高考数学一轮复习 专题24 空间角与距离、空间向量及其应用（理科专用）（教师版）

专题24空间角与距离、空间向量及其应用（核心考点精讲精练）1.近几年真题考点分布空间空间与立体几何近几年考情考题示例考点分析关联考点2023年全国乙（文科），第16题,5分已知三棱锥外接求半径，求线段长2023年全国乙（文科），第19题,12分1、证明线面平行；2、求三棱锥的体积；2023年全国乙（理科），第3题,5分2023年全国乙（文科），第3题,5分通过三视图求几何体的表面积2023年全国乙（理科），第8题,5分圆锥体积相关计算2023年全国乙（理科），第9题,5分证明面面垂直，由二面角求线段长，从而求线面角的正切值2023年全国乙（理科），第19题,12分1、证明线面平行；2、证明面面垂直；3、求二面角2023年全国甲（文科），第10题,5分证明线面垂直，求三棱锥的体积2023年全国甲（文科），第16题,5分正方体的外接球、棱切球问题2023年全国甲（文科），第18题,12分1、证明面面垂直；2、求四棱锥的高2023年全国甲（理科），第11题,5分四棱锥表面积有关计算余弦定理解三角形2023年全国甲（理科），第15题,5分正方体的棱切球问题2023年全国甲（理科），第18题,12分1、已知点面距，证明线面垂直，从而得到线线相等；2、已知平行线间的距离，求线面角的正弦值2.命题规律及备考策略【命题规律】1.本节为理科必考知识，常出现在解答题中；2.用空间向量求点线、点面、线线、线面、面面距离；3.用空间向量求异面直线、线面、、面面所成角；4.用空间向量证明线线、线面、面面平行与垂直.【备考策略】1.会用空间直角坐标系刻画点的位置,掌握空间中两点间的距离公式.2.了解空间向量基本定理及其意义,理解空间向量的坐标表示.3.掌握空间向量的数量积运算.4.能用向量方法判断或证明点、线、面之间的位置关系.5.能用向量方法解决空间中的距离问题.6.能用向量方法求解空间中的角度问题.【命题预测】1.用空间向量求点线、点面、线线、线面、面面距离；2.用空间向量求异面直线、线面、、面面所成角；3.用空间向量证明线线、线面、面面平行与垂直.知识讲解一、空间向量的有关概念名称定义空间向量在空间中,具有大小和方向的量

相等向量方向相同且模相等的向量

相反向量方向相反且模相等的向量

共线向量(或平行向量)表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合的向量

共面向量平行于同一个平面的向量

二、空间向量的有关定理1.共线向量定理:对空间任意两个向量的充要条件是存在唯一的实数,使得.

2.共面向量定理:如果两个向量不共线,那么向量与向量共面的充要条件是存在唯一的实数对,使.

3.空间向量基本定理:如果三个向量不共面,那么对空间中任一向量,存在有序实数组,使得,其中,叫作空间的一个基底.

三、两个向量的数量积1.非零向量的数量积.2.空间向量数量积的运算律:(1)结合律:.(2)交换律:.(3)分配律:.四、空间向量的坐标表示及其应用设.向量表示坐标表示数量积共线

