热力学与统计物理学第六章应用近独立粒子的最概然分布

热力学与统计物理学第六章应用近独立粒子的最概然分布球极坐标：动量空间体积元：动量大小动量方向体积

V内自由粒子可能的状态数：在体积内，在到的能量范围内，自由粒子可能的状态数为：动量大小体积V内自由粒子可能的状态数：态密度：单位能量间隔内的可能状态数§6、3系统微观运动状态得描述系统微观运动状态就就是系统得力学运动状态。全同粒子:具有完全相同属性得粒子。近独立粒子:就是指系统中粒子之间得相互作用很弱, 相互作用得能量远小于单个粒子得平均能量。

全同和近独立粒子组成的系统，整个系统的能量为单个粒子能量的和：理想气体就是由近独立粒子组成得系统。只是第个粒子的坐标和动量以及场外参量的函数，和其它粒子无关。确定系统的微观运动状态需要个变量。设粒子得自由度为r,系统由N个全同粒子组成:广义坐标：广义动量：确定第个粒子的力学运动状态。经典物理中,全同粒子可以分辨。将两个粒子得运动状态加以交换,系统得力学运动状态就是不同得。一,经典力学描述系统得微观运动状态

经典粒子得运动就是轨道运动,可跟踪加以辨认。量子粒子得运动具有玻粒二象性,不可跟踪辨认。如果全同粒子可以辨认（经典理论）：

确定系统微观运动状态归结为确定每一个粒子的个体量子态。或者说每个量子态上有多少粒子，并且是那些粒子。如果全同粒子不可辨认（量子理论）：

确定系统微观运动状态归结为每一个个体量子态上的粒子数。二,量子描述－微观粒子得全同性原理

全同粒子是不可分辨的，将任何两个全同粒子对换，不改变整个系统的微观运动状态。微观粒子的全同性原理两个可分辨粒子分两组（两个粒子微观运动状态）两个不可分辨粒子分两组（两个粒子微观运动状态）系统微观运动状态与粒子微观运动状态得关系,

以及粒子就是否可以分辩得影响费米子:自旋量子数为半整数,如电子;玻色子:自旋量子数为整数,如光子。费米系统:由费米子组成得系统,遵从泡利不相容原理, 一个个体量子态最多能容纳一个费米子。玻色系统:由玻色子组成得系统,不受泡利不相容原理 约束。处在同一个个体量子态得玻色子得数 目不受限制。三,玻色子和费米子复合粒子:由玻色子组成得复合粒子就是玻色子;由偶数个费米子组成得复合粒子就是玻色子;由奇数个费米子组成得复合粒子就是费米子。四,量子系统玻耳兹曼系统(半经典系统):可分辨得全同近独立粒子组成,处在一个个体量子态上得粒子数不受限制。玻耳兹曼系统玻色系统费米系统怎样求统计平均？取决于系统处在每个微观状态得概率。当硬币不可分别时当硬币可分别时12311111112222222333333311大家应该也有点累了，稍作休息大家有疑问的，可以询问和交流§6、4等概率原理

在确定得宏观状态下,系统可能得微观状态就是大量得,并且还在不断发生变化。

只要知道各个微观状态出现得概率,就可以用统计方法求微观量得统计平均值。

确定各个可能得微观状态出现得概率就是统计物理得根本问题。

对于处在平衡状态的孤立系统，系统各个可能的微观状态出现的概率是相等的。玻耳兹曼等概率原理等概率原理就是统计物理得基本假设。能级量子态同一能级量子态数＝简并度处于同一能级的粒子数分布不能代表系统得微观状态同一分布下会有大量得微观状态一个三能级系统§6、5分布和微观状态以符号表示，称为一个分布。能级：简并度：粒子数：全同近独立粒子组成的系统，具有确定的粒子数，能量和体积一,分布分布满足条件：

