【初中数学】认识实数(第1课时)课件-2025-2026学年北师大版（2024）八年级数学上册

2.1认识实数(第1课时)北师大版数学八年级上册

已知一个直角三角形的两条直角边长分别为1和2，算一算斜边长x的平方，x是整数(或分数)吗？x2=?12x导入新知1.什么是有理数？有理数包括哪些数？举例说明.3.圆周率π是有理数吗？为什么？不是，因为它是无限不循环小数复习回顾2.有理数一定都是分数和整数吗？无限循环小数属于整数还是分数？有理数一定都是整数和分数；所有的无限循环小数都可以表示为分数

把两个边长为1的小正方形通过剪、拼，设法得到一个大正方形剪一剪拼一拼1111探究一:下面请同学们拿出准备好的两个边长为1的小正方形探究新知知识点

1利用拼图发现非有理数

11探究新知

思考:设大正方形的边长为a,则a满足什么条件?方法二探究新知a2=2

2.a可能是分数吗？说说你的理由.探究二：1.a可能是整数吗？说说你的理由.探究新知a2=2a

探究新知即两个相同最简分数的乘积仍是分数.a2=2a

归纳总结有理数包括：整数和分数.如果一个数既不是整数也不是分数，那么这个数不是有理数.在a2=2中，a不是有理数.探究新知

例如图，有一个由五个边长为1的小正方形组成的图形，我们可以把它剪拼成一个正方形．则拼成的正方形的面积是多少？这个正方形的边长是有理数吗？解：因为小正方形的边长为1，所以每个小正方形的面积为1，所以拼成的正方形的面积为5×1=5.因为找不到平方等于5的有理数，所以这个正方形的边长不是有理数．探究新知素养考点1非有理数的识别提示：解决本题的关键是理解五个小正方形的面积的和就是拼成的正方形的面积．

1.满足下列条件的数a不是有理数的是()A．2a+5=8 B．a2=0.16C．a2=7 D．a2=92.下列说法：①有理数都是有限小数；②有限小数都是有理数；③有理数都是无限循环小数；④无限循环小数都是有理数．其中正确的有 ()A．①②B．①③C．②③ D．②④C

D

巩固练习

(1)如图，以直角三角形的斜边为边的正方形的面积是多少？(2)设该正方形的边长为b，则b应满足什么条件？b是有理数吗？解：b2=5.①因为22=4，32=9，4＜5＜9，所以b不可能是整数.②没有两个相同的分数相乘得5，故b不可能是分数.③因为没有一个整数或分数的平方为5，所以b不是有理数.探究新知知识点

2利用勾股定理发现非有理数解：两条直角边分别为1和2，根据勾股定理，得12+22=5，

所以正方形的面积是5.新知探究※问题2面积为2的正方形，其边长a为多少？(1)图中面积为2的正方形面积的范围是怎样的？1<2<4(2)由此可以推测它的边长a范围是多少？1<a<2由此可以发现，a是一个小数，那么它的小数部分是怎样的呢？这需要我们确定该数的十分位、百分位、千分位...探究2.无限不循环小数的概念面积为2的正方形的边长a究竟是多少呢?2a12412平方a满足等式a2=2的a既不是整数，也不是分数，所以a不是有理数。1＜a＜2a=1.a1.9622.251.41.5平方41.4＜a＜1.5a1.988122.01641.411.42平方1.41＜a＜1.42142…新知探究用以上方法继续计算下去，得到边长和面积的范围如图.结合刚才的计算过程，回答下列问题：（1）通过以上的结果，你认为该数还可以算下去吗？a可能是有限小数吗？a的小数部分是否循环？还可以算下去；但它一定不是有限小数，且小数部分不循环（2）a是整数吗？是分数吗？为什么？a不是整数（1<a<2），也不是分数（分数的平方不可能是2）综上可得，像a这样的数的小数部分一定是无限且不循环的，像这样的数就叫无限不循环小数。探究2.无限不循环小数的概念面积为5的正方形的边长b的值是多少?b可能是有限小数吗?与同伴进行交流。事实上，a=1.414

213

56…，b=2.236

067

97…,它们都不是有理数，都是无限不循环小数。

像上面讨论的数a，b都不是有理数，而是另一类数—无理数.早在公元前，古希腊数学家毕达哥拉斯认为万物皆“数”，即“宇宙间的一切现象都能归结为整数或整数之比”.但是这个学派中的一个叫希伯索斯的成员却发现边长为1的正方形的对角线的长不能用整数或整数之比来表示，这个发现动摇了毕达哥拉斯学派的信条，据说为此希伯索斯被投进了大海，他为真理而献出了宝贵的生命，但真理是不可战胜的，后来古希腊人终于正视了希伯索斯的发现.也就是a2=2中的a不是有理数.探究新知用生命换来的新数归纳总结

如图，等边三角形ABC的边长为2，高为h，h可能是有理数吗？解：由等边三角形的性质可知BD=1，在Rt△ABD中，由勾股定理得h2=22-12=3.h不可能是整数，也不可能是分数.所以h不可能是有理数。随堂练习

例如图，在△ABC中，CD⊥AB，垂足为D，AC=6，AD=5，问：CD可能是整数吗？可能是分数吗？可能是有理数吗？解：在Rt△ACD中，AC为斜边，AC=6，AD=5，所以CD2=AC2-AD2=11.因为11是质数，大于1的整数的平方都是合数，所以11不能写成一个整数的平方，所以CD不可能是整数．因为最简分数的平方仍是分数，所以CD不可能是分数．所以CD不可能是有理数．素养考点

利用勾股定理识别非有理数探究新知

下列正方形的边长不是有理数的是（）A.面积为2.56的正方形B.面积为36的正方形C.面积为

的正方形D.面积为10的正方形

D连接中考

1.满足下列条件的数不是有理数的是（）C2.两直角边分别是3和5的直角三角形的斜边长是（

）A.整数B.分数C.有理数D.非有理数DC.a2=3D.2a2=18B.a2=0.36A.2a+5=8课堂检测

3.如果方程x2=m的解是有理数，则数m不能取下列四个数中的（）A.1B.4C.0.25D.0.54.把边长是1的两个正方形纸片重新剪裁成一个大的正方形，则大正方形的面积是______，它的边长_____有理数（填写“是”或“不是”）D

2

不是课堂检测

请你在方格纸上按照如下要求设计直角三角形．(所作三角形的各个顶点均在格点上)(1)使它的一边为有理数，另两边边长不是有理数；(2)使它的三边边长都是有理数．课堂检测

解：(1)如图1所示．(2)如图2所示．图1

图2

课堂检测

在下列4×4的网格中，每个小正方形的边长都为1，请在每一个图中分别画出一条线段，且它们的长度均表示不等的非有理数．课堂检测

AB2=2,2不能写成一个整数或分数的平方，所以AB表示的数是非有理数．CD