高考数学（理科）人教版1轮复习练习第九章平面解析几何第7讲第2课时分层演练直击高考

一、选择题1．若动圆的圆心在抛物线y＝eq\f(1,12)x2上，且与直线y＋3＝0相切，则此圆恒过定点()A．(0，2) B．(0，－3)C．(0，3) D．(0，6)解析：选C.直线y＋3＝0是抛物线x2＝12y的准线，由抛物线的定义知抛物线上的点到直线y＝－3的距离与到焦点(0，3)的距离相等，所以此圆恒过定点(0，3)．2．已知点A是抛物线y2＝2px(p>0)上一点，F为其焦点，以F为圆心，以|FA|为半径的圆交准线于B，C两点，△FBC为正三角形，且△ABC的面积是eq\f(128,3)，则抛物线的方程为()A．y2＝12x B．y2＝14xC．y2＝16x D．y2＝18x解析：选C.由题意，如图可得eq\f(|DF|,|BF|)＝cos30°及|DF|＝p，可得|BF|＝eq\f(2p,\r(3))，从而|AF|＝eq\f(2p,\r(3))，由抛物线的定义知点A到准线的距离也为eq\f(2p,\r(3))，又因为△ABC的面积为eq\f(128,3)，所以eq\f(1,2)×eq\f(2p,\r(3))×eq\f(2p,\r(3))＝eq\f(128,3)，解得p＝8，故抛物线的方程为y2＝16x.3．设O为坐标原点，P是以F为焦点的抛物线y2＝2px(p>0)上任意一点，M是线段PF上的点，且|PM|＝2|MF|，则直线OM的斜率的最大值为()A.eq\f(\r(3),3)B.eqB.\f(2,3)C.eq\f(\r(2),2) D．1解析：选C.由题意得Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0))，设Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(yeq\o\al(2,0),2p)，y0))，显然当y0<0时，kOM<0；当y0>0时，kOM>0.要求kOM的最大值，则y0>0，则eq\o(OM,\s\up6(→))＝eq\o(OF,\s\up6(→))＋eq\o(FM,\s\up6(→))＝eq\o(OF,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(FP,\s\up6(→))＝eq\o(OF,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)(eq\o(OP,\s\up6(→))－eq\o(OF,\s\up6(→)))＝eq\f(1,3)eq\o(OP,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(OF,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(yeq\o\al(2,0),6p)＋\f(p,3)，\f(y0,3)))，所以kOM＝eq\f(\f(y0,3),\f(yeq\o\al(2,0),6p)＋\f(p,3))＝eq\f(2,\f(y0,p)＋\f(2p,y0))≤eq\f(2,2\r(\f(y0,p)·\f(2p,y0)))＝eq\f(\r(2),2)，当且仅当yeq\o\al(2,0)＝2p2时，取得等号．4．已知F为抛物线4y2＝x的焦点，点A，B都是抛物线上的点且位于x轴的两侧，若eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))＝15(O为原点)，则△ABO和△AFO的面积之和的最小值为()A.eq\f(1,8)B.eqB.q\f(\r(5),2)C.eq\f(\r(5),4)D.eqD.q\f(\r(65),2)解析：选D.设直线AB的方程为x＝ty＋m，A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线AB与x轴的交点为M(m，0)，联立eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(4y2＝x,x＝ty＋m))，可得4y2－ty－m＝0，根据根与系数的关系有y1·y2＝－eq\f(m,4)，因为eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))＝15，所以x1·x2＋y1·y2＝15，从而16(y1·y2)2＋y1·y2－15＝0，因为点A，B位于x轴的两侧，所以y1·y2＝－1，故m＝4.不妨令点A在x轴上方，则y1＞0，如图所示．又F(eq\f(1,16)，0)，所以S△ABO＋S△AFO＝eq\f(1,2)×4×(y1－y2)＋eq\f(1,2)×eq\f(1,16)y1＝eq\f(65,32)y1＋eq\f(2,y1)≥2eq\r(\f(65y1,32)×\f(2,y1))＝eq\f(\r(65),2)，当且仅当eq\f(65,32)y1＝eq\f(2,y1)，即y1＝eq\f(8\r(65),65)时取“＝”，所以△ABO与△AFO面积之和的最小值是eq\f(\r(65),2)，故选D. 二、填空题5．已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，准线为l.若射线y＝2(x－1)(x≤1)与C，l分别交于P，Q两点，则eq\f(|PQ|,|PF|)＝________．解析：由题意知，抛物线C：y2＝4x的焦点F(1，0)，准线l：x＝－1与x轴的交点为F1.过点P作直线l的垂线，垂足为P1，由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝－1,y＝2（x－1），x≤1))，得点Q的坐标为(－1，－4)，所以|FQ|＝2eq\r(5).又|PF|＝|PP1|，所以eq\f(|PQ|,|PF|)＝eq\f(|PQ|,|PP1|)＝eq\f(|QF|,|FF1|)＝eq\f(2\r(5),2)＝eq\r(5).答案：eq\r(5)6．抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点为F，点A，B在抛物线上，且∠AFB＝120°，过弦AB的中点M作准线l的垂线，垂足为M1，则eq\f(|MM1|,|AB|)的最大值为________．解析：如图，设|AF|＝a，|BF|＝b，连接AF、BF，由抛物线定义，得|AF|＝|AQ|，|BF|＝|BP|，在梯形ABPQ中，2|MM1|＝|AQ|＋|BP|＝a＋b.