广东省广州市黄广牛剑高级中学2024-2025学年高二上学期10月联考数学试卷（含解析）

广东省广州市黄广牛剑高级中学2024-2025学年高二上学期10月联考数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（2024高二上·广州月考）已知平面直角坐标系内两点A(1,2)，B(−2,3)，则过点A且与直线AB垂直的直线A．3x−y−1=0 B．3x−2．（2024高二上·广州月考）已知空间向量AB=0,1,0，AC=A．63 B．33 C．2 3．（2024高二上·广州月考）直线x+2y+3=0A．x+2y−3=0 B．x−2y+3=04．（2024高二上·广州月考）如图，一个电路中有A,B,A．18 B．38 C．585．（2024高二上·广州月考）如图，在三棱锥O−ABC中，设OA=a,OB=A．12a+C．12a+6．（2024高二上·广州月考）某射击运动员射击6次，命中的环数如下：7，9，6，9，10，7，则关于这组数据的说法正确的是（）A．极差为10 B．中位数为7.5 C．平均数为8.5 D．标准差为27．（2024高二上·广州月考）设m∈R，若过定点A的动直线x+my−m=0A．52 B．C．52 8．（2024高二上·广州月考）已知甲袋中有标号分别为1，2，3，4的四个小球，乙袋中有标号分别为2，3，4，5的四个小球，这些球除标号外完全相同，第一次从甲袋中取出一个小球，第二次从乙袋中取出一个小球，事件A表示“第一次取出的小球标号为3”，事件B表示“第二次取出的小球标号为偶数”，事件C表示“两次取出的小球标号之和为7”，事件D表示“两次取出的小球标号之和为偶数”，则（）A．A与C相互独立 B．A与B是互斥事件C．C与D是对立事件 D．B与D相互独立二、多选题：本题共3小题，共15分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.9．（2024高二上·广州月考）下列命题不正确的是（）A．经过定点Px0,B．直线l过点Px0,yC．在坐标轴上截距相等的直线都可以用方程xaD．直线y=x+210．（2024高二上·广州月考）已知事件A，B，且P(A)=0.6A．如果B⊆A，那么PB．如果A与B互斥，那么P(AC．如果A与B相互独立，那么P(AD．如果A与B相互独立，那么P(A11．（2024高二上·广州月考）已知在棱长为1的正方体ABCD−A1B1C1D1A．当n=12时，对任意mB．当m=0时，B1P与平面C．当m=0时，线段AD1上的点与线段D．当m+2n=1时，存在唯一的点P，使得平面三、填空题：本小题共3小题，每小题5分，共15分．12．（2024高二上·广州月考）已知向量a=(1,m−2,n+3),b13．（2024高二上·广州月考）盒中装有5个大小、质地相同的小球，其中3个白球和2个黑球．两位同学先后轮流不放回摸球，每次摸一球，当摸出第二个黑球时结束游戏，或能判断出第二个黑球被哪位同学摸到时游戏也结束．设游戏结束时两位同学摸球的总次数为X，则PX=314．（2024高二上·广州月考）已知A(−3,0)，B(3,0)及两直线l1：x−y+1=0，l2：x−y四、解答题：本小题共5小题，共60分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．（2024高二上·广州月考）已知直线l1：3x+4y−2=0与l（1）求过点P且平行于直线l3：x（2）求过点P且垂直于直线l3：x（3）求平行于3x16．（2024高二上·广州月考）如图，三棱锥P−ABC中，PA⊥平面ABC,AB⊥AC（1）证明：BC⊥平面PAM（2）若PA=10，求PA与平面PBC17．（2024高二上·广州月考）一家水果店为了解本店苹果的日销售情况，记录了过去200天的日销售量（单位：kg），将全部数据按区间50,60,（1）求图中a的值；并估计该水果店过去200天苹果日销售量的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；（2）若一次进货太多，水果不新鲜，进货太少，又不能满足顾客的需求.店长希望每天的苹果尽量新鲜，又能85%地满足顾客的需要（在100天中，大约有85天可以满足顾客的需求）.请问，每天应该进多少水果?（3）在日销售量为70,90kg苹果中用分层抽样方式随机抽6个苹果，再从这6苹果中随机抽取2个苹果，求抽取2个苹果都来自日销售量在80,9018．（2024高二上·广州月考）如图所示，在四棱锥P−ABCD中，侧面PAD⊥平面ABCD，△PAD是边长为2的等边三角形，底面ABCD为直角梯形，其中BC//（1）取线段PA中点M，连接BM，判断直线BM与平面PCD是否平行并说明理由；（2）求B到平面PCD的距离；（3）线段PD上是否存在一点E，使得平面EAC与平面DAC夹角的余弦值为105？若存在，求出PE19．（2024高二上·广州月考）已知点P和非零实数λ，若两条不同的直线l1，l2均过点P，且斜率之积为λ，则称直线l1，l2是一组“Pλ共轭线对”，如直线l1：y=2（1）已知l1，l2是一组“O−3共轭线对”，求l（2）已知点A0,1､点B−1,0和点C1,0分别是三条直线PQ，QR，RP上的点（A，B，C与P，Q，R均不重合），且直线PR，PQ是“P2共轭线对”，直线QP，QR是“（3）已知点Q−2,−2，直线l1，l2是“Q−12

