内蒙古乌海市海南区2026届九年级数学第一学期期末预测试题含解析

内蒙古乌海市海南区2026届九年级数学第一学期期末预测试题注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题(每小题3分,共30分)1．某班学生做“用频率估计概率”的实验时，给出的某一结果出现的频率折线图，则符合这一结果的实验可能是（）A．抛一枚硬币，出现正面朝上B．从标有1，2，3，4，5，6的六张卡片中任抽一张，出现偶数C．从一个装有6个红球和3个黑球的袋子中任取一球，取到的是黑球D．一副去掉大小王的扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃2．下列说法中错误的是（）A．成中心对称的两个图形全等B．成中心对称的两个图形中，对称点的连线被对称轴平分C．中心对称图形的对称中心是对称点连线的中心D．中心对称图形绕对称中心旋转180°后，都能与自身重合3．如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，已知∠BCD=130°，则∠BOD=（）A．B．C．D．4．由两个可以自由转动的转盘、每个转盘被分成如图所示的几个扇形、游戏者同时转动两个转盘，如果一个转盘转出了红色，另一转盘转出了蓝色，游戏者就配成了紫色下列说法正确的是（）A．两个转盘转出蓝色的概率一样大B．如果A转盘转出了蓝色，那么B转盘转出蓝色的可能性变小了C．先转动A转盘再转动B转盘和同时转动两个转盘，游戏者配成紫色的概率不同D．游戏者配成紫色的概率为5．用配方法解方程x2+2x﹣1＝0时，配方结果正确的是（）A．（x+2）2＝2 B．（x+1）2＝2 C．（x+2）2＝3 D．（x+1）2＝36．如图，在菱形中，已知，，以为直径的与菱形相交，则图中阴影部分的面积为（）A． B． C． D．7．已知二次函数（为常数），当时，函数值的最小值为，则的值为（）A． B． C． D．8．若点（﹣2，y1），（﹣1，y2），（3，y3）在双曲线y=（k＜0）上，则y1，y2，y3的大小关系是（）A．y1＜y2＜y3 B．y3＜y2＜y1 C．y2＜y1＜y3 D．y3＜y1＜y29．如图所示为两把按不同比例尺进行刻度的直尺，每把直尺的刻度都是均匀的，已知两把直尺在刻度10处是对齐的，且上面的直尺在刻度15处与下面的直尺在刻度18处也刚好对齐，则上面直尺的刻度16与下面直尺对应的刻度是（）A．19.4 B．19.5 C．19.6 D．19.710．下列事件是必然事件的是()A．打开电视播放建国70周年国庆阅兵式B．任意翻开初中数学书一页，内容是实数练习C．去领奖的三位同学中，其中有两位性别相同D．食用保健品后长生不老二、填空题(每小题3分,共24分)11．将二次函数化成的形式，则__________．12．光线从空气射入水中会发生折射现象，发生折射时，满足的折射定律如图①所示：折射率（代表入射角，代表折射角）.小明为了观察光线的折射现象，设计了图②所示的实验；通过细管可以看见水底的物块，但从细管穿过的直铁丝，却碰不上物块，图③是实验的示意图，点A,C,B在同一直线上，测得，则光线从空射入水中的折射率n等于________.13．在一块边长为30cm的正方形飞镖游戏板上，有一个半径为10cm的圆形阴影区域，则飞镖落在阴影区域内的概率为__________．14．在一个不透明的盒子里装有5个黑色棋子和若干白色棋子，每个棋子除颜色外都相同，任意摸出一个棋子，摸到白色棋子的概率是，则白色棋子的个数为_____．15．在Rt△ABC中，∠C=90°，如果AB=6，，那么AC=_____．16．写出经过点（0，0），（﹣2，0）的一个二次函数的解析式_____（写一个即可）．17．已知二次函数是常数)，当时，函数有最大值，则的值为_____．18．超市经销一种水果，每千克盈利10元，每天销售500千克，经市场调查，若每千克涨价1元，日销售量减少20千克，现超市要保证每天盈利6000元，每千克应涨价为______元．三、解答题(共66分)19．（10分）综合与探究：三角形旋转中的数学问题．实验与操作：

Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠ACB＝30°．将Rt△ABC绕点A按顺时针方向旋转得到Rt△AB′C′（点B′，C′分别是点B，C的对应点）．设旋转角为α（0°＜α＜180°），旋转过程中直线B′B和线段CC′相交于点D．猜想与证明：（1）如图1，当AC′经过点B时，探究下列问题：①此时，旋转角α的度数为°；②判断此时四边形AB′DC的形状，并证明你的猜想；（2）如图2，当旋转角α＝90°时，求证：CD＝C′D；（3）如图3，当旋转角α在0°＜α＜180°范围内时，连接AD，直接写出线段AD与C之间的位置关系（不必证明）．20．（6分）定义：如果三角形的两个内角与满足，那么称这样的三角形为“类直角三角形”．尝试运用（1）如图1，在中，，，，是的平分线．①证明是“类直角三角形”；②试问在边上是否存在点（异于点），使得也是“类直角三角形”？若存在，请求出的长；若不存在，请说明理由．类比拓展（2）如图2，内接于，直径，弦，点是弧上一动点（包括端点，），延长至点，连结，且，当是“类直角三角形”时，求的长．21．（6分）计算：cos30°•tan60°+4sin30°．22．（8分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象相交于两点，过点作轴于点，，，点的坐标为．（1）求一次函数和反比例函数的表达式；（2）求的面积；（3）是轴上一点，且是等腰三角形，请直接写出所有符合条件的点坐标．23．（8分）如图，在中，,点从点出发,以的速度向点移动，点从点出发，以的速度向点移动．如果两点同时出发，经过几秒后的面积等于?24．（8分）如图，是半圆的直径，是半圆上的点，且于点，连接，若．求半圆的半径长;求的长．25．（10分）我们规定：方程的变形方程为．例如：方程的变形方程为．（1）直接写出方程的变形方程；（2）若方程的变形方程有两个不相等的实数根，求的取值范围；（3）若方程的变形方程为，直接写出的值．26．（10分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB为直径，∠BAC的平分线交⊙O于点D，过点D作DE⊥AC分别交AC的延长线于点E，交AB的延长线于点F．（1）求证：EF是⊙O的切线；（2）若AC＝8，CE＝4，求弧BD的长．（结果保留π）