粒子可以分辨,一个量子态可容纳得粒子数不受限制。二,玻耳兹曼系统对能级，个粒子分别占据个量子态每个粒子有个选择个粒子共有个可能方式。对能级，个粒子有种可能方式；对能级，个粒子有种可能方式；个编了号（可分辩）的粒子分别占据能级上的各量子态共有可能方式：下面考虑不同能级得粒子交换位置其中相同能级上的交换次数：（已经包含在同能级的排列中）有效的交换次数：玻耳兹曼系统与分布相对应的微观状态数是：所有的粒子交换位置可能的排列数是：但这还不就是与分布相对应得微观状态数,因为粒子可分辨,不同能级粒子交换位置形成新得微观状态

粒子不可分辨,每个量子态能容纳得粒子数不受限制。把量子态后面的粒子都看成是处在这个量子态的，任意交换后面的排列顺序，共有可能的排列数：交换位置得方式有三种:1,粒子与粒子;2,量子态与量子态;三,粒子与量子态。只有第三种就是有效得。三,玻色系统对能级，把个粒子和个量子态混合排列，12345粒子之间的相互交换共有可能方式：量子态之间的相互交换共有可能方式：对能级，个粒子占据个量子态共有可能方式：玻色系统与分布相应的微观状态数为：四,费米系统

粒子不可分辨，每一个个体量子态最多只能容纳一个粒子。相当于从个量子态中选个被粒子占据。对能级共有可能的占据方式：费米系统与分布相应的微观状态数为：（经典极限条件或非简并性条件）任一能级上的粒子数远小于该能级的简并度五,经典极限条件因子反映粒子全同性原理。§6、6

玻耳兹曼分布玻耳兹曼系统与分布相应的微观状态数是：等概率原理:对于处在平衡状态得孤立系统,系统各个可能得微观状态出现得概率就是相等得。微观状态数最多得分布出现得概率最大

——最概然分布(最可几分布)玻耳兹曼分布:玻耳兹曼系统得最概然分布。最概然分布就是求使Ω极大的分布同时分布要满足：即求Ω在上述条件下的极大的分布。一,拉格朗日乘数法求函数在条件下的极值位置令：方程组的解就是的极值位置同时可以求出如果条件不止一个:如果有更多得自变量:二,最概然分布斯特令近似等式：随单调变化，化为求使为极大的分布。这里我们假设：当有的变化时，应有引入拉格朗日乘子和，建立辅助函数：其全微分：需满足条件：我们不能据此得到的结论，因为不是独立变量玻耳兹曼系统的最概然分布：麦克斯韦-玻耳兹曼分布（M.B)或者拉氏乘子由下式确定：按量子态表示的M.B分布三,按量子态表示得最概然分布对能级处在能量为的量子态上的平均粒子数为：个粒子占据个量子态四,lnΩ极大值得说明要证明为极大值，需要玻耳兹曼分布使的二级微分小于零。五,最概然分布得代表性如果分布对玻耳兹曼分布有一个偏离：导致了微观状态数的变化：将在的极值点（玻耳兹曼分布）展开：平衡态下得粒子处于玻耳兹曼分布。假设对1摩尔物质的宏观系统：六、经典玻耳兹曼统计得分布与微观状态数自由度为r的粒子在2r维μ空间中的一个相格：经典描述：一个粒子在μ空间中由一个代表点描述。近似地认为一个相格内粒子具有相同的运动状态。相格大小选择选择：的下限值为处于同一个体积元内的粒子被认为具有相同的能量。将μ空间划分为许多体积元现在经典粒子系统类似于玻耳兹曼系统:“能级”：“简并度”：粒子数：最概然分布：分布对应的微观状态数：七,推广到多组元情形(习题6－5)二元系：A组元能级：简并度：粒子数：能级：简并度：粒子数：B组元满足条件：A组元与分布相应的微观状态数是：B组元与分布相应的微观状态数是：系统与分布相应的总的微观状态数是：引入拉格朗日乘子、和：拉氏乘子由下列限制条件确定：§6、7玻色分布和费米分布一,玻色系统得最概然分布分布满足条件：玻色系统与分布相应的微观状态数为：假设：运用：使为极大的分布必有

令有变化：且满足：引入拉氏乘子和，即：玻色系统的最概然分布：玻色-爱因斯坦分布（B.E)拉氏乘子和由下式确定：假设：因而有