答案解析部分1．【答案】A【知识点】用斜率判定两直线垂直；直线的点斜式方程；直线的一般式方程【解析】【解答】解：由题意知，A(1,2)，B(−2,3)，

则直线AB的斜率因为直线l与直线AB垂直，根据两直线垂直，若存在斜率，

则两斜率乘积为−1，所以直线l的斜率kl=3，

由直线l经过点则由点斜式方程可得直线l的方程为y−2=3(x−1)故答案为：A.

【分析】利用两点确定出直线的斜率，再利用两直线垂直斜率之积等于-1，从而求出kl的值，最后由点斜式方程得出过点A且与直线AB垂直的直线l2．【答案】A【知识点】空间向量的夹角与距离求解公式【解析】【解答】解：因为AB=0,1,0，AC=−1,1−1，

所以AB→则点B到直线AC的距离为AB2故答案为：A.【分析】利用数量积求投影向量的模的公式，从而得出AB→在AC→上的投影向量的模，再利用勾股定理得出点B到直线3．【答案】C【知识点】与直线关于点、直线对称的直线方程【解析】【解答】解：设P(则P关于y轴对称的点为P'(−x代入可得−x+2y+3=0，

则直线x+2故答案为：C.【分析】设P(x,y)4．【答案】B【知识点】互斥事件与对立事件；相互独立事件的概率乘法公式【解析】【解答】解：因为元件B,C都不正常的概率则元件B,C至少有一个正常工作的概率为又因为电路是通路，

则元件A正常工作，元件B,所以这个电路是通路的概率p=故答案为：B.【分析】根据已知条件和对立事件求概率公式以及相互独立事件乘法求概率公式，从而得出这个电路是通路的概率.5．【答案】C【知识点】空间向量基本定理【解析】【解答】解：连接OM,ON，则MN===1故答案为：C.【分析】由题意结合空间向量的线性运算和空间向量基本定理，从而找出正确的选项.6．【答案】D【知识点】众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差【解析】【解答】解：命中的环数从小到大排列为：6，7，7，9，9，10，A、极差为10−6=4，故A错误；B、中位数为7+92C、平均数为6+7+7+9+9+106D、标准差为6−82故答案为：D.【分析】先将数据从小到大排列，再利用极差、中位数、平均数、标准差的定义逐项计算判断即可.7．【答案】A【知识点】过两条直线交点的直线系方程；恒过定点的直线；平面内两点间距离公式的应用【解析】【解答】解：因为x+my−m=0将直线mx−y−所以，直线经过定点1,3，故B1,3因为1⋅m因此△ABP所以PQ=故答案为：A.