参考答案一、选择题(每小题3分,共30分)1、C【分析】根据统计图可知，试验结果在0.33附近波动，即其概率P≈0.33，计算四个选项的频率，约为0.33者即为正确答案．【详解】解：A、抛一枚硬币，出现正面朝上的频率是＝0.5，故本选项错误；B、从标有1，2，3，4，5，6的六张卡片中任抽一张，出现偶数频率约为：＝＝0.5，故本选项错误；C、从一个装有6个红球和3个黑球的袋子中任取一球，取到的是黑球概率是＝≈0.33，故本选项正确；D、一副去掉大小王的扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃的概率是＝0.25，故本选项错误；故选：C．本题考查了利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：频率=所求情况数与总情况数之比．同时此题在解答中要用到概率公式．2、B【解析】试题分析：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形与另一个图形重合，那么就说明这两个图形的形状关于这个点成中心对称中心对称，中心对称图形的对称中心是对称点连线的交点，根据中心对称图形的定义和性质可知A、C、D正确，B错误．故选B．考点：中心对称．3、C【解析】根据圆内接四边形的性质求出∠A的度数，再根据圆周角定理求解即可.【详解】∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∠BCD=130°，∴∠A+∠BCD=180°，∴∠A=50°，由圆周角定理得，2∠A=∠BOD=100°，故选C．本题考查了圆内接四边形的性质，圆周角定理，熟练掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．4、D【解析】A、A盘转出蓝色的概率为、B盘转出蓝色的概率为，此选项错误；B、如果A转盘转出了蓝色，那么B转盘转出蓝色的可能性不变，此选项错误；C、由于A、B两个转盘是相互独立的，先转动A转盘再转动B转盘和同时转动两个转盘，游戏者配成紫色的概率相同，此选项错误；D、画树状图如下：由于共有6种等可能结果，而出现红色和蓝色的只有1种，所以游戏者配成紫色的概率为，故选D．5、B【分析】把常数项移到方程右边，再把方程两边加上1，然后把方程作边写成完全平方形式即可．【详解】解：∵x1+1x﹣1＝0，∴x1+1x+1＝1，∴（x+1）1＝1．故选B．本题考查了解一元二次方程-配方法：将一元二次方程配成（x+m）1=n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．6、D【分析】根据菱形与的圆的对称性到△AOE为等边三角形，故可利用扇形AOE的面积减去△AOE的面积得到需要割补的面积，再利用圆的面积减去4倍的需要割去的面积即可求解.【详解】∵菱形中，已知，，连接AO,BO，∴∠ABO=30°，∠AOB=90°，∴∠BAO=60°，又AO=EO,∴△AOE为等边三角形,故AE=EO=AB=2∴r=2∴S扇形AOE==S△AOE===∴图中阴影部分的面积=×22-4（-）=故选D.本题考查的是扇形面积计算、菱形的性质，掌握扇形面积公式是解题的关键．7、B【分析】函数配方后得，抛物线开口向上，在时，取最小值为-3，列方程求解可得．【详解】∵，∴抛物线开口向上，且对称轴为，∴在时，有最小值-3，即：，解得，故选：B．本题考查了二次函数的最值，熟练掌握二次函数的图象及增减性是解题的关键．8、D【解析】分析：直接利用反比例函数的性质分析得出答案.详解：∵点（﹣1，y1），（﹣1，y1），（3，y3）在双曲线y=（k＜0）上，∴（﹣1，y1），（﹣1，y1）分布在第二象限，（3，y3）在第四象限，每个象限内，y随x的增大而增大，∴y3＜y1＜y1．故选：D．点睛：此题主要考查了反比例函数的性质，正确掌握反比例函数增减性是解题关键．9、C【分析】根据两把直尺在刻度10处是对齐的及上面直尺的刻度11与下面直尺对应的刻度是11.6，得出上面直尺的10个小刻度，对应下面直尺的16个小刻度，进而判断出上面直尺的刻度16与下面直尺对应的刻度即可．【详解】解：由于两把直尺在刻度10处是对齐的，观察图可知上面直尺的刻度11与下面直尺对应的刻度是11.6，即上面直尺的10个小刻度，对应下面直尺的16个小刻度，且上面的直尺在刻度15处与下面的直尺在刻度18处也刚好对齐，因此上面直尺的刻度16与下面直尺对应的刻度是18+1.6=19.6，故答案为C本题考查了学生对图形的观察能力，通过图形得出上面直尺的10个小刻度，对应下面直尺的16个小刻度是解题的关键．10、C【分析】根据必然事件指在一定条件下，一定发生的事件；不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件；不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，对每一项进行分析即可．【详解】A.打开电视播放建国70周年国庆阅兵式是随机事件，故不符合题意；B.任意翻开初中数学书一页，内容是实数练习是随机事件，故不符合题意；C.去领奖的三位同学中，其中有两位性别相同是必然事件，符合题意；D.食用保健品后长生不老是不可能事件，故不符合题意；故选C.本题考查的是事件的分类，事件分为确定事件和不确定事件（随机事件），确定事件又分为必然事件和不可能事件．二、填空题(每小题3分,共24分)11、【分析】利用配方法，加上一次项系数的一半的平方来凑完全平方式，即可把一般式转化为顶点式．【详解】解：，，．故答案为：．本题考查了二次函数的三种形式：一般式：，顶点式：；两根式：．正确利用配方法把一般式化为顶点式是解题的关键．12、【分析】过D作GH⊥AB于点H，利用勾股定理求出BD和CD，再分别求出入射角∠PDG和折射角∠CDH的正弦值，根据公式可得到折射率.【详解】如图，过D作GH⊥AB于点H，在Rt△BDF中，BF=12cm，DF=16cm∴BD=cm∵四边形BFDH为矩形，∴BH=DF=16cm，DH=BF=12cm又∵BC=7cm∴CH=BH-BC=9cm∴CD=cm∵入射角为∠PDG，sin∠PDG=sin∠BDH=折射角为∠CDH，sin∠CDH=∴折射率故答案为：.本题主要考查了勾股定理和求正弦值，解题的关键是找出图中的入射角与折射角，并计算出正弦值.13、【分析】分别计算半径为10cm的圆的面积和边长为30cm的正方形ABCD的面积，然后计算即可求出飞镖落在圆内的概率；【详解】解：（1）∵半径为10cm的圆的面积=π•102=100πcm2，

