高考数学一轮复习 重难点09球的切、接问题及截面、翻折问题（6种考法）（原卷版）

重难点09球的切、接问题及截面、翻折问题（6种考法）【目录】考法1：正方体（或长方体）的切、接球考法2：柱体的切、接球考法3：锥体的切、接球考法4：台体的切、接球考法5：截面问题考法6：翻折问题二、命题规律与备考策略二、命题规律与备考策略一、外接球题型归类：（1）三线垂直图形计算公式：三棱锥三线垂直还原成长方体（2）由长方体（正方体）图形的特殊性质，可以构造如下三种模型：①三棱锥对棱相等．，，，是三个对棱棱长．②等边三角形与等腰直角三角形连接．③投影为矩形．（3）线面垂直型：线垂直一个底面（底面是任意多边形，实际是三角形或者四边形（少），它的外接圆半径是r，满足正弦定理）．计算公式；其中（4）面面垂直型一般情况下，俩面是特殊三角形。垂面型，隐藏很深的线面垂直型（5）垂线相交型等边或者直角：等边三角形中心（外心）做面垂线，必过球心．直角三角形斜边中点（外心）做面垂线，必过球心．许多情况下，会和二面角结合．二、求多面体的外接球的半径，常用方法有：（1）三条棱两两互相垂直时，可恢复为长方体，利用长方体的体对角线为外接球的直径，求出球的半径；（2）直棱柱的外接球可利用棱柱的上下底面平行，借助球的对称性，球心为上下底面外接圆的圆心连线的中点，再根据勾股定理求球的半径；（3）如果涉及几何体有两个面相交，可过两个面的外心分别作两个面的垂线，垂线的交点为几何体的球心.三、立体几何中截面的处理思路：（1）直接连接法：有两点在几何体的同一个平面上，连接该两点即为几何体与截面的交线，找截面就是找交线的过程；（2）作平行线法：过直线与直线外一点作截面，若直线所在的平面与点所在的平面平行，可以通过过点找直线的平行线找到几何体与截面的交线；（3）作延长线找交点法：若直线相交但在立体几何中未体现，可通过作延长线的方法先找到交点，然后借助交点找到截面形成的交线；（4）辅助平面法：若三个点两两都不在一个侧面或者底面中，则在作截面时需要作一个辅助平面.三、题型三、题型方法1．（多选）（2023·江苏徐州·校考模拟预测）棱长为1的正方体中，点为线段上一点（不包括端点），点为上的动点，下列结论成立的有（

）A．过的截面截正方体所得的截面多边形为等腰梯形B．的最小值为C．当点为线段中点时，三棱锥的外接球的半径为D．两点间的最短距离为考法2：柱体的切、接球2．（2023•吉安一模）已知正三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面边长，其外接球的表面积为20π，D是B1C1的中点，点P是线段A1D上的动点，过BC且与AP垂直的截面α与AP交于点E，则三棱锥A﹣BCE的体积的最大值为（）A． B． C． D．考法3：锥体的切、接球3．（2022•新高考Ⅰ）已知正四棱锥的侧棱长为l，其各顶点都在同一球面上．若该球的体积为36π，且3≤l≤3，则该正四棱锥体积的取值范围是（）A．[18，] B．[，] C．[，] D．[18，27]4．（2023•新罗区校级三模）已知正六棱锥P﹣ABCDEF的各顶点都在球O的球面上，球心O在该正六棱锥的内部，若球O的体积为36π，则该正六棱锥体积的最大值为（）A． B． C． D．5．（2023•雅安三模）已知圆锥的高为3，底面半径为，若该圆锥的顶点与底面的圆周都在同一个球面上，则这个球的体积与圆锥的体积的比值为（）A． B． C． D．6．（2023·贵州毕节·校考模拟预测）已知正四棱锥的各顶点都在球的球面上，，由三点确定的平面与侧棱交于点，且，则球的表面积为（

）A． B． C． D．7．（2023·云南昭通·校联考模拟预测）已知圆锥PO的高及底面圆直径均为2，若圆锥PO在球内，则球的体积的最小值为（

）A． B． C． D．8．（2023·海南·海南中学校考模拟预测）如图，三棱锥中，的面积为8，则三棱锥外接球的表面积的最小值为（

）

A． B． C． D．9．（2023·浙江·校联考模拟预测）在三棱锥中，，，二面角的平面角为，则三棱锥外接球表面积的最小值为（

）A． B．C． D．10．（2023·云南·云南师大附中校考模拟预测）如图所示，在圆锥内放入两个大小不同的球，，使得它们分别与圆锥的侧面和平面都相切，平面分别与球，相切于点，.数学家GerminalDandelin利用这个模型证明了平面与圆锥侧面的交线为椭圆，，为此椭圆的两个焦点，这两个球也被称为Dandelin双球.若球，的半径分别为6和3，球心距离，则此椭圆的长轴长为.