垂直

模x夹角恰当选择基向量是用向量解决立体几何问题的关键.用已知基向量表示指定向量时,应结合已知和所求向量,观察图形,将已知向量和未知向量转化至三角形或平行四边形中,然后利用三角形法则或平行四边形法则进行运算.证明三点共线、空间四点共面的方法三点(P,A,B)共线空间四点(M,P,A,B)共面PA=λPB且同过点PMP=xMA+yMB对空间任一点O,OP=OA+tAB对空间任一点O,OP=OM+xMA+yMB对空间任一点O,OP=xOA+(1-x)OB对空间任一点O,OP=xOM+yOA+(1-x-y)OB利用空间向量数量积求夹角和长度(1)求夹角,设向量所成的角为,则,进而可求出两异面直线所成的角,注意两异面直线所成角的范围是;(2)求长度(距离),运用公式,可将线段长度的计算问题转化为向量数量积的计算问题.(3)利用向量的数量积可解决有关垂直的问题:.五、直线的方向向量与平面的法向量1.直线的方向向量:如果表示非零向量的有向线段所在的直线与直线平行或共线,那么称向量为直线的方向向量.2.平面的法向量:若直线⊥平面,取直线的方向向量为,则向量叫作平面的法向量.3.方向向量和法向量均为非零向量且均不唯一.六、空间位置关系的向量表示位置关系向量表示直线,的方向向量分别为,∥⊥直线的方向向量为,平面的法向量为m∥⊥平面,的法向量分别为,∥⊥七、空间角公式1.异面直线所成角公式设,分别为异面直线,上的方向向量,为异面直线所成的角,则.2.线面角公式设为一条与平面相交的直线,为的方向向量,为平面的法向量,为与所成的角,则.3.二面角公式设,分别为平面,的法向量,平面,形成的二面角为,则或(需要根据具体情况判断是相等还是互补),其中.八、求解空间中的距离1.异面直线间的距离如图,设两条异面直线,的公垂线的方向向量为,这时分别在,上任取A,B两点,则向量AB在上的正射影长就是两条异面直线,的距离,则.即两异面直线间的距离,等于在两异面直线上分别任取两点的向量和公垂线方向向量的数量积的绝对值与公垂线方向向量的模的比值.2.点到平面的距离如图,为平面外一点,为平面的法向量,过作平面的斜线及垂线,为与平面所成的角,则.3.平面与平面、直线与平面之间的距离问题可转化为点到平面的距离问题求解.1.利用空间向量证明平行的方法线线平行证明两直线的方向向量共线线面平行①证明该直线的方向向量与平面的某一法向量垂直;②证明直线的方向向量与平面内某直线的方向向量平行面面平行①证明两平面的法向量为共线向量;②转化为线面平行、线线平行问题2.利用空间向量证明垂直的方法线线垂直证明两直线所在的方向向量互相垂直,即证它们的数量积为零线面垂直证明直线的方向向量与平面的法向量共线,或将线面垂直的判定定理用向量表示面面垂直证明两个平面的法向量垂直,或将面面垂直的判定定理用向量表示用向量法求异面直线所成角的一般步骤:(1)选择三条两两垂直的直线建立空间直角坐标系.(2)确定异面直线上两个点的坐标,从而确定异面直线的方向向量.(3)利用向量的夹角公式求出向量夹角的余弦值.(4)两异面直线所成角的余弦值等于两向量夹角余弦值的绝对值.相关公式如下:设,分别是两异面直线,的方向向量,则与的夹角与所成的角范围关系利用向量法求线面角的方法方法一:分别求出斜线和它在平面内的射影直线的方向向量,转化为求两个方向向量的夹角(或其补角).方法二:通过平面的法向量来求,即求出斜线的方向向量与平面的法向量的夹角(夹角为钝角时取其补角),取其余角就是斜线和平面所成的角.相关公式如下:如图,设直线的方向向量为,平面的法向量为,直线与平面所成的角为,两向量与的夹角为,则有.1.利用空间向量求二面角的方法:方法1:如图①,,分别是二面角的两个面内与棱垂直的直线,则二面角的大小.方法2:如图②③,,分别是二面角的两个半平面,的法向量,则二面角的大小满足,二面角的平面角大小是向量与的夹角(或其补角).2.向量法求二面角时需注意:(1)建立空间直角坐标系时,若垂直关系不明确,则应先给出证明;(2)对于某些平面的法向量,要结合题目条件和图形多观察,判断该法向量是否已经隐含着,不用单独求;(3)注意判断二面角的平面角是锐角还是钝角,可结合图形判断,以防结论失误.求点到平面的距离的步骤:①建系:结合图形的特点,建立恰当的空间直角坐标系.②求向量:在坐标系中求出点到平面内任一点对应的向量.③求法向量:设出平面的法向量,利用向量垂直的条件转化为求解方程组,求出法向量.④得距离:根据点到平面的距离公式,计算得出距离.考点一、空间向量的线性运算1．（2023年福建模拟数学试题）如图,在平行六面体中,,,,是的中点,是上的一点,且,用表示向量的结果是（）.A．B．C．D．【答案】D【详解】∵是的中点,,∴.2．（2023年宜阳模拟数学试题）已知向量是空间的一个基底,向量是空间的另一个基底,一向量在基底下的坐标为,则向量在基底下的坐标为（）.A． B．C． D．【答案】A【详解】设在基底下的坐标为,则,所以解得故在基底下的坐标为.如图所示,在平行六面体中,设,,,,,分别是的中点,试用表示以下各向量:(1)AP;(2)A1(3)MP+NC【详解】(1)因为是的中点,所以.(2)因为是的中点,所以.(3)因为是的中点,所以,又,所以.考点二、共线、共面的判断与证明1．已知O为空间任意一点，A、B、C、P满足任意三点不共线，但四点共面，且，则m的值为（

）A． B．2 C． D．【答案】C【分析】为空间任意一点，满足任意三点不共线，但四点共面，均有结论，其中，故可由进行转化，利用结论即可【详解】，∵为空间任意一点，满足任意三点不共线，但四点共面，∴，∴.2.如图所示,已知斜三棱柱,点分别在上,且满足,.(1)向量是否与向量共面?(2)直线是否与平面平行?【详解】(1)因为,,所以,所以由共面向量定理知,向量与向量共面.(2)当时,点重合,点重合,在平面内,不平行;当时,不在平面内,又由(1)知与共面,所以平面.综上所述,当时,不平行,当时,平行.1．下列命题中正确的是（）A．若，，则与所在直线平行B．向量、、共面即它们所在直线共面C．空间任意两个向量共面D．若，则存在唯一的实数λ，使【答案】C【分析】根据空间向量的相关观念逐一判断即可.【详解】对于A，若，，当时与所在直线可以不平行，因此不正确；对于B，向量、、共面，则它们所在直线可能共面，也可能不共面，因此不正确；对于C，根据共面向量基本定理可知：空间任意两个向量共面，正确；对于D，若且，则存在唯一的实数λ，使，因此不正确．2．（2023年河南省模拟数学试题）已知向量，，，若，，三向量共面，则实数（

）A． B．2 C． D．3【答案】B【分析】根据共面向量定理列等式，解方程即可.【详解】∵，，三向量共面，∴存在实数，，使得，即，∴，解得，，．3．已知分别是空间四边形的边的中点,用向量方法求证:(1)四点共面;(2)平面.【详解】(1)如图,连接,则,由向量共面定理知,四点共面.(2)因为,又四点不共线,所以.因为平面,平面,所以平面.考点三、空间向量的数量积与坐标运算1．（2023年河南省模拟数学试题）如图，在平行六面体中，以顶点A为端点的三条棱长均为6，且它们彼此的夹角都是60°，下列说法中不正确的是（

）A．B．BD⊥平面ACC₁C．向量与的夹角是60°D．直线BD₁与AC所成角的余弦值为【答案】C【分析】利用空间向量法，通过计算线段长度、向量夹角、线线角以及证明线面垂直等知识确定正确答案.【详解】以为空间一组基底.，，所以，A选项正确.由于四边形是菱形，所以，，，所以，即，由于，所以平面，B选项正确.，三角形是等边三角形，由图可知与的夹角为钝角，也即与的夹角为钝角，C选项错误.，，所以.，，所以..设直线与直线所成角为，则，D选项正确.2．（2023年四川绵阳质量检测数学试题）如图,在大小为45°的二面角中,四边形都是边长为1的正方形,则两点间的距离是（）.A． B． C． D．【答案】D【详解】因为,所以.3．（2023年山东临沂联考数学试题）若向量,且,则实数（）.A． B． C． D．【答案】C【详解】因为,所以,即,所以,解得.1．（2023年福建省质量监测数学试题）如图，平行六面体的底面是矩形，其中，，，且，则线段的长为（

