第04讲 基本不等式及其应用（精讲）-高考数学一轮复习讲义及高频考点归纳与方法总结（新高考）原卷版

2025年高考数学一轮复习讲义及高频考点归纳与方法总结（新高考通用）第04讲基本不等式及其应用（精讲）①直接法求最值②常规凑配法求最值③消参法求最值④“1”的代换求最值⑤双换元法求最值⑥二次（一次）商式的最值⑦利用基本不等式解决实际问题⑧利用基本不等式证明一、必备知识整合一、必备知识整合一、基本不等式如果，那么，当且仅当时，等号成立．其中，叫作的算术平均数，叫作的几何平均数．即正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．基本不等式1：若，则，当且仅当时取等号；基本不等式2：若，则（或），当且仅当时取等号.注：（1）基本不等式的前提是“一正”“二定”“三相等”；其中“一正”指正数，“二定”指求最值时和或积为定值，“三相等”指满足等号成立的条件.（2）连续使用不等式要注意等号取得一致.（1）几个重要的不等式①②基本不等式：如果，则(当且仅当“”时取“”).特例：（同号）.二、均值定理已知.（1）如果(定值)，则(当且仅当“”时取“=”).即“和为定值，积有最大值”.（2）如果(定值)，则(当且仅当“”时取“=”).即积为定值，和有最小值”.三、常见求最值模型模型一：，当且仅当时等号成立；模型二：，当且仅当时等号成立；模型三：，当且仅当时等号成立；模型四：，当且仅当时等号成立.①(沟通两和与两平方和的不等关系式)②(沟通两积与两平方和的不等关系式)③(沟通两积与两和的不等关系式)④不等式串：二、考点分类精讲二、考点分类精讲【题型一直接法求最值】直接利用基本不等式求解，注意取等条件【典例1】（单选题）（2023-2024·甘肃省定西模拟）的最小值为（

）A． B． C． D．一、单选题1．（23-24高三上·河南信阳·阶段练习）已知，，且，则的最大值为（

）A．0 B．1 C．-1 D．22．（23-24高三上·四川雅安·期中）已知，，则“”是“”的（

）A．充分必要条件 B．充分不必要条件C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件3．（23-24高一上·广东潮州·期末）设，则函数的最小值为（）A．6 B．7 C．10 D．114．（22-23高一下·陕西宝鸡·期末）已知，则的最大值为（

）A． B． C． D．35．（2024·全国·模拟预测）若，则的最小值为（

）A． B． C． D．二、填空题6．（23-24高三上·上海闵行·期中）已知，则函数的最小值是．7．（2023·上海徐汇·一模）若实数满足，则的最小值为．8．（2023高三·全国·专题练习）若正实数满足，且恒成立，则的最大值为．9．（23-24高一上·四川·期中）已知正数，满足，则的最大值为．【题型二常规凑配法求最值】1．通过添项、拆项、变系数等方法凑成和为定值或积为定值的形式．2．注意验证取得条件．【典例1】（单选题）（2024·陕西省西安模拟）函数的最小值为（

）A．2 B．5 C．6 D．7【典例2】（单选题）（2024·福建省厦门模拟）已知，，且，则的最大值为（

）A． B． C．1 D．2一、单选题1．（23-24高一上·云南昆明·期末）已知，为正实数，，则的最大值为（

）A． B． C． D．2．（23-24高三上·辽宁·开学考试）已知，，且，则的最大值为（

）A．1 B． C． D．3．（23-24高三上·西藏林芝·期末）已知，则的最小值是（

）A．3 B．4 C．6 D．7二、填空题4．（2023高一·江苏·专题练习）若，则的最大值是.5．（23-24高一上·吉林长春·期末）函数（）的最小值为．6．（2023高三·全国·专题练习）已知实数x满足，则函数的最大值为．【题型三消参法求最值】消参法就是对应不等式中的两元问题，用一个参数表示另一个参数，再利用基本不等式进行求解.解题过程中要注意“一正，二定，三相等”这三个条件缺一不可！【典例1】（单选题）（2024·重庆·模拟）已知，则的最小值为（

