专题12线线角线面角二面角点面距线面距面面距

专题12线线角、线面角、二面角、点面距、线面距、面面距【知识梳理】知识点1、求点线、点面、线面距离的方法（1）若P是平面外一点，a是平面内的一条直线，过P作平面的垂线PO，O为垂足，过O作OA⊥a，连接PA，则以PA⊥a．则线段PA的长即为P点到直线a的距离（如图所示）．（2）一条直线与一个平面平行时，这条直线上任意一点到这个平面的距离叫直线与平面的距离．（3）求点面距离的常用方法：①直接过点作面的垂线，求垂线段的长，通常要借助于某个直角三角形来求解．②转移法：借助线面平行将点转移到直线上某一特殊点到平面的距离来求解．③体积法：利用三棱锥的特征转换位置来求解．知识点2、异面直线所成角的常用方法求异面直线所成角的一般步骤：（1）找（或作出）异面直线所成的角——用平移法，若题设中有中点，常考虑中位线．（2）求——转化为求一个三角形的内角，通过解三角形，求出所找的角．知识点3、直线与平面所成角的常用方法求平面的斜线与平面所成的角的一般步骤（1）确定斜线与平面的交点（斜足）；（2）通过斜线上除斜足以外的某一点作平面的垂线，连接垂足和斜足即为斜线在平面上的射影，则斜线和射影所成的锐角即为所求的角；（3）求解由斜线、垂线、射影构成的直角三角形．知识点4、作二面角的三种常用方法（1）定义法：在二面角的棱上找一个特殊点，在两个半平面内分别作垂直于棱的射线．如图①，则∠AOB为二面角αlβ的平面角．（2）垂直法：过棱上一点作棱的垂直平面，该平面与二面角的两个半平面产生交线，这两条交线所成的角，即为二面角的平面角．如图②，∠AOB为二面角αlβ的平面角．【典型例题】A． B． C． D．【答案】A所以直线与所成的角为.故选：A.(2)求异面直线与所成的余弦值；所以异面直线与所成的余弦值为．(1)判断M点在PB的位置并说明理由；【解析】（1）连接BD交AC于O，连接OM，则O为BD靠近B的三等分点，所以M为PB上靠近B的三等分点．（3）取AD中点H，连接PH，HB，（2）记交于点，连接，①点为中点，求与所成的角的大小；（2）②又F为的中点，例8．（2023·福建厦门·高一统考期末）如图，棱长为2的正方体ABCD–A1B1C1D1中，E，F分别是棱AA1，CC1的中点，过E作平面，使得//平面BDF.(1)作出截正方体ABCDA1B1C1D1所得的截面，写出作图过程并说明理由；【解析】证明：（Ⅰ）取中点并连接，【过关测试】一、单选题A． B． C． D．【答案】C故选：.A． B． C． D．【答案】D故选：DA．90° B．60° C．45° D．30°【答案】B故与所成的角为60°．故选：B.A．60° B．45° C．30° D．90°【答案】A所以和所成的角，即为和所成的角，即和所成的角是.故选：AA． B． C． D．【答案】A【解析】由题意，将直三棱柱补全为如下图示的正方体，为上底面对角线交点，故选：AA． B． C． D．【答案】A【解析】如图所示：故选：A．A． B． C． D．【答案】A故选：AA． B． C． D．【答案】A故选：A【答案】A故选:AA． B． C． D．【答案】A故选：A.A． B． C． D．【答案】D【解析】故选：D.12．（2023·北京·高一北京市第十二中学校考期末）若一个正四棱锥的高和底面边长都为2，则它的侧面与底面所成角的余弦值为（

）【答案】B【解析】如图，设PO为正四棱锥的高，O为底面正方形中心，故选：B二、多选题A．与异面 B．与所成的角为C．与异面 D．与所成的角为【答案】AD对于A，与异面，故A正确；故选：AD.C．异面直线与所成的角为60°D．异面直线与所成的角为90°【答案】BC则直线与所成的角为60°，故C正确；直线与所成的角为60°，故D错误.故选：BC.【答案】BCD【解析】正三棱锥APBC和正三棱锥DPBC的侧棱长均为，BC2，则正三棱锥APBC中侧棱两两互相垂直，正三棱锥DPBC中侧棱两两互相垂直，则正三棱锥可以放到正方体中，如图所示，连接，，如图所示故选：BCD【答案】BCD故选：BCD．三、填空题【答案】故异面直线与所成角的余弦值是.故答案为：.【答案】90°所以异面直线与所成的角等于与所成的角，故答案为：.【答案】故答案为：【答案】【解析】故答案为：.【答案】/【解析】取的中点，连接、，如下图所示：故答案为：.【答案】故答案为：．【答案】故答案为：四、解答题(2)求异面直线与所成角的余弦值；【解析】（1）连接OC.所以异面直线AB与CD所成角的余弦值为.(2)求直线与所成角的余弦值.即异面直线与所成角的余弦值为.(2)求直线AC与平面APD所成的角的正弦值；28．（2023·全国·高一期中）如图①：在△ABC中，AB＝BC＝5，∠ABC＝90°，DE∥BC，DE＝2，将△ADE沿DE折起到△PDE的位置（如图②），且∠PEB＝60°.(1)请作出平面PBC与平面PDE的交线l（不需要说明理由）(2)证明；平面PBC⊥平面PBE；(3)求直线PE与平面PBC所成角的正弦值.【解析】（1）取中点记为，连接和，（2）取、中点分别记为、，连接、、、、、，由中位线定理得MN∥DC，MN＝DC，同理SR∥AB，SR＝AB，记交于点，平分、，（3）取中点记为，再取、上、两点，【解析】（1）设和交于点，连接，如图，（3）连接，，【解析】（1）证明：因为E，F分别为，的中点，（2）因为为的中点，33．（2023·浙江杭州·高一期末）如图，三棱台ABC－DEF中，∠ABC＝90°，AC＝2AB＝2DF，四边形ACFD为等腰梯形，∠ACF＝45°，平面ABED⊥平面ACFD.(1)求证：AB⊥CF；(2)求直线BD与平面ABC所成角的