）

A．9 B． C． D．【答案】C【分析】由，两边平方，利用勾股定理以及数量积的定义求出的值，进而可得答案【详解】由，.因为底面是矩形，，，，所以，，因为，所以所以，.2．若向量,,夹角的余弦值为,则实数（）.A．1 B．3 C．2 D．4【答案】A【详解】∵,,∴,,.又夹角的余弦值为∴,可知,解得.考点四、求法向量1．已知，，则平面ABC的一个单位法向量为（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】设平面的法向量为，进而得，再根据为单位向量即可得答案.【详解】设平面的法向量为，则有取，则.所以．因为，所以平面的一个单位法向量可以是.【点睛】本题考查平面的法向量的求法，考查运算求解能力，解题得关键在于掌握单位向量的表示形式,是中档题.2．如图，在正方体中，以为原点建立空间直角坐标系，为的中点，为的中点，则下列向量中，能作为平面的法向量的是（

）．A．（1，，4） B．（，1，）C．（2，，1） D．（1，2，）【答案】B【分析】设正方体的棱长为2，依次求出各点坐标，设向量是平面的法向量，根据法向量的定义，逐一验证各选项即可求出答案．【详解】解：设正方体的棱长为2，则，，∴，设向量是平面的法向量，则取，得，则是平面的一个法向量，结合其他选项，只需和共线即可，检验可知，ACD选项均不与共线.所以能作为平面的法向量只有选项B1．（2023年黑龙江省模拟考试数学试题）已知，则平面的一个单位法向量是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据给定条件，求出平面的法向量，再逐项判断作答.【详解】依题意，，设平面的一个法向量为，则，令，得，于是得与同向的单位向量为，与反向的单位向量为，D满足，显然选项A，B，C中的向量与不共线，即A，B，C不满足.2．已知平面上三点，，，则平面的一个法向量为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】设平面的一个法向量为，由题意得出，可得出关于、、的等式，对赋值可得出平面的一个法向量的坐标.【详解】由已知，，设平面的一个法向量为，由，可得，取，可得，，所以，平面的一个法向量为.考点五、向量法求点面、线面距离1．如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AD＝AA1＝1，AB＝2，点E是棱AB的中点，则点E到平面ACD1的距离为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】以为坐标原点，，分别为轴，输、轴正方向建立空间直角坐标系，用向量法求解.【详解】如图，以为坐标原点，，分别为轴，输、轴正方向建立空间直角坐标系，则．从而.设平面的法向量为，则，即，得，令，则，所以点到平面的距离为．2．在棱长为1的正方体中，E为线段的中点，F为线段AB的中点，则直线FC到平面的距离为．【答案】/【分析】建立如图所示的空间直角坐标系，求出平面的法向量后可求线面距.【详解】建立如图所示的空间直角坐标系，则，故，故，而平面，平面，故平面，故直线到平面的距离为即为到平面的距离.设平面的法向量为，又，故，取，则，而，故到平面的距离为.3．如图，已知正方体的棱长为1，则线段上的动点P到直线的距离的最小值为（

）A．1 B． C． D．【答案】D【分析】利用坐标法，设，可得动点到直线的距离为，然后利用二次函数的性质即得.【详解】如图建立空间直角坐标系，则，设，则，∴动点到直线的距离为，当时取等号，即线段上的动点到直线的距离的最小值为.1．已知直线过定点，且方向向量为，则点到的距离为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本题首先可根据题意得出，然后求出与，最后根据空间点到直线的距离公式即可得出结果.【详解】因为，，所以，则，，由点到直线的距离公式得.2．（2023届浙江省适应性考试（三模）数学试题）四面体满足，点在棱上，且，点为的重心，则点到直线的距离为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据给定条件，建立空间直角坐标系，再利用向量求出点到直线的距离作答.【详解】四面体满足，即两两垂直，以点O为原点，以射线的正方向分别为轴的正方向建立空间直角坐标系，如图，因为，，则，于是，，所以点到直线的距离.3．如图，在长方体中，，，､､分别是､､的中点，则直线到平面的距离为.【答案】【分析】以为原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，得到，，，，各点坐标，由向量可判定平面，则将问题转化为点到平面的距离，先求得平面的法向量，再根据距离求解即可.【详解】以为原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，如图所示，由题，则，，因为､､分别是､､的中点，所以，，，则，所以，所以平面，所以点到平面的距离即为直线到平面的距离，设平面的法向量为，则，因为，所以，取，则，，所以是平面的一个法向量，又向量，所以点到平面的距离为，即直线到平面的距离为.考点六、向量法求点线距离1．（2023年河北省模拟数学试题）已知直线过点，且方向向量为，则点到的距离为（

）A． B． C． D．3【答案】B【分析】根据直线一个方向向量为，取直线的一个单位方向向量为，计算，代入点到直线的距离公式计算即可.【详解】直线的一个方向向量为，取直线一个单位方向向量为，又为直线外一点，且直线过点，，，点到直线的距离为.2．如图，在正三棱柱中，若，则C到直线的距离为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】取的中点，建立如图所示的空间直角坐标系，根据点到线距离的向量求法和投影的定义计算即可.【详解】由题意知，，取的中点，则，建立如图所示的空间直角坐标系，则，所以，所以在上的投影的长度为，故点到直线的距离为：.1．（2023年辽宁省模拟数学试题）已知直线l经过点，且是l的方向向量，则点到l的距离为（

）．A． B． C． D．【答案】C【分析】由题意，应用空间向量夹角的坐标表示求，再根据点线距离为即可求结果.【详解】由题设，则，所以，而，故到的距离为.2．（2023年山东省模拟数学试题）已知空间中三点，则点到直线的距离为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据点到直线距离的向量坐标公式计算即可求解．【详解】因为，所以，则点到直线的距离为.3．如图，已知正方体的棱长为2，点为线段上的动点，则点到直线的距离的最小值为（）

A．1 B． C． D．【答案】C【分析】以为坐标原点，、、所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，利用向量法求异面直线距离可得.【详解】解：正方体的棱长为2，点为线段上的动点，以为坐标原点，、、所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，则，，，设，，，设异面直线的公共法向量为，则，取，得，∴点到直线的距离为：，点到直线的距离的最小值为.