）A． B． C． D．一、单选题1．（2024·浙江嘉兴·二模）若正数满足，则的最小值是（

）A． B． C． D．22．（23-24高三下·浙江·阶段练习）已知实数x，y满足，且，则的最小值为（

）A． B．8 C． D．3．（23-24高三上·江苏镇江·阶段练习）设实数a，b满足，则的最大值为（

）A．2 B． C． D．3二、填空题4．（23-24高三上·江苏扬州·阶段练习）已知正实数满足，则的最小值是．5．（22-23高二下·天津和平·期末）已知，则的最小值是．6．（23-24高三上·江西抚州·阶段练习）已知x、y为正实数，且满足，则的最小值为【题型四“1”的代换求最值】1的代换就是指凑出1，使不等式通过变形出来后达到运用基本不等式的条件，即积为定值，凑的过程中要特别注意等价变形．1．根据条件，凑出“1”，利用乘“1”法．2．注意验证取得条件．【典例1】（单选题）（2024·山西临汾·模拟）已知，，且，则的最小值是（

）A． B．25 C．4 D．8一、单选题1．（2024·江苏南通·二模）设，，，则的最小值为（）A． B． C． D．32．（2024·黑龙江哈尔滨·二模）已知正实数x，y满足，则的最小值为（

）A．8 B．9 C．10 D．113．（2024·山西吕梁·二模）若函数，且的图象所过定点恰好在椭圆上，则的最小值为（

）A．6 B．12 C．16 D．184．（23-24高三下·江苏扬州·开学考试）已知实数，，满足，则的最小值为（

）A． B． C． D．5．（23-24高三上·浙江杭州·期末）若，则的最小值是（

）A． B．6 C． D．9二、填空题6．（2024高三下·上海·竞赛）若正实数满足，则的最小值是.7．（2024·内蒙古呼和浩特·一模）已知实数，且，则的最小值是．8．（2024·全国·模拟预测）已知，，且，则的最小值是．9．（2024·河南·三模）在中，角的对边分别为，若，则的最小值为．【题型五双换元法求最值】若题目中含是求两个分式的最值问题，对于这类问题最常用的方法就是双换元，分布运用两个分式的分母为两个参数，转化为这两个参数的不等关系．1．代换变量，统一变量再处理．2．注意验证取得条件．【典例1】（22-23高三上·江苏泰州·阶段练习）已知，，则的最小值.一、单选题1．（23-24高三上·四川巴中·开学考试）已知且，则的最小值为（

）A．10 B．9 C．8 D．7二、填空题2．（2024·全国·模拟预测）已知，，则的最小值为．3．（2023·全国·模拟预测）已知，，，则的最大值为．4．（22-23高一上·浙江宁波·期中）已知a，b，c均为正实数，，则的最小值是.5．（2023·全国·模拟预测）已知，则的取值范围是．6．（23-24高三下·重庆·开学考试）已知实数满足，则的最大值为；的取值范围为．【题型六二次（一次）商式的最值】【典例1】（单选题）（23-24高三上·河南漯河·期末）设正实数、、满足，则的最大值为（

）A． B． C． D．一、单选题1．（22-23高一上·云南楚雄·阶段练习）函数的最小值是（

）A． B．3 C．6 D．122．（22-23高一上·四川成都·阶段练习）设，则（

）A． B．C． D．二、填空题3．（2023高三·全国·专题练习）函数的最大值为.4．（22-23高一上·湖南益阳·阶段练习）已知，则函数的最小值是．5．（22-23高一上·上海浦东新·期中）函数的值域是．6．（23-24高一上·江苏宿迁·期中）已知，则的最小值为.【题型七利用基本不等式解决实际问题】利用基本不等式解决实际问题的三个注意点(1)设变量时，一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数．(2)解题时，一定要注意变量的实际意义及其取值范围．(3)在应用基本不等式求函数最值时，若等号取不到，可利用函数的单调性求解，如利用f(x)＝x＋eq\f(a,x)(a＞0)的单调性．【典例1】（单选题）（2024·广东韶关·二模）在工程中估算平整一块矩形场地的工程量W（单位：平方米）的计算公式是，在不测量长和宽的情况下，若只知道这块矩形场地的面积是10000平方米，每平方米收费1元，请估算平整完这块场地所需的最少费用（单位：元）是（