由余弦定理得，|AB|2＝a2＋b2－2abcos120°＝a2＋b2＋ab，配方得，|AB|2＝(a＋b)2－ab，又因为ab≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))eq\s\up12(2)，所以(a＋b)2－ab≥(a＋b)2－eq\f(1,4)(a＋b)2＝eq\f(3,4)(a＋b)2，得到|AB|≥eq\f(\r(3),2)(a＋b)．所以eq\f(|MM1|,|AB|)≤eq\f(\f(1,2)（a＋b）,\f(\r(3),2)（a＋b）)＝eq\f(\r(3),3)，即eq\f(|MM1|,|AB|)的最大值为eq\f(\r(3),3).答案：eq\f(\r(3),3)三、解答题7．过抛物线x2＝4y的对称轴上一点P(0，m)(m＞0)作直线l1，l1与抛物线交于A，B两点．(1)若eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))＜0(O为坐标原点)，求实数m的取值范围；(2)过点P且与l1垂直的直线l2与抛物线交于C，D两点，设AB，CD的中点分别为M，N，求证：直线MN必过定点，并求出该定点的坐标(用m表示)．解：(1)设直线l1：y＝kx＋m，联立方程组eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2＝4y,y＝kx＋m))，消元得：x2－4kx－4m＝0.因为m＞0，所以Δ＝16k2＋16m＞0恒成立．设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝4k，x1x2＝－4m.所以y1y2＝(kx1＋m)(kx2＋m)＝k2x1x2＋km(x1＋x2)＋m2＝m2.所以eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))＝x1x2＋y1y2＝m2－4m＜0.又m＞0，解得0＜m＜4.(2)由(1)可得x1＋x2＝4k，y1＋y2＝k(x1＋x2)＋2m＝4k2＋2m，所以M(2k，2k2＋m)，同理可得Neq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,k)，\f(2,k2)＋m))，所以直线MN的方程为：eq\f(y－2k2－m,\f(2,k2)－2k2)＝eq\f(x－2k,－\f(2,k)－2k)，整理得：y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(k－\f(1,k)))x＋m＋2.所以直线MN过定点(0，m＋2)．8．已知O为坐标原点，直线l：x＝my＋b与抛物线E：y2＝2px(p>0)相交于A，B两点．(1)当b＝2p时，求eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))；(2)当p＝eq\f(1,2)且b＝3时，设点C的坐标为(－3，0)，记直线CA，CB的斜率分别为k1，k2，证明：eq\f(1,keq\o\al(2,1))＋eq\f(1,keq\o\al(2,2))－2m2为定值．解：设A(x1，y1)，B(x2，y2)．联立方程，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y2＝2px,x＝my＋b))，消元得y2－2mpy－2pb＝0.所以y1＋y2＝2mp，y1y2＝－2pb.(1)当b＝2p时，y1y2＝－4p2，x1x2＝eq\f(（y1y2）2,4p2)＝4p2，eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))＝x1x2＋y1y2＝4p2－4p2＝0.(2)证明：当p＝eq\f(1,2)且b＝3时，y1＋y2＝m，y1y2＝－3，因为k1＝eq\f(y1,x1＋3)＝eq\f(y1,my1＋6)，k2＝eq\f(y2,x2＋3)＝eq\f(y2,my2＋6).所以eq\f(1,k1)＝m＋eq\f(6,y1)，eq\f(1,k2)＝m＋eq\f(6,y2).因此eq\f(1,keq\o\al(2,1))＋eq\f(1,keq\o\al(2,2))－2m2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(m＋\f(6,y1)))eq\s\up12(2)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(m＋\f(6,y2)))eq\s\up12(2)－2m2＝2m2＋12meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,y1)＋\f(1,y2)))＋36eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,yeq\o\al(2,1))＋\f(1,yeq\o\al(2,2))))－2m2＝12m×eq\f(y1＋y2,y1y2)＋36×eq\f(（y1＋y2）2－2y1y2,yeq\o\al(2,1)yeq\o\al(2,2))＝12m×eq\f(－m,3)＋36×eq\f(m2＋6,9)＝24.即eq\f(1,keq\o\al(2,1))＋eq\f(1,keq\o\al(2,2))－2m2为定值．9．如图，已知抛物线x2＝y，点Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(1,4)))，Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，\f(9,4)))，抛物线上的点P(x，y)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)<x<\f(3,2))).过点B作直线AP的垂线，垂足为Q.(1)求直线AP斜率的取值范围；(2)求|PA|·|PQ|的最大值．解：(1)设直线AP的斜率为k，k＝eq\f(x2－\f(1,4),x＋\f(1,2))＝x－eq\f(1,2)，因为－eq\f(1,2)<x<eq\f(3,2)，所以直线AP斜率的取值范围是(－1，1)．(2)联立直线AP与BQ的方程eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(kx－y＋\f(1,2)k＋\f(1,4)＝0，,x＋ky－\f(9,4)k－\f(3,2)＝0，))解得点Q的横坐标是xQ＝eq\f(－k2＋4k＋3,2（k2＋1）).