考点七、向量法求异面直线的距离1．定义：两条异面直线之间的距离是指其中一条直线上任意一点到另一条直线距离的最小值.在长方体中，，，，则异面直线与之间的距离是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】以为坐标原点建立空间直角坐标系，求出和的公垂线的方向向量，求出，再由可求出.【详解】如图，以为坐标原点建立空间直角坐标系，则，则，，设和的公垂线的方向向量，则，即，令，则，，.【点睛】本题考查异面直线距离的求解，解题的关键是建立空间直角坐标系，利用向量的方法求解.2．定义：两条异面直线之间的距离是指其中一条直线上任意一点到另一条直线距离的最小值．在棱长为1的正方体中，直线与之间的距离是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】在上任取点，作，设，，根据得出和的关系，从而可得关于(或的函数关系，再求出此函数的最小值即可.【详解】设为直线上任意一点，过作，垂足为，可知此时到直线距离最短设，，则，，，，即，，即，，，，当时，取得最小值，故直线与之间的距离是.3．在长方体中，，，，则异面直线与之间的距离是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】建立空间直角坐标系，求解直线与的公垂线的方向向量，利用异面直线距离的向量公式，即得解【详解】如图所示，以为原点，所在直线为轴如图建立空间直角坐标系则设直线与的公垂线的方向向量为则不妨令又,则异面直线与之间的距离.1．长方体中，，，为的中点，则异面直线与之间的距离是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】建立如图所示的空间直角坐标系，得出各点坐标，求出与的公垂线的一个方向向量，由空间向量的数量积求得结论．【详解】建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，，，设与的公垂线的一个方向向量为，则，取，得，，即，又，所以异面直线与之间的距离为．2．如图是一棱长为的正方体，则异面直线与之间的距离为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】建立空间直角坐标系，求出与和垂直的向量坐标，求出异面直线间的距离.【详解】以为原点，，，分别为，，轴，建立如图空间直角坐标系，则，，设与和都垂直，则，即，取，又因为，所以异面直线和间的距离为.3．（2023年陕西省模拟考试（理科）数学试题）如图，已知是侧棱长和底面边长均等于的直三棱柱，是侧棱的中点.则点到平面的距离为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】取的中点，连接，以点为坐标原点，、、的方向分别为、、轴的正方向建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得点到平面的距离.【详解】取的中点，连接，因为为等边三角形，为的中点，则，以点为坐标原点，、、的方向分别为、、轴的正方向建立如下图所示的空间直角坐标系，则、、、，设平面的法向量为，，，由，取，可得，，所以，点到平面的距离为.考点八、向量法求平面到平面的距离1．已知正方体的棱长为，则平面与平面的距离为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】建立空间直角坐标系，用空间向量求解【详解】由正方体的性质，∥,∥，，，易得平面平面，则两平面间的距离可转化为点到平面的距离．以D为坐标原点，DA，DC，所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则，，，，，所以，，，．连接，由，，且，可知平面，得平面的一个法向量为，则两平面间的距离．2．空间直角坐标系中、、）、，其中，，，，已知平面平面，则平面与平面间的距离为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由已知得，，，设向量与向量、都垂直，由向量垂直的坐标运算可求得，再由平面平行和距离公式计算可得选项.【详解】解：由已知得，，，设向量与向量、都垂直，则，即，取，，又平面平面，则平面与平面间的距离为.3．正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为a，则平面AB1D1与平面BDC1的距离为.【答案】【分析】转化为求点B到平面AB1D1的距离后，建立空间直角坐标系，利用点到面的距离的向量公式可求得结果.【详解】∵，平面BDC1，平面BDC1，所以平面BDC1，同理平面BDC1，又，所以平面AB1D1//平面BDC1，则两平行平面间的距离等于点B到平面AB1D1的距离.以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则A(a,0,0)，B(a，a,0)，，，，，则，，，设平面AB1D1的一个法向量为，则，即，令，则，，则，则点B到平面AB1D1的距离，所以平面AB1D1与平面BDC1的距离为.故答案为：【点睛】关键点点睛：利用点到面的距离的向量公式求解是解题关键.1．（2023年河北省阶段测试数学试题）两平行平面分别经过坐标原点O和点，且两平面的一个法向量，则两平面间的距离是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由空间向量求解【详解】∵两平行平面分别经过坐标原点和点，且两平面的一个法向量，∴两平面间的距离．2．在棱长为的正方体中，则平面与平面之间的距离为（）A． B．C． D．【答案】B【分析】建立如图所示的直角坐标系，求得和平面的一个法向量，利用向量的距离公式，即可求解．【详解】建立如图所示的直角坐标系，则，，，，所以，，，设平面的一个法向量，则，即，解得，故，显然平面平面，所以平面与平面之间的距离．【点睛】本题主要考查了空间向量在求解距离中的应用，对于利用空间向量求解点到平面的距离的步骤通常为：①求平面的法向量；②求斜线段对应的向量在法向量上的投影的绝对值，即为点到平面的距离．空间中其他距离问题一般都可转化为点到平面的距离求解．着重考查了推理与运算能力，属于基础题.3．正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为4，M，N，E，F分别为A1D1，A1B1，C1D1，B1C1的中点，则平面AMN与平面EFBD的距离为.【答案】【分析】建立空间直角坐标系，计算平面AMN的一个法向量，然后使用等价转化的思想，面面距转为点面距，最后计算即可.【详解】如图所示，建立空间直角坐标系Dxyz，则A(4，0，0)，M(2，0，4)，D(0，0，0)，B(4，4，0)，E(0，2，4)，F(2，4，4)，N(4，2，4).∴=(2，2，0)，=(2，2，0)，=(2，0，4)，=(2，0，4)，∴，∴EF∥MN，BF∥AM，EF∩BF=F，MN∩AM=M.∴平面AMN∥平面EFBD.设=(x，y，z)是平面AMN的一个法向量，则解得取z=1，则x=2，y=-2，得=(2，2，1).平面AMN到平面EFBD的距离就是点B到平面EFBD的距离.∵=(0，4，0)，∴平面AMN与平面EFBD间的距离d=.故答案为：【点睛】本题考查面面距，使用数形结合，形象直观，并采用向量的方法，将几何问题代数化，便于计算，属基础题.考点九、向量法求异面直线所成角1．已知正四面体ABCD，M为BC中点，N为AD中点，则直线BN与直线DM所成角的余弦值为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用空间向量的线性运算性质，结合空间向量夹角公式进行求解即可.【详解】设该正面体的棱长为，因为为中点，为中点，所以，因为为中点，为中点，所以有，，根据异面直线所成角的定义可知直线与直线所成角的余弦值为.2．（2018年全国普通高等学校招生统一考试理数（全国卷II））在长方体中，，，则异面直线与所成角的余弦值为（）A． B． C． D．【答案】C【详解】分析：先建立空间直角坐标系，设立各点坐标，利用向量数量积求向量夹角，再根据向量夹角与线线角相等或互补关系求结果.详解：以为坐标原点，为轴建立空间直角坐标系，则,所以,因为，所以异面直线与所成角的余弦值为，选C.点睛：利用法向量求解空间线面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”.3．如图圆锥的高，底面直径是圆上一点，且，则与所成角的余弦值为（）A． B． C． D．【答案】A【分析】建立空间直角坐标系，写出各个点的坐标，利用向量数量积即可求得与夹角的余弦值．【详解】建立如图所示的空间直角坐标系得：，，，.设的夹角为，又则因为即与所成角的余弦值为.【点睛】本题考查了空间向量的数量积的运算及利用空间向量求异面直线的夹角，属中档题．1．正方体中，E，F分别为，的中点，则异面直线AE与FC所成角的余弦值为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】建立空间直接坐标系，利用空间向量求解.【详解】如图，建立空间直接坐标系，设正方体的棱长为2，因为，分别为，的中点，易知，，，，，所以，，所以<>=.因为异面直线与所成角为锐角.所以异面直线与所成角的余弦值为.故A，B，C错误.2．在平行六面体中，，，，，则与所成角的正弦值为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先利用基底表示向量，再利用向量的夹角公式求解.【详解】解：，则，，，，，，所以.3．如图，在三棱锥中，平面，是边长为的正三角形，，是的中点，则异面直线与所成角的余弦值是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】解法一：可以通过几何法找到异面直线所成角的平面角，结合余弦定理可以求出；解法二：通过空间向量法，用坐标运算可以求出.【详解】解法一：设为的中点，连接，如图，∵是的中点，∴∥，,,;在中，由余弦定理可知∴异面直线与所成角的余弦值为，解法二：以为坐标原点，，所在直线分别为，轴建立空间直角坐标系如图所示，易知，，，所以，，则，∴异面直线与所成角的余弦值为.考点十、向量法求直线与平面所成角1．直三棱柱ABC－A1B1C1中，△ABC为等边三角形，AA1＝AB，M是A1C1的中点，则AM与平面所成角的正弦值为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】取的中点，以为原点，所在直线分别为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系，即可根据线面角的向量公式求出．【详解】如图所示，取的中点，以为原点，所在直线分别为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系，不妨设，则，所以，平面的一个法向量为设与平面所成角为，向量与所成的角为，所以，即与平面所成角的正弦值为．2．（2023年广东省模拟考试数学试题）在三棱锥中，平面，D，E，F分别是棱的中点，，则直线与平面所成角的正弦值为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】建立如图所示的空间直角坐标系，利用直线的方向向量和平面的法向量可求线面角的正弦值.【详解】因为平面，而平面，故，而，故可建立如图所示的空间直角坐标系，设，则且，故，故，，，设平面的法向量为，则：由可得，取，则，设直线与平面所成角为，则.3．如图，在正方体中，是中点，点在线段上，若直线与平面所成的角为，则的取值范围是（