）A．10000 B．10480 C．10816 D．10818一、单选题1．（2024·黑龙江哈尔滨·一模）已知某商品近期价格起伏较大，假设第一周和第二周的该商品的单价分别为m元和n元，甲、乙两人购买该商品的方式不同，甲每周购买100元的该商品，乙每周购买20件该商品，若甲、乙两次购买平均单价分别为，则（

）A． B． C． D．的大小无法确定2．（23-24高三下·山东济宁·开学考试）一家商店使用一架两臂不等长的天平称黄金．一位顾客到店里购买黄金，售货员现将的砝码放在天平的左盘中，取出黄金放在天平右盘中使天平平衡；将天平左右盘清空后，再将的砝码放在天平右盘中，再取出黄金放在天平的左盘中，使天平平衡；最后将两次称得的黄金交给顾客．则（

）A． B．C． D．以上都有可能3．（2024·内蒙古呼和浩特·一模）小明在春节期间，预约了正月初五上午去美术馆欣赏油画，其中有一幅画吸引了众多游客驻足观赏，为保证观赏时可以有最大视角，警卫处的同志需要将警戒线控制在距墙多远处最合适呢？（单位：米，精确到小数点后两位）已知该画挂在墙上，其上沿在观赏者眼睛平视的上方3米处，其下沿在观赏者眼睛平视的上方1米处.（

）A．1.73 B．1.41 C．2.24 D．2.45二、填空题4．（23-24高三上·江苏南通·开学考试）某单位建造一个长方体无盖水池，其容积为，深3m.若池底每平米的造价为150元，池壁每平米的造价为120元，则最低总造价为元.5．（23-24高三上·湖北·开学考试）一家物流公司计划建立仓库储存货物，经过市场了解到下列信息：每月的土地占地费（单位：万元）与仓库到车站的距离（单位：）成反比，每月库存货物费（单位：万元）与成正比.若在距离车站处建立仓库，则与分别为万元和万元.则当两项费用之和最小时（单位：）.三、解答题6．（23-24高三下·上海·开学考试）建设生态文明是关系人民福祉、关乎民族未来的大计，是实现中国梦的重要内容．习近平指出：“绿水青山就是金山银山”．某乡镇决定开垦荒地打造生态水果园区，其调研小组研究发现：一棵水果树的产量（单位：千克）与肥料费用（单位：元）满足如下关系：．此外，还需要投入其它成本（如施肥的人工费等）元．已知这种水果的市场售价为16元千克，且市场需求始终供不应求．记该棵水果树获得的利润为（单位：元）．(1)求的函数关系式(2)当投入的肥料费用为多少时，该水果树获得的利润最大？最大利润是多少？7．（23-24高一上·安徽亳州·期末）拉鲁湿地国家级自然保护区位于西藏自治区首府拉萨市西北角，是国内最大的城市湿地自然保护区，也是世界上海拔最高、面积最大的城市天然湿地．其中央有一座凉亭，凉亭的俯瞰图的平面图是如图所示的正方形结构，其中EFIJ和GHKL为两个相同的矩形，俯瞰图白色部分面积为20平方米．现计划对下图平面正方形染色，在四个角区域（即图中阴影部分）用特等颜料，造价为200元/平方米，中间部分即正方形MNPQ区域使用一等颜料，造价为150元/平方米，在四个相同的矩形区域即EFNM，GHPN，PQJI，MQKL用二等颜料，造价为100元/平方米．(1)设总造价为W元，MN的边长为x米，AB的边长为y米，试建立W关于x的函数关系式；(2)计划至少要投入多少元，才能完成平面染色．8．（23-24高二上·上海·期末）如图，在宽为14的路边安装路灯，灯柱高为8，灯杆是半径为的圆的一段劣弧.路灯采用锥形灯罩，灯罩顶到路面的距离为10，到灯柱所在直线的距离为2.设为灯罩轴线与路面的交点，圆心在线段上.以为原点，以所在直线为轴建立平面直角坐标系.

(1)当点恰好为路面中点时，求此时圆的方程；(2)记圆心在路面上的射影为，且在线段上，求的最大值.【题型八利用基本不等式证明】类似于基本不等式的结构的不等式的证明可以利用