【分析】先求解出直线经过的定点坐标，再根据两直线垂直得出△ABP为直角三角形，再结合中点的性质和两点距离公式，从而得出PQ8．【答案】D【知识点】互斥事件与对立事件；相互独立事件【解析】【解答】解：由题意可得基本事件总数为4×4=16，设A=B=C=D=由题意可得A与B可以同时发生，故不是互斥事件，故B错误；易知C与D不同时发生，即C与D为互斥事件，但不是对立事件，比如当2,3发生时C与D均不发生，故C错误；又因为PA则PAC≠P所以A与C不相互独立，B与D相互独立，故A错误、D正确.故答案为：D.【分析】根据已知条件和互斥事件、对立事件以及相互独立事件的定义，从而逐项判断找出正确的选项.9．【答案】A,C,D【知识点】直线的点斜式方程；直线的斜截式方程；直线的截距式方程【解析】【解答】解：对于A，因为方程y−y0=kx−对于B，因为直线l过点Px0,y0对于C，当直线在坐标轴上截距相等且为0时，不能用xa对于D，令y=0，得x=−2，所以直线y=x+2故答案为：ACD．【分析】根据直线的点斜式方程可以表示斜率存在的所有直线，则判断出选项A；根据直线的倾斜角为90°的直线方程表示方法，则判断出选项B；根据直线的截距式不能表示的直线，则判断出选项C；根据直线的截距的定义，则判断出选项D，从而找出假命题的选项.10．【答案】A,B,D【知识点】互斥事件的概率加法公式；相互独立事件的概率乘法公式【解析】【解答】A．若B⊆A，则A∪B．A与B互斥，则P(A∪B)=C．A与B相互独立，则P(D．A与B相互独立，则A与B，A与B也相互独立，P(AB故答案为：ABD．

【分析】根据互斥事件与相互独立事件的概念及概率公式判断，即可得到答案。11．【答案】A,C,D【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积；空间中直线与直线之间的位置关系；直线与平面所成的角；与二面角有关的立体几何综合题；点、线、面间的距离计算【解析】【解答】解：因为AP=mAB+nAD1，其中m∈[0,1]对于A，当n=12时，AP=mAB+则EF∥DC，DC⊥平面AA1D1D，

所以则EF⊥AD1，而DE⊥所以AD1⊥平面DEFC，CP⊂平面DEFC，对于B，当m=0时，点P在线段AD1上，设B因为BB1⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，又因为AC⊥BD，BB所以AC⊥平面BB1D，B1D⊂平面BB1D，所以B1D⊥平面ACD1，

则B当PH⊥AD1时，因为VD1−DAC=则DH=33，

又因为B1D=3则sin∠B1PH=B1HB对于C，当m=0时，点P在线段AD1则ABC1D1为平行四边形，

所以AD1∥BC则AD1∥所以线段AD1上的点与线段BD上的点的距离最小值为点A到平面由等体积法VC1−ABD=VA−BD则d=33，

所以点A到平面BD则线段AD1上的点与线段BD上的点的距离最小值为对于D，设AD1的中点为E，当m+2所以，点P在线段BE上，

因为AD∥BC，BC⊄平面PAD，AD所以BC∥平面PAD，

又因为点P是平面PAD和平面PBC所以平面PAD和平面PBC的交线为过点P和BC平行的直线，又因为BC⊥平面ABB1A1设P在平面ABB1A1上的射影为M，

则∠AMB当平面PAD⊥平面PBC时，∠AMB为直角，此时M点在以AB为直径的半圆上，

设N为E点在AA显然BN与以AB为直径的半圆相交，满足∠AMB则点P是唯一的，故D正确.故答案为：ACD.【分析】先确定点P在平面ABC1D1上（含边界），再结合线面垂直的性质定理，则判断出选项A；先确定点P的位置，设B1D∩平面ACD1=H，再确定当PH⊥AD1时，B1P与平面ACD1所成的角最大，再结合解三角形的方法，则判断出选项B；将线段A12．【答案】−21​​​​​​​【知识点】空间向量平行的坐标表示【解析】【解答】解：因为向量a=(1,m−2,n+3),b=(3,4m+1,2所以m+故答案为：−21.【分析】根据已知条件结合空间向量共线的充要条件，从而列式计算得出m，n的值，进而得出m+13．【答案】3【知识点】互斥事件的概率加法公式；相互独立事件的概率乘法公式【解析】【解答】解：当X=3则PX故答案为：310.