）．A． B． C． D．【答案】A【分析】先设棱长为1，，建立如图坐标系，根据计算点坐标和向量，再写出平面的一个法向量的坐标，根据构建关系，求其值域即可.【详解】如图，设正方体棱长为1，，则，以为原点，分别以，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系．则，故，，又，则，所以．在正方体中，可知体对角线平面，所以是平面的一个法向量，所以．所以当时，取得最大值，当或1时，取得最小值．所以.【点睛】方法点睛：求空间中直线与平面所成角的常见方法为：（1）定义法：直接作平面的垂线，找到线面成角；（2）等体积法：不作垂线，通过等体积法间接求点到面的距离，距离与斜线长的比值即线面成角的正弦值；（3）向量法：利用平面法向量与斜线方向向量所成的余弦值的绝对值，即是线面成角的正弦值.1．正方体棱长为2，是棱的中点，是四边形内一点（包含边界），且，当三棱锥的体积最大时，与平面所成角的正弦值为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】建立空间直角坐标系，设出，利用向量的数量积及体积最大值求得，从而得到与平面所成角的正弦值.【详解】如图，以为坐标原点，，，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，则，，，设，，则，由于为定值，要想三棱锥的体积最大，则到底面的距离最大，其中，所以当时，取得最大值，因为，所以的最大值为，所以，，平面的法向量，所以与平面所成角的正弦值为2．平行六面体中，，则与底面所成的线面角的正弦值是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】连接，相交于点，依题意可得平面，从而得到平面平面，则是与底面所成角，利用锐角三角函数求出，建立如图所示空间直角坐标系，求出点的坐标，即可得到点的坐标，利用空间向量法求出线面角的正弦值．【详解】解：如图所示，连接，相交于点，连接．平行六面体中，且，不妨令，，都是等边三角形．是等边三角形．，，，平面平面，平面，平面平面，是与底面所成角．因为，，所以．如图建立空间直角坐标系，则，，，，其中的坐标计算如下，过作交于点，因为，，所以，所以，，因为,所以，所以，显然平面的法向量为，设与底面所成的角为，则3．（2023年湖南省模拟数学试题）是从点P出发的三条射线，每两条射线的夹角均为，那么直线与平面所成角的余弦值是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】作图，找到直线在平面上的投影在构建多个直角三角形，找出边与角之间的关系，继而得到线面角；也可将三条射线截取出来放在正方体中进行分析.【详解】解法一：如图，设直线在平面的射影为，作于点，于点，连接，易得，又平面，则平面，又平面，则，有故．已知，故为所求．解法二：如图所示，把放在正方体中，的夹角均为．建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体棱长为1，则，所以，设平面的法向量，则令，则，所以，所以．设直线与平面所成角为，所以，所以．考点十一、向量法求平面与平面所成角1．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E为BB1的中点，则平面A1ED与平面ABCD所成角的正弦值为（）A． B． C． D．【答案】B【分析】建立直角坐标系，用空间向量求解两平面的夹角.【详解】以为原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设棱长为1，则，，，∴，设平面的法向量为，则有令得：，∴.∵平面的法向量为，∴，则，故平面与平面所成角的正弦值为.2．若在正方体中，点E是的中点，则二面角的平面角的正切值为（