因为|PA|＝eq\r(1＋k2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,2)))＝eq\r(1＋k2)(k＋1)，|PQ|＝eq\r(1＋k2)(xQ－x)＝－eq\f(（k－1）（k＋1）2,\r(k2＋1))，所以|PA|·|PQ|＝－(k－1)(k＋1)3.令f(k)＝－(k－1)(k＋1)3，因为f′(k)＝－(4k－2)(k＋1)2，所以f(k)在区间eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，\f(1,2)))上单调递增，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))上单调递减，因此当k＝eq\f(1,2)时，|PA|·|PQ|取得最大值eq\f(27,16).10．如图，已知抛物线C：x2＝4y，直线l1与C相交于A，B两点，线段AB与它的中垂线l2交于点G(a，1)(a≠0)．(1)求证：直线l2过定点，并求出该定点坐标；(2)设l2分别交x轴，y轴于点M，N，是否存在实数a，使得A，M，B，N四点在同一个圆上，若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由．解：(1)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(xeq\o\al(2,1)＝4y1,xeq\o\al(2,2)＝4y2))，两式相减可得(x1＋x2)(x1－x2)＝4(y1－y2)，可得kAB＝eq\f(y1－y2,x1－x2)＝eq\f(x1＋x2,4)＝eq\f(2a,4)＝eq\f(1,2)a，由两直线垂直的条件可得直线l2的斜率为－eq\f(2,a)；即有直线l2：y＝－eq\f(2,a)(x－a)＋1，可得l2：y＝－eq\f(2,a)x＋3过定点(0，3)．(2)l2：y＝－eq\f(2,a)x＋3过Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3a,2)，0))，N(0，3)，假设存在实数a，使得A，M，B，N四点在同一个圆上，由中垂线的性质可得∠MAN＝∠MBN，可得∠MAN＝90°，即有|AG|2＝|MG||NG|，由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝\f(a,2)（x－a）＋1,x2＝4y))，可得x2－2ax＋2a2－4＝0，x1＋x2＝2a，x1x2＝2a2－4，由弦长公式可得|AB|＝eq\r(1＋\f(a2,4))eq\r(4a2－4（2a2－4）)＝eq\r(1＋\f(a2,4))eq\r(16－4a2)，即有|MG||NG|＝eq\r(1＋\f(a2,4))eq\r(4＋a2)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(|AB|,2)))eq\s\up12(2)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(a2,4)))(4－a2)，所以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(a2,4)))(4－a2)＝eq\f(1,2)(a2＋4)，所以a2＝2，解得a＝±eq\r(2).故存在这样的实数a，且为±eq\r(2).1．已知抛物线C：y＝x2，点P(0，2)，A，B是抛物线上两个动点，点P到直线AB的距离为1.(1)若直线AB的倾斜角为eq\f(π,3)，求直线AB的方程；(2)求|AB|的最小值．解：(1)设直线AB的方程：y＝eq\r(3)x＋m，则eq\f(|m－2|,\r(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(3)))\s\up12(2)))＝1，所以m＝0或m＝4，所以直线AB的方程为y＝eq\r(3)x或y＝eq\r(3)x＋4.(2)设直线AB的方程为y＝kx＋m，则eq\f(|m－2|,\r(1＋k2))＝1，所以k2＋1＝(m－2)2.由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝kx＋m,y＝x2))，得x2－kx－m＝0，所以x1＋x2＝k，x1x2＝－m，所以|AB|2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋k2))[eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x1＋x2))eq\s\up12(2)－4x1x2]＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋k2))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(k2＋4m))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(m－2))eq\s\up12(2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(m2＋3))，记f(m)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(m－2))eq\s\up12(2)(m2＋3)，所以f′(m)＝2(m－2)(2m2－2m＋3)，又k2＋1＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(m－2))eq\s\up12(2)≥1，所以m≤1或m≥3，当m∈eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，1))时，f′(m)＜0，f(m)单调递减，当m∈eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，＋∞))时，f′(m)＞0，f(m)单调递增，又f(1)＝4，f(3)＝12，所以f(m)min＝f(1)＝4，所以|AB|min＝2.(1)求抛物线C1的方程；(2)已知圆C2：(x－1)2＋y2＝eq\f(1,16)，是否存在倾斜角不为90°的直线l，使得线段AB被圆C2三等分？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．解：(1)当倾斜角为60°的直线l经过抛物线C1的焦点F时，直线l的方程为y＝eq\r(3)(x－eq\f(p,2))，联立方程组eq\b\lc\{(\a\vs4