【分析】分析出游戏结束时两位同学摸球的情形，再利用独立事件乘法求概率公式和互斥事件加法求概率公式，从而得出P14．【答案】2；2【知识点】两条直线的交点坐标；平面内两点间距离公式的应用；平面内两条平行直线间的距离【解析】【解答】解：由题意知，两直线l1：x−y+1=0，作直线l3垂直于l1，由两平行线间的距离公式，可得|CD因为A(−3,0)，B(3,0)及两直线l1作直线l3垂直于l1，设直线l3的方程为x+联立方程组x+y+b=0x−所以AC+其中(b−5)2+(b−1)2+(b所以AC+DB的最小值为∴|AC|+|CD故答案为2，2+【分析】利用两平行直线间的距离公式求出|CD|的值；设直线CD的方程为x+15．【答案】（1）解：由3x+4y−2=02x+y+2=0，

因为所求直线与l3平行，

则设所求直线的方程为x把点P的坐标代入，得−2−2×2+m=0，则则所求直线的方程为x−2（2）解：因为所求直线与l3垂直，

则设所求直线的方程为2把点P的坐标代入得2×−2+2+n则所求直线的方程为2x（3）解：设平行于3x+4y由题意可得c+25=3，

解得c则所求直线方程为3x+4y【知识点】直线的一般式方程；直线的一般式方程与直线的平行关系；直线的一般式方程与直线的垂直关系；两条直线的交点坐标；平面内两条平行直线间的距离【解析】【分析】（1）先联立两直线方程得出交点P的坐标，再根据所求直线与直线l3：x−2y−1=0平行，则得出两直线斜率相等，纵截距不相等，从而设所求直线为x−2（2）根据所成直线与已知直线l3：x−2y−1=0垂直，再利用两直线垂直斜率之积等于-1，从而设所求直线为2x（3）根据两直线平行关系，设直线方程为3x+4y（1）由3x+4y−2=02x+因为所求直线与l3平行，所以设所求直线的方程为x把点P的坐标代入得−2−2×2+m=0，得故所求直线的方程为x−2（2）因为所求直线与l3垂直，所以设所求直线的方程为2把点P的坐标代入得2×−2+2+n故所求直线的方程为2x（3）设平行于3x+4y由题意可得c+25=3，解得c所以所求直线方程为3x+4y16．【答案】（1）证明：因为AB⊥AC,由S△ABC=又因为AM⋅BC=AB⋅AC因为PA⊥平面ABC,且BC⊂平面又因为AM∩PA=A且AM,PA⊂（2）解：因为PA⊥平面ABC,且以A为坐标原点，以AB,AC,AP所在的直线分别为因为PA=10，可得B则BC=设平面PBC的法向量为n=x,令z=6，可得x=4,y设直线PA与平面PBC所成角为θ，则sinθ故PA与平面PBC所成角的正弦值为661【知识点】直线与平面垂直的判定；用空间向量研究直线与平面所成的角【解析】【分析】（1）根据△ABC的面积相等，得到AM⊥BC,再由PA⊥平面ABC,证得（2）以A为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用空间向量法求解即可.（1）证明：因为AB⊥AC,由S△ABC=又因为AM⋅BC=AB⋅AC因为PA⊥平面ABC,且BC⊂平面又因为AM∩PA=A且AM,PA⊂（2）解：因为PA⊥平面ABC,且以A为坐标原点，以AB,AC,如图所示，因为PA=10，可得B则BC=设平面PBC的法向量为n=x,令z=6，可得x=4,y设直线PA与平面PBC所成角为θ，则sinθ故PA与平面PBC所成角的正弦值为661【点睛】17．【答案】（1）解：由直方图可得，样本落在50,60，60,70，…，90,100的频率分别为10a，10由10a+10a则样本落在50,60，60,70，…，90,100频率分别为0.05，0.05，0.2，0.4，0.3，所以该苹果日销售量的平均值为：0.05×50+60（2）解：为了能85%地满足顾客的需要，即估计该店苹果日销售量的85依题意，日销售量不超过90kg的频率为1−0.03×10=0.7则该店苹果日销售量的85%分位数在90,100所以日销售量的85%分位数为90+10×所以每天应该进95kg（3）解：由日销售量为70,80,抽取的苹果来自日销售量70,80中的有2个，不妨记为a1来自日销售量为80,90的苹果有4个，不妨记为b1任意抽取2个苹果，有a1,a2,a1【知识点】古典概型及其概率计算公式；用样本估计总体的百分位数【解析】【分析】（1）在频率分布直方图中，所有矩形的面积和为1，所有矩形的面积乘以其底端中点之和即为平均值；（2）能85%地满足顾客的需要即求该店苹果日销售量的85%分位数，通过矩形的面积和确定85%分位数在90,100（3）由分层抽样确定来自日销售量70,80中的有2个，来自日销售量为80,90的苹果有4个，再列出基本事件，根据古典概型概率公式求解即可.（1）由直方图可得，样本落在50,60，60,70，…，90,100的频率分别为10a，10由10a+10a则样本落在50,60，60,70，…，90,100频率分别为0.05，0.05，0.2，0.4，0.3，所以，该苹果日销售量的平均值为：0.05×50+60（2）为了能85%地满足顾客的需要，即估计该店苹果日销售量的85依题意，日销售量不超过90kg的频率为1−0.03×10=0.7则该店苹果日销售量的85%分位数在90,100所以日销售量的85%分位数为90+10×所以，每天应该进95kg（3）由日销售量为70,80,抽取的苹果来自日销售量70,80中的有2个，不妨记为a1来自日销售量为80,90的苹果有4个，不妨记为b1任意抽取2个苹果，有a1,a2,a118．【答案】（1）解：BM//平面PCD理由如下：取PD中点N，连接MN，因为M为PA的中点，且AD=2，BC所以MN=BC=1所以四边形BCNM为平行四边形，所以BM//CN，