）．A． B．2 C． D．【答案】B【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量进行求解二面角的余弦值，进而求出正切值.【详解】以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴建立空间直角坐标系，设正方体棱长为，则，，，，设平面的法向量为，则，解得：，令，则，所以，平面的法向量为，设二面角的平面角为，可以看出为锐角，则，则，故.3．（2023年江苏省模拟数学试题）如图所示，正方体的棱长为，点分别是中点，则二面角的正切值为（

）

A． B． C． D．【答案】A【分析】以点为原点，分别以，，所在直线分别为，，轴，建立空间直角坐标系，求出两平面的法向量，利用夹角公式求出余弦值，进而可得答案.【详解】以点为原点，分别以，，所在直线分别为，，轴，建立空间直角坐标系，则，0，，，，，，2，，，0，，，2，，则，2，，，2，，设平面的法向量，，，则，令，则，1，，又因为平面的一个法向量，，设的大小为，有图可知为锐角，则，

1．二面角的棱上有A、B两点，直线AC、BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB，已知，，，，则该二面角的大小为（

）A．30° B．45° C．60° D．120°【答案】C【分析】将向量转化成，然后等式两边同时平方表示出向量的模，再根据向量的数量积求出向量与的夹角，而向量与的夹角就是二面角的补角．【详解】由条件，知．，，即，所以二面角的大小为2．在二面角的棱上有两个点、，线段、分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱，若，，，，则这个二面角的大小为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】设这个二面角的度数为，由题意得，从而得到，由此能求出结果.【详解】设这个二面角的度数为，由题意得，，，解得，∴，∴这个二面角的度数为.【点睛】本题考查利用向量的几何运算以及数量积研究面面角.3．（2023年天津质量监测数学试题）如图，在直三棱柱中，，，，点D是棱的中点，则平面与平面所成角的正弦值为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】建系，求两平面的法向量，利用空间向量解决面面夹角问题.【详解】如图，以为坐标原点建立空间直角坐标系，则，设平面的法向量，∵，则，令，则，∴，同理可得：平面的法向量，故，设平面与平面所成角为，则，故平面与平面所成角的正弦值.【基础过关】1．（2023年湖南省模拟考试数学试题）在四棱锥中，，，，则该四棱锥的高为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先计算出平面的法向量，再计算出与平面所成角的正弦值，然后根据四棱锥的高为即可计算结果.【详解】设平面的法向量为，则，即，令，可得，，则..设与平面所成的角为：则.故到平面的距离为，即四棱锥的高为.2．如图，正方体的棱长为4，点M是棱AB的中点，点P是底面ABCD内的动点，且P到平面的距离等于线段PM的长度，则线段长度的最小值为．【答案】【分析】根据抛物线的定义，可知点是以为焦点，以为准线的抛物线，然后根据空间中两点的距离来求解.【详解】由P到平面的距离等于线段PM的长度，可知点是以为焦点，以为准线的抛物线.以中点为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系.，设点的方程为：当时，长度最小为故答案为：3．（2023年上海市模拟数学试题）已知空间中三点，，，则下列说法错误的是（

）A．与不是共线向量 B．与同向的单位向量是C．和夹角的余弦值是 D．平面的一个法向量是【答案】C【分析】根据向量共线定理可判断A；根据单位向量的概念可判断B；由向量夹角的余弦公式可判断C；根据法向量的特征可判断D.【详解】对于A，，，由于，所以与不是共线向量，故A正确；对于B，，，故B正确；对于C，，，，故C错误；对于D，，，设平面的法向量，则，取，得，故D正确，4．已知为平面的一个法向量，为内的一点，则点到平面的距离为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据给定条件，利用点到平面的向量求法，列式计算作答.【详解】依题意，，而为平面的一个法向量，所以点到平面的距离.5．在正方体中，为的中点，则异面直线和间的距离．【答案】【分析】以为原点，建立空间直角坐标系，求和公垂线上的向量，代异面直线间的距离公式得解.【详解】解：设正方体棱长为，以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，设和公垂线段上的向量为，则，即，，，又，，所以异面直线和间的距离为．故答案为：．6．（2023年河南省联考（B卷）数学试题）如图，已知四棱锥的底面是边长为4的菱形，且，底面，若点到平面的距离为，则（

