2025~2026学年香山中学高三级8月月考数学科试卷（含解析）

2025-2026学年香山中学高三级8月月考数学科试卷一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知z＝－1－i，则|z|＝()A．0 B．1C．eq\r(2) D．2【答案】C[因为z＝－1－i，所以|z|＝eq\r(－12＋－12)＝eq\r(2).故选C．2.设集合，，若，则（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】由，得，即，此时，由，得，而，所以.3.曲线在处的切线方程为（）A. B.C. D.【答案】D【详解】令，则，即，f1=0，所以曲线在处的切线方程为，即4.已知函数，则不等式解集为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】分和两种情况，结合指数函数和对数函数单调性，得到不等式解集.【详解】当时，，解得，与求交集得，当，，解得，与求交集得，故的解集为.故选：B5.设是定义在上且周期为2的偶函数，当时，，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据周期性和奇偶性把待求自变量转化为的范围中求解.【详解】由题知对一切成立，于是.故选：A6.已知且且且，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】令，利用导数研究其单调性后可得的大小.【详解】因为，故，同理，令，则，当时，，当时，，故在为减函数，在为增函数，因为，故，即，而，故，同理，，，因为，故，所以.故选：D．7.已知是各项均为正数的等差数列，且，则的最大值为（）A、10B、20C、25D、50【答案】C解：由得，即，由基本不等式得，当且时，等号成立。8.已知若函数有两个零点，则的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】当时，,则,当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减.所以时，.当时，，则，当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减.所以时，.画出函数的图象如图所示：因为函数有两个零点，所以与的图象有两个交点，由图可知或.所以的取值范围为.故选C.二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．A．∀x∈R，x2－x＋1>0B．“”是“”的必要不充分条件C．若命题：，，则的否定为：，D．若，则【答案】ABC【详解】对于选项A：，故A选项为真命题；对于选项B：因为是的真子集，所以“”是“”的必要不充分条件，故B选项为真命题；对于选项D：若，则，，故D选项为假命题.10.已知函数f(x)＝log2(x＋6)＋log2(4－x)，则()A．f(x)的定义域是(－6,4)B．f(x)有最大值C．不等式f(x)＜4的解集是(－∞，－4)∪(2，＋∞)D．f(x)在[0,4]上单调递增AB[由题意可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋6＞0，,4－x＞0，))解得－6＜x＜4，即f(x)的定义域是(－6,4)，则A正确；f(x)＝log2(－x2－2x＋24)，因为y＝－x2－2x＋24在(－6，－1)上单调递增，在(－1,4)上单调递减，y＝log2x在(0，＋∞)上单调递增，所以f(x)在(－6，－1)上单调递增，在(－1,4)上单调递减，所以f(x)max＝f(－1)＝2log25，则B正确；因为f(x)在(－6，－1)上单调递增，在(－1,4)上单调递减，且f(－4)＝f(2)＝4，所以不等式f(x)＜4的解集是(－6，－4)∪(2,4)，则C错误；因为f(x)在(－1,4)上单调递减，所以D错误11.已知函数f(x)的定义域是R，函数f(x)是偶函数，f(2x－1)＋1是奇函数，则()A．f(0)＝－1B．f(1)＝－1C．4是函数f(x)的一个周期D．函数f(x)的图象关于直线x＝9对称BC[因为f(2x－1)＋1是R上的奇函数，所以f(－2x－1)＋1＝－[f(2x－1)＋1]，整理得，f(－2x－1)＋f(2x－1)＝－2.令x＝0，得2f(－1)＝－2，解得f(－1)＝－1，又f(x)为偶函数，所以f(1)＝f(－1)＝－1，B正确；将2x替换为x＋1，得f(－x－1－1)＋f(x＋1－1)＝－2，即f(－x－2)＋f(x)＝－2①，又因为f(x)是偶函数，所以f(－x)＝f(x)，将x替换为x＋2，得f(－x－2)＝f(x＋2)②，由①②得f(x＋2)＋f(x)＝－2③，则f(x＋4)＋f(x＋2)＝－2④，③－④得f(x＋4)＝f(x)，故4是函数f(x)的一个周期，C正确；因为f(x＋2)＋f(x)＝－2，所以f(x＋2)＋f(－x)＝－2，故f(x)关于点(1，－1)中心对称，又因为4是函数f(x)的一个周期，所以f(9)＝f(2×4＋1)＝f(1)＝－1，故f(x)关于点(9，－1)中心对称，D错误；因为f(x)关于点(1，－1)中心对称，故点(0，f(0))与点(2，f(2))关于点(1，－1)中心对称，无法得到f(0)＝－1，A错误．故选BC．]三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．已知平面向量若，则___________【答案】【解析】【分析】根据向量坐标化运算得，再利用向量垂直的坐标表示得到方程，解出即可.【详解】，因为，则，则，解得.则，则.故答案为：.13.已知函数f(x)＝ax(a>0，a≠1)，若f(ln2)f(ln4)＝8，则a＝________.【答案】e[(1)因为f(ln2)＝aln2，f(ln4)＝aln4，所以f(ln2)f(ln4)＝aln2·aln4＝aln2＋ln4＝a3ln2＝(aln2)3＝8，所以aln2＝2，所以a＝e.14．