11．（2023·宁夏石嘴山·统考一模）在棱长为6的正方体中，，分别为，的中点，则三棱锥外接球的表面积为．12．（多选）（2023·湖北武汉·华中师大一附中模拟）正四棱柱，底面边长为，侧棱长为2，则下列结论正确的（

）A．点到平面的距离是．B．四棱锥内切球的表面积为．C．平面与平面垂直．D．点为线段上的两点，且，点为面内的点，若，则点的轨迹长为．考法4：台体的切、接球13．（2022•新高考Ⅱ）已知正三棱台的高为1，上、下底面边长分别为3和4，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（）A．100π B．128π C．144π D．192π14．（2023·江苏徐州·校考模拟预测）圆台上底半径为，下底半径为，此圆台内接于表面积为的球，点是上底面圆周上一动点，点在下底面上的射影为，在下底面上过点的直线交底面圆周于点，点是下底面圆周上一动点，则三棱锥体积的最大值为．考法5：截面问题15．（2023·江西赣州·统考模拟预测）在直四棱柱中，底面ABCD是边长为2的正方形，侧棱，E是BC的中点，F是棱上的点，且，过作平面，使得平面平面AEF，则平面截直四棱柱，所得截面图形的面积为（

）A． B． C．3 D．16．（2023·陕西西安·陕西师大附中校考模拟预测）截角四面体是一种半正八面体，可由四面体经过适当的截角，即截去四面体的四个顶点所产生的多面体.如图所示，将棱长为的正四面体沿棱的三等分点作平行于底面的截面，得到所有棱长均为a的截角四面体，现给出下列四个命题：①二面角的余弦值为；②该截角四面体的体积为；③该截角四面体的外接球表面积为④该截角四面体的表面积为，则其中正确命题的个数为（

）A． B． C． D．17．（2024·四川成都·石室中学校考模拟预测）在正方体中，分别为棱的中点，动点平面，，则下列说法错误的是（

）A．的外接球面积为 B．直线平面C．正方体被平面截得的截面为正六边形 D．点的轨迹长度为18．（2023·福建福州·福建省福州第一中学校考模拟预测）在矩形中，，将沿对角线翻折至的位置，使得平面平面，则在三棱锥的外接球中，以为直径的截面到球心的距离为（

）A． B． C． D．19．（多选）（2023·河北承德·统考模拟预测）如图，正六棱柱的各棱长均为1，下列选项正确的有（

）A．过A，，三点的平面截该六棱柱的截面面积为B．过A，，三点的平面将该六棱柱分割成体积相等的两部分C．以A为球心，1为半径的球面与该六棱柱的各面的交线总长为D．以A为球心，2为半径的球面与该六棱柱的各面的交线总长为20．（多选）（2023·云南曲靖·校考三模）如图，棱长为2的正方体中，点分别是棱的中点，则（

）

A．直线为异面直线B．平面C．过点的平面截正方体的截面面积为D．点是侧面内一点（含边界），平面，则的取值范围是21．（2023·云南·云南师大附中校考模拟预测）如图，棱长为的正方体中，点、满足，，其中、，点是正方体表面上一动点，下列说法正确的是（

）

A．当时，平面B．当时，若平面，则的最大值为C．当时，若，则点的轨迹长度为D．过、、三点作正方体的截面，截面图形可以为矩形22．（多选）（2023·江苏徐州·校考模拟预测）棱长为1的正方体中，点为线段上一点（不包括端点），点为上的动点，下列结论成立的有（