）A． B． C．1 D．2【答案】D【分析】建立空间直角坐标系,利用坐标法求解即可.【详解】设为中点，因为底面是边长为4的菱形，且，所以,而,所以；以为坐标原点，以，的方向分别为，轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，设，则，，.设是平面的法向量，因为，，则，令，得.设点到平面的距离为，.因为，所以，得.7．如图，在正方体中，分别为棱，的中点，则与平面所成角的正弦值为.【答案】【分析】以分别为轴建立空间直角坐标系.求出平面的一个法向量，由向量法求解线面角.【详解】在正方体中以分别为轴建立空间直角坐标系.设正方体的棱长为2，则，.所以，，，设平面的一个法向量为，则，即，取，则，设与平面所成角为，则.故答案为：8．已知长方体中，，，则平面与平面所成的锐二面角的余弦值为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】建立空间直角坐标系，求得平面的一个法向量为，易知平面的一个法向量为，由求解.【详解】建立如图所示空间直角坐标系：则，所以，设平面的一个法向量为，则，即，令，则，易知平面的一个法向量为，所以，所以平面与平面所成的锐二面角的余弦值为.9．将边长为的正方形沿对角线折成直二面角，则点到平面的距离为．【答案】/【分析】建立空间直角坐标系，由向量法计算可得.【详解】记AC与BD的交点为O，图1中，由正方形性质可知，所以在图2中，，所以，即如图建立空间直角坐标系，易知则则设为平面ABC的法向量，则，取，得所以点到平面的距离故答案为：10．在如图所示的六面体中，四边形和均为直角梯形，，，，为直角顶点，其他四个面均为矩形，，，，则平面与平面所成的角为（

）A．30° B．45° C．135° D．45°或135°【答案】B【分析】由题意，，，两两垂直，以点为原点建系，平面的一个法向量为，再用向量法求出平面的法向量，则由可得到所求两面角【详解】因为四边形和均为直角梯形，，，，为直角顶点，其他四个面均为矩形，所以这个六面体是四棱柱，由题意可知，，两两垂直，以点为原点建系如图，则，，，，则，，根据题意可知平面，所以，即为平面的一个法向量，设为平面的法向量，则取，则，，则为平面的一个法向量，则，所以平面与平面所成的角为45°，故选：B．11．在三棱锥O-ABC中，OA､OB､OC两两垂直，，，，D是AB的中点，则CD与平面OAB所成的角的正切值为.【答案】2【分析】由已知建立空间直角坐标系，求出的坐标和平面的法向量，由数量积公式可得与平面所成的角的正弦值，再由三角函数平方关系和商数关系可得答案.【详解】因为两两垂直，所以以为原点，分别为轴的正半轴建立如图所示空间直角坐标系，连接，所以，，，，，由于底面，所以是底面的法向量，且，设与平面所成的角为，所以，所以，所以.即与平面所成的角正切值为.故答案为：2.【点睛】本题考查了线面角的求法，解题关键点是建立空间直角坐标系利用向量的数量积公式求解，考查了学生的空间想象力和计算能力.12．如图，在长方体中，，，､､分别是､､的中点，则直线到平面的距离为.【答案】【分析】以D为原点，DC，DA，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，得到A，C，E，F，H各点坐标，由向量可判定平面，则将问题转化为点E到平面的距离，先求得平面的法向量，再根据距离求解即可.【详解】以D为原点，DC，DA，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，如图所示，由题，则，，因为､､分别是､､的中点，所以，，，则，所以，所以平面，所以点E到平面的距离即为直线到平面的距离，设平面的法向量为，则，因为，所以，取，则，，所以是平面的一个法向量，又向量，所以点E到平面的距离为，即直线到平面的距离为.故答案为：13．如图，正三角形与正三角形所在平面互相垂直，则二面角的余弦值是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】取的中点，连接,证明垂直于平面，以点为原点建立空间直角坐标系，分别求出平面和平面的法向量，利用空间向量公式即可求出所求二面角的余弦.【详解】如图示，取中点，连结，在正三角形与正三角形中，，，因为面⊥面，面面，所以面,以E为原点，为轴正方向，为轴正方向，为轴正方向，建立空间直角坐标系，设，则,平面的一个法向量为而，设为面的一个法向量，则：即，不妨令，则设二面角的平面角为，则为锐角，所以.【点睛】向量法解决立体几何问题的关键：(1)建立合适的坐标系；(2)把要用到的向量正确表示；(3)利用向量法证明或计算.14．在棱长为的正方体中，平面与平面间的距离是.【答案】【分析】以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，证明出平面平面，利用空间向量法可求得平面与平面间的距离.【详解】以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，则、、、、、，设平面的法向量为，，，由，取，可得，设平面的法向量为，，，由，取，可得，因为，平面与平面不重合，故平面平面，，所以，平面与平面间的距离为.故答案为：.15．已知直三棱柱的所有棱长都相等，为的中点，则与所成角的正弦值为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】取线段的中点，则，设直三棱柱的棱长为，以点为原点，、、的方向分别为、、的正方向建立空间直角坐标系，利用空间向量法结合同角三角函数的基本关系可求得结果.【详解】取线段的中点，则，设直三棱柱的棱长为，以点为原点，、、的方向分别为、、的正方向建立如下图所示的空间直角坐标系，则、、、，所以，，，.所以，.【能力提升】1．在四棱锥中，面，底面为矩形，，，为中点，则异面直线与之间的距离为.【答案】/【分析】设线段为异面直线与的公垂线段，则线段的长即为异面直线与之间的距离，以A为原点建立空间直角坐标系如图所示，利用向量共线表示出点的坐标，再利用线线垂直求出点的坐标，则线段的长可求出.【详解】解：如图，设线段为异面直线与的公垂线段，则线段的长即为异面直线与之间的距离，以A为原点建立空间直角坐标系如图所示：则A（3，0，0），B（3，4，0），P（0，0，4），C（0，4，0），D（0，0，0），M（0，2，2），设，，，，，设，，，，，，又，，解得，即.即异面直线与之间的距离为.故答案为：.2．如图，在棱长为2的正方体中，点P在正方体的对角线AB上，点Q在正方体的棱CD上，若P为动点，Q为动点，则PQ的最小值为.【答案】【分析】建立空间直角坐标系，利用三点共线设出点P(λ，λ，2﹣λ)，0≤λ≤2，以及Q(0，2，μ)，0≤μ≤2，根据两点间的距离公式，以及配方法，即可求解.【详解】建立如图所示空间直角坐标系，设P(λ，λ，2﹣λ)，Q(0，2，μ)(0≤λ≤2且0≤μ≤2)，可得PQ=，∵2(λ﹣1)2≥0，(2﹣λ﹣μ)2≥0，∴2(λ﹣1)2+(2﹣λ﹣μ)2+2≥2，当且仅当λ﹣1=2﹣λ﹣μ=0时，等号成立，此时λ=μ=1，∴当且仅当P､Q分别为AB､CD的中点时，PQ的最小值为.故答案为:.【点睛】本题考查空间向量法求两点间的距离，将动点用坐标表示是解题的关键，考查配方法求最值，属于中档题.3．（2017年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷））已知三棱锥的所有棱长都相等，若与平面所成角等于，则平面与平面所成角的正弦值的取值范围是（）A． B．C． D．【答案】A【分析】设出三棱锥的边长，设是的中点，求得和，由此判断出.设平面与平面所成二面角的平面角为，由和，结合三角函数恒等变换，求得的取值范围，由此得出正确选项.【详解】如图，在三棱锥中，是的中点，不妨设其边长为2，则，∴.根据余弦定理，有，∴，∴.由题可知当平面与平面所成二面角的平面角取最值时，平面平面.当最小时，与平面所成角为，则与平面的法向量所成角为，∴与所成角为，而平面与平面所成角为，∴；当最大时，与平面所成角为，则与平面的法向量所成角为∴与所成角为，而平面与平面所成角为，∴.∴平面与平面所成角的正弦值的取值范围为.【点睛】本小题主要考查面面角的求法，考查线面角的概念和运用，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于难题.4．如图，在三棱锥中，，，E，F，O分别为棱，，的中点，记直线与平面所成角为，则的取值范围是.【答案】【分析】易证得，引入辅助角变量，设，以为原点建立空间直角坐标系，利用向量法求得线面角的正弦值，从而可判断所求角的范围.【详解】解：因为，，所以，所以，又因为为的中点，所以，又，所以平面，设，如图，以为原点建立空间直角坐标系，则平面与平面重合，不妨设，则，则，，则，因为平面，所以即为平面的一条法向量，因为直线与平面所成角为，，所以，因为，所以，所以，所以.故答案为：.5．已知正方体的棱长为1，点E、O分别是、的中点，P在正方体内部且满足，则下列说法错误的是（