已知函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(logax，x＞1，,ax－2，x≤1，))若对任意x1≠x2，都有eq\f(fx1－fx2,x1－x2)＞0，则实数a的取值范围是________.【答案】(1,2]解析：因为对任意x1≠x2，都有eq\f(fx1－fx2,x1－x2)＞0，所以函数f(x)在定义域内单调递增．因为f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(logax，x＞1，,ax－2，x≤1，))所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＞1，,a＞0，,loga1≥a－2，))解得1＜a≤2.四、解答题：本题共5小题，第15小题13分，第16、17小题15分，第18、19小题17分，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.（本小题满分13分）已知函数在点处的切线与直线垂直．（1）求；（2）求的单调区间和极值．【答案】（1）（2）单调递增区间为、，单调递减区间为，极大值，极小值解：（1），………………2分则，………………3分由题意可得，………………4分解得；………………5分（2）由，故，其定义域为………………6分则，………………7分故当时，，当时，，当时，，…9分故的单调递增区间为、，的单调递减区间为，……11分故有极大值，………………12分有极小值………………13分（本小题满分15分）已知等比数列的各项均为正数，且，.（1）求数列的通项公式；（2）若，求数列的通项公式.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用等比数列定义可求得，可得其通项公式；（2）利用错位相减法以及等比数列前项和公式计算可得.解：（1）设等比数列的公比为，由题意得，………………2分解得（舍去），………………4分所以.即数列的通项公式为.………………6分（2）由（1）知①，………………8分所以②.………………10分①－②得………………12分…………13分所以.………………15分（本小题满分15分）已知定义域为R的函数f(x)＝eq\f(－2x＋b,2x＋1＋a)是奇函数．(1)求a，b的值；(2)若对任意的t∈R，不等式f(t2－2t)＋f(2t2－k)<0恒成立，求实数k的取值范围．解：(1)因为f(x)是R上的奇函数，所以f(0)＝0，即eq\f(－1＋b,2＋a)＝0，解得b＝1.………………2分从而f(x)＝eq\f(－2x＋1,2x＋1＋a).又由f(1)＝－f(－1)知eq\f(－2＋1,4＋a)＝－eq\f(－\f(1,2)＋1,1＋a)，解得a＝2.………………5分所以a＝2，b＝1.经验证满足f(x)是奇函数．………………6分(2)由(1)知f(x)＝eq\f(－2x＋1,2x＋1＋2)＝－eq\f(1,2)＋eq\f(1,2x＋1)，………………7分由上式易知f(x)在R上为减函数，又因为f(x)是奇函数，从而不等式f(t2－2t)＋f(2t2－k)<0等价于f(t2－2t)<－f(2t2－k)＝f(－2t2＋k)．………………9分因为f(x)是R上的减函数，由上式推得t2－2t>－2t2＋k，即对一切t∈R有3t2－2t－k>0，………………12分从而Δ＝4＋12k<0，解得k<－eq\f(1,3).………………14分故实数k的取值范围为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(1,3))).………………15分（本小题满分17分）已知函数．(1)讨论的单调性；(2)若函数的最小值为2，求实数的值．【详解】（1）由题意得的定义为，且，……………2分当时，恒成立，此时在上单调递减；……………3分当时，令，则或，当时，则，当时，，此时在上单调递减；…4分当时，当时，，当时，，……………6分此时在上单调递增，在上单调递减；……………8分综上所述：当时，在上单调递减；……………9分当时，在上单调递增，在上单调递减；……………10分（2）由（1）可得当时，为减函数则无最小值，所以，……………12分当时，即时，取得极小值也是最小值，…14分所以，解得或，……………16分故函数的最小值为，实数的值为或.……………17分19.(本小题满分17分)设数列{an}的前n项和为Sn，已知Sn＝2an－n＋1.(1)证明：数列{an＋1}是等比数列；(2)若数列{bn}满足b1＝a2，bn＋1＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(an，n为奇数，,an－bn，n为偶数，))求数列{bn}的前项的和．解析：(1)证明：当n＝1，得S1＝a1＝2a1－1＋1，解得a1＝0...................1分由题意Sn＝2an－n＋1①得：则Sn＋1＝2an＋1－(n＋1)＋1②，...................2分②－①，得an＋1＝2an＋1－2an－1，...................3分即an＋1＝2an＋1，...................4分所以an＋1＋1＝2(an＋1)，即eq\f(an＋1＋1,an＋1)＝2....................5分又因为a1＋1＝1，...................6分所以{an＋1}是首项为1，公比为2的等比数列．...................7分(2)由(1)知an＋1＝2n-1，则an＝2n－1－1，...................9分所以bn＋1＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2n－1－1，n为奇数，,2n－1－1－bn，n为偶数，))...................10分且b1＝a2＝22-1－1＝1，......