边长为30cm的正方形ABCD的面积=302=900cm2，

∴P（飞镖落在圆内）=，故答案为：.本题考查了几何概率，掌握概率=相应的面积与总面积之比是解题的关键．14、1.【分析】设白色棋子的个数为x个，根据概率公式列出算式，求出x的值即可得出答案．【详解】解：设白色棋子的个数为x个，根据题意得：＝，解得：x＝1，答：白色棋子的个数为1个；故答案为：1．此题主要考查概率的应用，解题的关键是根据题意列出分式方程进行求解.15、2【解析】如图所示，在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=6,cosA=，∴cosA=，则AC=AB=×6=2，故答案为2.16、y＝x2+2x（答案不唯一）．【解析】设此二次函数的解析式为y＝ax（x+2），令a＝1即可．【详解】∵抛物线过点（0，0），（﹣2，0），∴可设此二次函数的解析式为y＝ax（x+2），把a＝1代入，得y＝x2+2x．故答案为y＝x2+2x（答案不唯一）．本题考查的是待定系数法求二次函数解析式，此题属开放性题目，答案不唯一．17、或【分析】由题意，二次函数的对称轴为，且开口向下，则可分为三种情况进行分析，分别求出m的值，即可得到答案.【详解】解：∵，∴对称轴为，且开口向下，∵当时，函数有最大值，①当时，抛物线在处取到最大值，∴，解得：或（舍去）；②当时，函数有最大值为1；不符合题意；③当时，抛物线在处取到最大值，∴，解得：或（舍去）；∴m的值为：或；故答案为：或.本题考查了二次函数的性质，以及二次函数的最值，解题的关键是掌握二次函数的性质，确定对称轴的位置，进行分类讨论.18、5或1【分析】设每千克水果应涨价x元，得出日销售量将减少20x千克，再由盈利额＝每千克盈利×日销售量，依题意得方程求解即可．【详解】解：设每千克水果应涨价x元，依题意得方程：（500－20x）（1＋x）＝6000，整理，得x2－15x＋50＝0，解这个方程，得x1＝5，x2＝1．答：每千克水果应涨价5元或1元．故答案为：5或1．本题考查了一元二次方程的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程．三、解答题(共66分)19、（1）①60；②四边形AB′DC是平行四边形，证明见解析．（2）证明见解析；（3）【分析】（1）①根据矩形的性质、旋转的性质、等边三角形的判定方法解题；②根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形解题；（2）过点作的垂线，交于点E，由旋转的性质得到对应边、对应角相等，进而证明△CDB≌△，即可解题；（3）先证明，再由相似三角形的性质解题，进而证明即可证明.【详解】解：（1）①60；②四边形AB′DC是平行四边形．证明：∵∠ABC=90°，∠ACB=30°，∴∠CAB=90°-30°=60°．∵Rt△AB′C′是由Rt△ABC绕点A顺时针旋转得到的，∴∠C′AB′=∠CAB=60°，，．与都是等边三角形．∴∠ACC′=∠AB′B=60°．∵∠CAB′=∠CAB+∠C′AB′=120°，∴∠ACC′+∠CAB′=180°，∠CAB′+∠ABB′=180°．∴AB′//CD，AC//B′D．∴四边形AB′DC是平行四边形．（2）证明：过点作的垂线，交于点E，∴∠B′C′E=90°．∵Rt△AB′C′是由Rt△ABC绕点A顺时针旋转90°得到的，∴∠CAC′=∠BAB′=∠B′C′E=90°，，．∴∠AB=∠AB=45°，BC∥AB′∥C′E∵∠AC=∠ABC=90°，∴∠B=∠CBE=45°．∴∠=90°－45°=45°=∠B．∴．在△CBD和△ED中，∴△CDB≌△DE．∴CD=D．（3）AD⊥C,理由如下：设AC与D交于点O，连接AD，∴∠ADC′=180°-∠DAO-∠AC′C=180°-∠OB′C′-∠AB′B，，

