高考数学一轮复习 午练 训练25　空间向量及其应用

训练25空间向量及其应用一、单项选择题1．设直线l与平面α相交，且l的方向向量为a，α的法向量为n，若〈a，n〉＝eq\f(2π,3)，则l与α所成的角为()A.eq\f(2π,3)B.eq\f(π,3)C.eq\f(π,6)D.eq\f(5π,6)答案C解析∵线面角的范围是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2))).〈a，n〉＝eq\f(2π,3)，∴l与α所成的角为eq\f(π,6).2.如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，已知M，N分别是BD和AD的中点，则B1M与D1N所成角的余弦值为()A.eq\f(\r(30),10)B.eq\f(\r(30),15)C.eq\f(\r(30),30)D.eq\f(\r(15),15)答案A解析建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，则B1(2,2,2)，M(1,1,0)，D1(0,0,2)，N(1,0,0)，∴eq\o(B1M,\s\up6(→))＝(－1，－1，－2)，eq\o(D1N,\s\up6(→))＝(1,0，－2)，∴cos〈eq\o(B1M,\s\up6(→))，eq\o(D1N,\s\up6(→))〉＝eq\f(－1＋4,\r(1＋1＋4)×\r(1＋4))＝eq\f(\r(30),10).3．已知向量n＝(2,0,1)为平面α的法向量，点A(－1,2,1)在α内，点P(1,2，－2)在α外，则点P到平面α的距离为()A.eq\f(\r(5),5)B.eq\f(\r(13),13)C.eq\f(\r(65),65)D.eq\f(8\r(5),5)答案A解析由题意知，点A(－1,2,1)在α内，点P(1,2，－2)在α外，所以eq\o(AP,\s\up6(→))＝(2,0，－3)，又向量n＝(2,0,1)为平面α的法向量，所以点P到平面α的距离为d＝eq\f(|\o(AP,\s\up6(→))·n|,|n|)＝eq\f(1,\r(5))＝eq\f(\r(5),5).4．在棱长为3的正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E满足eq\o(A1E,\s\up6(→))＝2eq\o(EB1,\s\up6(→))，点F在平面BC1D内，则A1F＋EF的最小值为()A.eq\r(29)B．6C.eq\r(41)D．7答案B解析建立如图所示的空间直角坐标系，则A1(3,0,3)，E(3,2,3)，C(0,3,0)，因为BD⊥AC，BD⊥A1A，且AC∩A1A＝A，则BD⊥平面A1AC，所以BD⊥A1C，同理得BC1⊥平面A1B1C，所以BC1⊥A1C，而BD∩BC1＝B，所以A1C⊥平面BC1D，记A1C与平面BC1D交于点H，连接A1C1，C1O，AC，且AC∩BD＝O，则eq\f(A1H,HC)＝eq\f(A1C1,OC)＝eq\f(2,1)，易得A1H＝2HC，H(1,2,1)，从而得点A1(3,0,3)关于平面BC1D对称的点为G(－1,4，－1)，所以A1F＋EF的最小值为EG＝eq\r(3＋12＋2－42＋3＋12)＝6.二、多项选择题5．下列命题中正确的是()A．已知直线l垂直于平面α，向量a与直线l平行，则a是平面α的一个法向量B．一个平面的法向量有无数个，任意两个都是共线向量C．若平面外的一条直线的方向向量与平面的法向量垂直，则该直线与平面平行D．直线的方向向量与平面的法向量的方向相同或相反时，直线与平面垂直答案BCD解析选项A中，当a＝0时，也满足向量a与l平行，但a不是平面α的法向量，故A错误；设向量n是平面α的一个法向量，则n是一个非零向量，向量n与平面α垂直．平面α的法向量有无数个，它们都与向量n平行，方向相同或相反，知选项B正确；C，D显然正确．6．(2023·日照模拟)已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为4，M为DD1的中点，N为平面ABCD上一动点，则下列命题正确的是()A．若MN与平面ABCD所成的角为eq\f(π,4)，则点N的轨迹为圆B．若MN＝4，则MN的中点P的轨迹所围成图形的面积为2πC．若点N到直线BB1与到直线DC的距离相等，则点N的轨迹为抛物线D．若D1N与AB所成的角为eq\f(π,3)，则点N的轨迹为双曲线答案ACD解析如图，对于A，根据正方体的性质可知，MD⊥平面ABCD，所以∠MND为MN与平面ABCD所成的角，所以∠MND＝eq\f(π,4)，所以DN＝DM＝eq\f(1,2)DD1＝eq\f(1,2)×4＝2，所以点N的轨迹为以D为圆心，2为半径的圆，故A正确；对于B，在Rt△MDN中，DN＝eq\r(MN2－MD2)＝eq\r(42－22)＝2eq\r(3)，取MD的中点E，因为P为MN的中点，所以PE∥DN，且PE＝eq\f(1,2)DN＝eq\r(3)，因为DN⊥ED，所以PE⊥ED，即点P在过点E且与DD1垂直的平面内，又PE＝eq\r(3)，所以点P的轨迹为以eq\r(3)为半径的圆，其面积为π·(eq\r(3))2＝3π，故B不正确；对于C，因为BB1⊥平面ABCD，所以BB1⊥NB，所以点N到直线BB1的距离为NB，所以点N到点B的距离等于点N到定直线CD的