因为CN⊂平面PCD，BM所以BM//平面PCD（2）解：取AD的中点O，连接PO，OC，因为△PAD为等边三角形，所以PO又因为平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，

所以PO⊥平面ABCD以O为坐标原点，直线OC，OD，OP分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图所示，则A(0,−1,0)，D(0,1,0)，C(1,0,0)，B所以CP=(−1,0,设平面PCD的法向量为n=(所以n⋅令z=1，则n又因为BC→=0,1,0，

所以，点B到平面PCD（3）解：设E(s,所以(s所以s=0,t=则AC=(1,1,0)，AE设平面EAC的法向量为m→则m→令y'=3因为平面DAC的法向量为OP=(0,0,所以

|化简得3λ2−10λ+3=0所以λ=则PEPD则存在点E，此时PEPD【知识点】空间中直线与平面之间的位置关系；点、线、面间的距离计算；用空间向量研究二面角【解析】【分析】（1）取PD中点N，连接MN，先利用中位线定理得出线线平行，再利用平行四边形定义判断出四边形BCNM为平行四边形，从而得出BM//CN，再利用线线平行证出线面平行，即证出BM//（2）利用已知条件和等边三角形三线合一得出线线垂直，再利用线线垂直证出线面垂直，从而建立空间直角坐标系，则得出点的坐标和向量的坐标，再利用两向量垂直数量积为0的等价关系和数量积的坐标表示，从而求出平面PCD的法向量n，再结合向量的坐标表示得出向量BC的坐标，根据数量积求点到平面的距离公式，从而得出点B到平面PCD的距离.（3）利用向量共线的坐标表示和两向量垂直数量积为0的等价关系和数量积的坐标表示，从而得出平面EAC的法向量m，再利用向量的坐标表示得出向量OP的坐标，再由数量积求向量夹角公式和已知条件得出线段PD上存在点E，使得平面EAC与平面DAC夹角的余弦值为105，并求出此时PE（1）BM//平面PCD理由如下证明：取PD中点N，连接MN，因为M为PA的中点，且AD=2，BC所以MN=BC=1所以四边形BCNM为平行四边形，所以B