）A．过的截面截正方体所得的截面多边形为等腰梯形B．的最小值为C．当点为线段中点时，三棱锥的外接球的半径为D．两点间的最短距离为23．（多选）（2023·福建泉州·泉州五中校考模拟预测）如图，棱长为2的正四面体中，，分别为棱，的中点，为线段的中点，球的表面正好经过点，则下列结论中正确的是（

）

A．平面B．球的体积为C．球被平面截得的截面面积为D．过点与直线，所成角均为的直线可作4条24．（多选）（2023·河北·校联考三模）在棱长为1的正方体的侧面内（包含边界）有一点，则下列说法正确的是（

）A．若点到直线与到直线距离之比为，则点的轨迹为双曲线的一部分B．若点到直线与到直线距离之比为，则点的轨迹为抛物线的一部分C．过点三点作正方体的截面，则截面图形是平行四边形D．三棱锥体积的最大值为25．（多选）（2023·广东·校联考模拟预测）如图，在棱长为1的正方体中，，分别是的中点，为线段上的动点，则下列结论正确的是（

）

A．存在点，使得与异面B．不存在点，使得C．直线与平面所成角的正切值的最小值为D．过三点的平面截正方体所得截面面积的最大值为26．（多选）（2023·福建泉州·校联考模拟预测）如图圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等，，为圆柱上下底面的圆心，O为球心，EF为底面圆的一条直径，若球的半径，则（

）A．球与圆柱的体积之比为B．四面体CDEF的体积的取值范围为C．平面DEF截得球的截面面积最小值为D．若P为球面和圆柱侧面的交线上一点，则的取值范围为27．（2023·广东江门·统考一模）勒洛FranzReuleaux（1829～1905），德国机械工程专家，机构运动学的创始人.他所著的《理论运动学》对机械元件的运动过程进行了系统的分析，成为机械工程方面的名著.勒洛四面体是一个非常神奇的“四面体”，它能在两个平行平面间自由转动，并且始终保持与两平面都接触，因此它能像球一样来回滚动.勒洛四面体是以正四面体的四个顶点为球心，以正四面体的棱长为半径的四个球的相交部分围成的几何体.如图所示，设正四面体的棱长为2，则下列说法正确的是（

）A．勒洛四面体能够容纳的最大球的半径为B．勒洛四面体被平面截得的截面面积是C．勒洛四面体表面上交线的长度为D．勒洛四面体表面上任意两点间的距离可能大于228．（多选）（2023·广东潮州·统考二模）在正方体中，，点P满足，其中，则下列结论正确的是（

）A．当平面时，与所成夹角可能为B．当时，的最小值为C．若与平面所成角为，则点P的轨迹长度为D．当时，正方体经过点､P､C的截面面积的取值范围为29．（多选）（2022·湖北武汉·武汉二中校考模拟预测）勒洛四面体是一个非常神奇的“四面体”，它能在两个平行平面间自由转动，并且始终保持与两平面都接触，因此它能像球一样来回滚动.勒洛四面体是以正四面体的四个顶点为球心，以正四面体的棱长为半径的四个球的公共部分，如图所示，若正四面体ABCD的棱长为a，则（

）A．能够容纳勒洛四面体的正方体的棱长的最小值为aB．勒洛四面体能够容纳的最大球的半径为C．勒洛四面体的截面面积的最大值为D．勒洛四面体的体积30．（2022·湖南怀化·统考一模）如下图，正方体中，M为上的动点，平面，则下面说法正确的是（

）A．直线AB与平面所成角的正弦值范围为B．点M与点重合时，平面截正方体所得的截面，其面积越大，周长就越大C．点M为的中点时，平面经过点B，则平面截正方体所得截面图形是等腰梯形D．已知N为中点，当的和最小时，M为的三等分点考法6：翻折问题31．（2023·江西赣州·统考模拟预测）如图，正三角形中，、分别为边、的中点，其中，把沿着翻折至的位置，则当四棱锥的体积最大时，四棱锥外接球的表面积为.

32．（2023·江西赣州·统考模拟预测）如图，正三角形ABC中，D，E分别为边AB，AC的中点，其中，把沿着DE翻折至的位置，得到四棱锥，则当四棱锥的体积最大时，四棱锥外接球的球心到平面的距离为.

33．（2023·陕西西安·陕西师大附中校考模拟预测）在直四棱柱中，，，M，N在棱，上，且，，过的平面交于G，则截面