进行两次操作后可变为4的所以整数中，最大的是624，即的最大值为624．故答案为：624．【答案】【知识点】无理数整数部分的有关计算、已知字母的值，求代数式的值【分析】本题主要考查无理数的估算的运算，掌握无理数是无限不循环小数，包括整数部分和小数部分并理解其表示形式是解题的关键．无理数是无限不循环小数，包括整数部分和小数部分，由此即可求解．故答案为：．期中综合拓展练（测试时间：15分钟）（2324七年级下·上海杨浦·期中）在数轴上点A所对应的数是1，在数轴上点C所对应的数是，在数轴上点B所对应的数是x，如果点C和点B关于点A成中心对称，那么x的值为．【知识点】数轴上两点之间的距离、实数与数轴【分析】本题考查了实数与数轴，熟练掌握两点间的距离公式是解题的关键；根据点C和点B关于点A成中心对称，可得点A是的中点，据此求解即可．【详解】解：点A所对应的数是1，在数轴上点C所对应的数是，在数轴上点B所对应的数是x，又点C和点B关于点A成中心对称，【答案】【知识点】无理数整数部分的有关计算、已知式子的值，求代数式的值∵的整数部分为3，，故答案为：．【