距离，又B不在直线CD上，所以点N的轨迹为以B为焦点，CD为准线的抛物线，故C正确；对于D，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(4,0,0)，B(4,4,0)，D1(0,0,4)，设N(x，y,0)，则eq\o(AB,\s\up6(→))＝(0,4,0)，eq\o(D1N,\s\up6(→))＝(x，y，－4)，因为D1N与AB所成的角为eq\f(π,3)，所以|cos〈eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(D1N,\s\up6(→))〉|＝coseq\f(π,3)，所以eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(4y,4\r(x2＋y2＋16))))＝eq\f(1,2)，整理得eq\f(3y2,16)－eq\f(x2,16)＝1，所以点N的轨迹为双曲线，故D正确．三、填空题7．若向量a＝(x，－4，－5)，b＝(1，－2,2)，且a与b的夹角的余弦值为－eq\f(\r(2),6)，则实数x的值为________．答案－3解析根据题意得cos〈a，b〉＝eq\f(a·b,|a||b|)＝eq\f(x＋8－10,\r(x2＋16＋25)×\r(12＋－22＋22))＝－eq\f(\r(2),6)，即eq\f(x－2,\r(x2＋41))＝－eq\f(\r(2),2)，且x<2，解得x＝11(舍去)或x＝－3.8.在如图所示的试验装置中，四边形框架ABCD为正方形，平面ABEF为矩形，且BE＝3AB＝3，且它们所在的平面互相垂直，N为对角线BF上的一个定点，且2FN＝BN，活动弹子M在正方形对角线AC上移动，当eq\o(ME,\s\up6(→))·eq\o(MN,\s\up6(→))取最小值时，eq\f(AM,AC)的值为________．答案eq\f(1,3)解析因为四边形ABCD为正方形，则AB⊥BC，而平面ABCD⊥平面ABEF，平面ABCD∩平面ABEF＝AB，BC⊂平面ABCD，于是得BC⊥平面ABEF，又四边形ABEF为矩形，即BE⊥AB，建立如图所示的空间直角坐标系，则B(0,0,0)，A(1,0,0)，C(0,0,1)，E(0,3,0)，F(1,3,0)，因为点N在BF上，且2FN＝BN，则Neq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)，2，0))，又M在线段AC上移动，则有eq\o(CM,\s\up6(→))＝teq\o(CA,\s\up6(→))＝(t,0，－t)，t∈[0,1]，于是得点M(t,0,1－t)，eq\o(ME,\s\up6(→))＝(－t,3，t－1)，eq\o(MN,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)－t，2，t－1)).eq\o(ME,\s\up6(→))·eq\o(MN,\s\up6(→))＝teq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t－\f(2,3)))＋6＋(t－1)2＝2t2－eq\f(8,3)t＋7＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t－\f(2,3)))2＋eq\f(55,9)，因此，当t＝eq\f(2,3)时，eq\o(ME,\s\up6(→))·eq\o(MN,\s\up6(→))取最小值，此时，eq\o(CM,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(CA,\s\up6(→))，所以eq\f(AM,AC)＝eq\f(1,3).四、解答题9．(2023·长沙模拟)斜三棱柱ABC－A1B1C1的各棱长都为2，点A1在下底面ABC上的投影为AB的中点O.(1)在棱BB1(含端点)上是否存在一点D，使A1D⊥AC1？若存在，求出BD的长；若不存在，请说明理由；(2)求点A1到平面BCC1B1的距离．解(1)连接OC，因为AC＝BC，O为AB的中点，所以OC⊥AB，由题意知A1O⊥平面ABC，又AA1＝2，OA＝eq\f(1,2)AB＝1，所以A1O＝eq\r(3)，∠A1AO＝60°，以点O为原点，OA，OC，OA1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A1(0,0，eq\r(3))，A(1,0,0)，B(－1,0,0)，C(0，eq\r(3)，0)，由eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(A1B1,\s\up6(→))得B1(－2,0，eq\r(3))，同理得C1(－1，eq\r(3)，eq\r(3))，设eq\o(BD,\s\up6(→))＝teq\o(BB1,\s\up6(→))，t∈[0,1]，得D(－1－t,0，eq\r(3)t)，又eq\o(AC1,\s\up6(→))＝(－2，eq\r(3)，eq\r(3))，eq\o(A1D,\s\up6(→))＝(－1－t,0，eq\r(3)t－eq\r(3))，由eq\o(AC1,\s\up6(→))·eq\o(A1D,\s\up6(→))＝0，得－2(－1－t)＋eq\r(3)(eq\r(3)t－eq\r(3))＝0，得t＝eq\f(1,5)，又BB1＝2，∴BD＝eq\f(2,5)，所以存在点D且BD＝eq\f(2,5)满足条件．