高考数学一轮复习微专题106讲99.区别二项分布与超几何分布的六个特征

99.二项分布与超几何分布本节主要研究二项分布与超几何分布及两者之间的区别，全国卷在这个点上的考察主要还是以基本的概念和公式为主，并没有像地方卷那样单独考察，但是我们需要注意的是二项分布的期望和方差公式，需要熟记于心，这一部分内容可能用来做为决策依据考察.一．二项分布1．重伯努利试验的概念只包含两个可能结果的试验叫做伯努利试验，将一个伯努利试验独立地重复进行次所组成的随机试验称为重伯努利试验．2．重伯努利试验具有如下共同特征（1）同一个伯努利试验重复做次；（2）各次试验的结果相互独立．3．二项分布二．超几何分布其中n，N，M∈N*，M≤N，n≤N，m＝max{0，n－N＋M}，r＝min{n，M}．如果随机变量X的分布列具有上式的形式，那么称随机变量X服从超几何分布．2．超几何分布的期望E(X)＝eq\f(nM,N)＝np(p为N件产品的次品率)．三．二项分布与超几何分布的区别1.看总体数是否给出，未给出或给出总体数较大一般考查二项分布，此时往往会出现重要的题眼“将频率视为概率”.2.看一次抽取抽中“次品”概率是否给出，若给出或可求出一般考查二项分布.3.看一次抽取的结果是否只有两个结果，若只有两个对立的结果或，一般考查二项分布.4.看抽样方法，如果是有放回抽样，一定是二项分布；若是无放回抽样，需要考虑总体数再确定.5.看每一次抽样试验中，事件是否独立，事件发生概率是否不变，若事件独立且概率不变，一定考查二项分布，这也是判断二项分布的最根本依据.6.把握住超几何分布与二项分布在定义叙述中的区别，超几何分布多与分层抽样结合，出现“先抽，再抽”的题干信息.三．典例分析例1．电视传媒公司为了解某地区电视观众对某类体育节目的收视情况，随机抽取了名观众进行调查．如图是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图：将日均收看该体育节目时间不低于分钟的观众称为“体育迷”．将上述调查所得到的频率视为概率．（1）现在从该地区大量电视观众中，采用随机抽样方法每次抽取名观众，抽取次，记被抽取的名观众中的“体育迷”人数为．若每次抽取的结果是相互独立的，求的分布列及数学期望．（2）用分层抽样的方法从这名观众中抽取名观众，再从抽取的抽取名观众中随机抽取名，表示抽取的是“体育迷”的人数，求的分布列．的分布列为：的分布列为：例2．（广东省2023届高考一模）某商场为了回馈广大顾客，设计了一个抽奖活动，在抽奖箱中放10个大小相同的小球，其中5个为红色，5个为白色.抽奖方式为：每名顾客进行两次抽奖，每次抽奖从抽奖箱中一次性摸出两个小球.如果每次抽奖摸出的两个小球颜色相同即为中奖，两个小球颜色不同即为不中奖.（1）若规定第一次抽奖后将球放回抽奖箱，再进行第二次抽奖，求中奖次数的分布列和数学期望.（2）若规定第一次抽奖后不将球放回抽奖箱，直接进行第二次抽奖，求中奖次数的分布列和数学期望.（3）如果你是商场老板，如何在上述问两种抽奖方式中进行选择？请写出你的选择及简要理由.所以的分布列为012所以的分布列为012（3）因为（1）（2）两问的数学期望相等，第（1）问中两次奖的概率比第（2）问的大，回答一：若商场老板希望中两次奖的顾客多，产生宣传效应，则选择按第（2）问方式进行抽.回答二：若商场老板希望中奖的顾客多，则选择按第（1）问方式进行抽奖.（1）求的值：现从这10人中随机拍取3人，则服从超几何分布，其可能取值为0，1，2，3，0123三．习题演练1．某服装公司经过多年发展，在全国布局了3500余家规模相当的销售门店．该公司每年都会设计生产春季新款服装并投放到全国各个门店销售．公司为了了解2022年春季新款服装在各个销售门店的销售情况，市场部随机调查了20个销售门店的年销售额（单位：万元，不考虑门店之间的其它差异），统计结果如下：门店编号12345678910销售额45333044282237211924门店编号11121314151617181920销售额34412320373129323642（1）从以上20个门店中随机抽取3个，求抽取的3个门店中至少有2个的年销售额超过40万元的概率；（2）以样本频率估计概率，现从全国销售门店中随机抽取3个，记该年春季新款的年销售额超过40万元的销售门店的个数为，求的分布列及数学期望．解析：（1）年销售额超过40万元的门店有个，（2）由样本估计总体，从全国随机抽取1个销售门店，的分布列为：0123P（1）估计这批种子密度的平均值；（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）（