）A．点A到直线BE的距离是 B．点O到平面的距离为C．平面与平面间的距离为 D．点P到直线AB的距离为【答案】D【分析】建立空间直角坐标系，用向量法直接求解可得.【详解】如图，建立空间直角坐标系，则，，，，，，，所，．设，则，．故到直线的距离，故A对；易知，平面的一个法向量，则点到平面的距离，故B对；，，．设平面的法向量为，则，所以，令，得，，所以，所以点到平面的距离．因为平面平面，所以平面与平面间的距离等于点到平面的距离，即为，故C对；因为，所以，，则，所以点到的距离，故D错．6．在棱长为1的正四面体中，点满足，点满足，当最短时，（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由题知平面，直线，故当、最短时，平面，，再根据向量的关系计算即可得答案.【详解】，，∴，，即:，；平面，直线，所以当、最短时，平面，，为的中心，为线段的中点，如图：又正四面体的棱长为1，，平面，，．【点睛】本题考查空间向量的数量积运算，共面向量定理，共线向量定理，解题的关键在于结合共面向量定理与共线向量定理得平面，直线，进而当当、最短时，平面，，再求解.7．（2023年河南省摸底考试理科数学试题）在直三棱柱中，，且，若直线与侧面所成的角为，则异面直线与所成的角的正弦值为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】建立空间直角坐标系，设，利用线面角的向量求法求出的值，再求异面直线所成角即可.【详解】因为直三棱柱，所以底面，又因为，所以两两垂直，以为轴建立如图所示坐标系，设，则，，，，所以，，，设平面的法向量，则，解得，所以直线与侧面所成的角的正弦值，解得，所以，，设异面直线与所成的角为，则，所以异面直线与所成的角的正弦值为.8．（2023年广东省模拟数学试题）在四棱锥中，平面，底面为矩形，.若边上有且只有一个点，使得，此时二面角的余弦值为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由线面垂直的性质与判定可证得平面，进而得到，设，，，利用勾股定理可得关于的方程，由方程有且仅有一个范围内的解，由求得的值；以为坐标原点，利用二面角的向量求法可求得结果.【详解】平面，平面，，又，，平面，平面，又平面，；设，，，，，，，即，关于的方程有且仅有一个范围内的解，对称轴为，，解得：，，以为坐标原点，正方向为轴，可建立如图所示空间直角坐标系，则，，，，，轴平面，平面的一个法向量；设平面的法向量，则，令，解得：，，，，由图形可知：二面角为锐二面角，二面角的余弦值为.【点睛】关键点点睛：本题考查利用向量法求解二面角的问题；解题关键是能够根据线面垂直的判定与性质证得，从而利用勾股定理构造关于的一元二次方程，根据其根的分布可求得和的长度，进而得到利用向量法求解时所需的线段长度.9．如图，在四棱锥中，，分别是，的中点，底面，，，，若平面平面，则