(2)设平面BCC1B1的法向量为n＝(x，y，z)，eq\o(BC,\s\up6(→))＝(1，eq\r(3)，0)，eq\o(CC1,\s\up6(→))＝(－1,0，eq\r(3))，则有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n·\o(BC,\s\up6(→))＝x＋\r(3)y＝0，,n·\o(CC1,\s\up6(→))＝－x＋\r(3)z＝0，))可取n＝(eq\r(3)，－1,1)，又eq\o(BA1,\s\up6(→))＝(1,0，eq\r(3))，所以点A1到平面BCC1B1的距离为eq\f(|\o(BA1,\s\up6(→))·n|,|n|)＝eq\f(2\r(3),\r(5))＝eq\f(2\r(15),5)，所以所求距离为eq\f(2\r(15),5).10．(2024·丹东模拟)如图，平行六面体ABCD－A1B1C1D1的所有棱长都相等，平面CDD1C1⊥平面ABCD，AD⊥DC，二面角D1－AD－C的大小为120°，E为棱C1D1的中点．(1)证明：CD⊥AE；(2)点F在棱CC1上，AE∥平面BDF，求直线AE与DF所成角的余弦值．(1)证明因为平面CDD1C1⊥平面ABCD，且平面CDD1C1∩平面ABCD＝DC，AD⊥DC，AD⊂平面ABCD，所以AD⊥平面CDD1C1，又D1D⊂平面CDD1C1，所以AD⊥D1D，则∠D1DC是二面角D1－AD－C的平面角，故∠D1DC＝120°.连接DE(图略)，因为E为棱C1D1的中点，则DE⊥C1D1，又C1D1∥CD，从而DE⊥CD.又AD⊥CD，DE∩AD＝D，DE，AD⊂平面AED，所以CD⊥平面AED，又AE⊂平面AED，因此CD⊥AE.(2)解方法一如图，连接DE，连接AC交BD于点O，连接CE交DF于点G，连接OG.设AB＝2，则DE＝eq\r(D1D2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)D1C1))2)＝eq\r(3)，所以CE＝AE＝eq\r(AD2＋DE2)＝eq\r(7).因为AE∥平面BDF，AE⊂平面AEC，平面AEC∩平面BDF＝OG，所以AE∥OG，因为O为AC的中点，所以G为CE的中点，故OG＝eq\f(1,2)AE＝eq\f(\r(7),2).且直线OG与DF所成的角等于直线AE与DF所成的角．在Rt△EDC中，DG＝eq\f(1,2)CE＝eq\f(\r(7),2)，因为OD＝eq\r(2)，所以cos∠OGD＝eq\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(7),2)))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(7),2)))2－\r(2)2,2×\f(\r(7),2)×\f(\r(7),2))＝eq\f(3,7).因此直线AE与DF所成角的余弦值为eq\f(3,7).方法二如图，连接DE，CE，取DC中点为G，连接EG交DF于点H，则EG＝DD1＝2.连接AG交BD于点I，连接HI，设AB＝2，则DE＝eq\r(D1D2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)D1C1))2)＝eq\r(3)，所以CE＝AE＝eq\r(AD2＋DE2)＝eq\r(7).因为AE∥平面BDF，AE⊂平面AGE，平面AGE∩平面BDF＝IH，所以AE∥IH.HI与DH所成角等于直线AE与DF所成角．在正方形ABCD中，GI＝eq\f(1,3)AG，DI＝eq\f(1,3)DB＝eq\f(2\r(2),3)，所以GH＝eq\f(1,3)EG，故HI＝eq\f(1,3)AE＝eq\f(\r(7),3).在△DHG中，GH＝eq\f(1,3)EG＝eq\f(2,3)，GD＝1，∠EGD＝60°，由余弦定理得DH＝eq\r(1＋\f(4,9)－2×1×\f(2,3)×\f(1,2))＝eq\f(\r(7),3).在△DHI中，cos∠DHI＝eq\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(7),3)))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(7),3)))2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2\r(2),3)))2,2×\f(\r(7),3)×\f(\r(7),3))＝eq\f(3,7).因此直线AE与DF所成角的余弦值为eq\f(3,7).方法三连接DE，由(1)知DE⊥平面ABCD，以D为坐标原点，eq\o(DA,\s\up6(→))，eq\o(DC,\s\up6(→))，eq\o(DE,\s\up6(→))为x轴、y轴、z轴正方向，|eq\o(DA,\s\up6(→))|为2个单位长度，建立如图所示的空间直角坐标系．由(1)知DE＝eq\r(3)，得A(2,0,0)，B(2,2,0)，C(0,2,0)，E(0,0，eq\r(3))，C1(0,1，eq\r(3))．则eq\o(CC,\s\up6(→))1＝(0，－1，eq\r(3