本题考查几何综合，其中涉及三角形的旋转、等边三角形的判定与性质、平行线的判定、平行四边形的判定、全等三角形的判定等知识，综合性较强，是常见考点，掌握相关知识、学会作适当辅助线是解题关键.20、（1）①证明见解析，②存在，；（2）或．【分析】（1）①证明∠A+2∠ABD=90°即可解决问题．

②如图1中，假设在AC边设上存在点E（异于点D），使得△ABE是“类直角三角形”．证明△ABC∽△BEC，可得，由此构建方程即可解决问题．

（2）分两种情形：①如图2中，当∠ABC+2∠C=90°时，作点D关于直线AB的对称点F，连接FA，FB．则点F在⊙O上，且∠DBF=∠DOA．

②如图3中，由①可知，点C，A，F共线，当点E与D共线时，由对称性可知，BA平分∠FBC，可证∠C+2∠ABC=90°，利用相似三角形的性质构建方程即可解决问题．【详解】（1）①证明：如图1中，∵是的角平分线，∴，∵，∴，∴，∴为“类直角三角形”．②如图1中，假设在边设上存在点（异于点），使得是“类直角三角形”．在中，∵，，∴，∵，∴，∵∴，∴，∴，∴，（2）∵是直径，∴，∵，，∴，①如图2中，当时，作点关于直线的对称点，连接，．则点在上，且，∵，且，∴，∴，，共线，∵∴，∴，∴，即∴．②如图3中，由①可知，点，，共线，当点与共线时，由对称性可知，平分，∴，∵，，∴，∴，即，∴，且中解得综上所述，当是“类直角三角形”时，的长为或．本题考查了相似三角形的判定和性质，“类直角三角形”的定义等知识，解题的关键是理解题意，学会用分类讨论的思想思考问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题．21、．【分析】将特殊角的三角函数值代入求解．【详解】原式＝×+4×，＝+2，＝．本题考查了特殊角的三角函数值，解答本题的关键是掌握几个特殊角的三角函数值．22、（1），；（2）9；（3）点坐标为（0，5）或（0，-5）或（0，8）或【分析】（1）先根据勾股定理求出OD=3，AD=4，得出点A（3，4），进而求出反比例函数解析式，再求出点B坐标，最后用待定系数法求出直线AB解析式；（2）求出直线AB与y轴的交点坐标，再根据解答即可；（3）设出点P坐标，进而表示出OP，AP，OA，利用等腰三角形的两边相等建立方程求解即可得出结论．【详解】（1）∵，∴设，则，，∴，∴，，∴点的坐标为（3，4），∵过点，∴，∴，当时，，∴点坐标为（-6，-2），∵直线过，∴解得∴直线解析式为．（2）如图，记直线与轴交于点，对于，当时，，∴点坐标为（0，2），∴．（3）设点P（0，m），∵A（3，4），O（0，0），∴OA=5，OP=|m|，AP=，∵△AOP是等腰三角形，∴①当OA=OP时，∴|m|=5，∴m=±5，∴P（0，5）或（0，-5），②当OA=AP时，∴5=，∴m=0（舍）或m=8，∴P（0，8），③OP=AP时，∴|m|=，∴m=，∴P（0，），即：当P点坐标为（0，8），（0，5），（0，-5）或（0，）时，△AOP是等腰三角形．此题是反比例函数综合题，主要考查了勾股定理，待定系数法，等腰三角形的性质，用方程的思想解决问题是解本题的关键．23、经过秒后的面积等于【分析】首先构建直角三角形，求出各边长，然后利用面积构建一元二次方程，求解即可.【详解】过点作于，则，如图所示：设经过秒后的面积等于，则．根据题意，．当时，，不合题意舍去，取．答：经过秒后的面积等于.此题主要考查三角形中的动点问题，解题关键是利用面积构建一元二次方程.24、半圆的半径为；【分析】（1）根据垂径定理的推论得到OD⊥AC，AE=AC，设圆的半径为r，根据勾股定理列出方程，解方程即可；（2）由题