（2021-2025）5年高考1年模拟数学真题分类汇编专题06 数列（天津专用）（解析版）

五年（2021-2025）高考真题分类汇编PAGEPAGE1专题06数列考点五年考情（2021-2025）命题趋势考点1数列基本量的计算（5年2考）2025天津卷：绝对值数列求和2023天津卷：等比数列通项公式的基本量计算利用等比数列的通项公式求数列中的项；1.数列在高考的考查主要包含了，数列的基本量运算，主要包含了等差、等比的通项与求和运算。2.数列的通项公式在高考中的考察主要包含了，等差等比数列的通项，前n项和与通项的关系，累加累成等。3.数列的求和在高考中的考察主要包含了，裂项相消法，错位相减法，分组求和法等.考点2数列通项（5年4考）2025天津卷：求通项公式2023天津卷：等差数列与等比数列综合应用等差数列通项公式的基本量计算求等差数列前n项和写出等比数列的通项公；2022天津卷：等差数列通项公式的基本量计算等比数列通项公式的基本量计算错位相减法求和分组(并项)法求和；2021天津卷：等差数列前n项和的基本量计算由定义判定等比数列错位相减法求和数列不等式恒成立问题；考点3数列求和（5年5考）2025天津卷：错位相减求和2024天津卷：由递推数列研究数列的有关性质等比数列通项公式的基本量计算求等比数列前n项和裂项相消法求；2023天津卷：等差数列与等比数列综合应用等差数列通项公式的基本量计算求等差数列前n项和写出等比数列的通项公；2022天津卷：等差数列通项公式的基本量计算等比数列通项公式的基本量计算错位相减法求和分组(并项)法求和；2021天津卷：等差数列前n项和的基本量计算由定义判定等比数列错位相减法求和数列不等式恒成立问题；考点01数列基本量的计算1.（2025·天津·高考真题），则数列的前项和为（

）A．112 B．48 C．80 D．64【答案】C【解析】因为，所以当时，，当时，，经检验，满足上式，所以，令，，设数列的前n项和为，则数列的前项和为数列的前项和为.故选：C2.（2023·天津·高考真题）已知数列an的前n项和为Sn，若a1A．16 B．32 C．54 D．162【答案】C【解析】当n≥2,n∈N*时，an=2S当n=1时，a2所以数列an则a4=考点02数列通项3．（2024·天津·高考真题）已知数列an是公比大于0的等比数列．其前n项和为Sn．若(1)求数列an前n项和S(2)设bn=k,n=（ⅰ）当k≥2,n=ak+1时，求证：（ⅱ）求i=1S【解】（1）设等比数列an的公比为q>0因为a1=1,S可得1+q=q2-1，整理得q2-q-2=0所以Sn（2）（i）由（1）可知an=2当n=ak+1=2可知akbn-1可得bn-1当且仅当k=2时，等号成立，所以bn-1（ii）由（1）可知：Sn若n=1，则S1若n≥2，则ak+1当2k-1<i≤2k-1可得i=2所以i=1S且n=1，符合上式，综上所述：i=1S4.（2023·天津·高考真题）已知an是等差数列，a(1)求an的通项公式和i=(2)设bn是等比数列，且对任意的k∈N*，当2（Ⅰ）当k≥2时，求证：2k（Ⅱ）求bn的通项公式及前n【解】（1）由题意可得a2+a则数列an的通项公式为a求和得i==2=2（2）(Ⅰ)由题意可知，当2k-1≤n≤2取n=2k-1，则bk当2k-2≤n≤2取n=2k-1-1据此可得2k综上可得：2k(Ⅱ)由(Ⅰ)可知：2k-1<则数列bn的公比q满足2当k∈N*,k→+∞时，所以2k-1<b当k∈N*,k→+∞时，所以数列的通项公式为bn其前n项和为：Sn考点03数列求和5.（2025·天津·高考真题）已知数列是等差数列，是等比数列，．(1)求，的通项公式；(2)，，有，（i）求证：对任意实数，均有;（ii）求所有元素之和【解】（1）设数列的公差为d，数列公比为，则由题得，所以；（2）（i）证明：由（1）或，，当时，设，所以，所以，所以，为中的最大元素，此时恒成立，所以对，均有.（ii）法一：由（i）得，为中的最大元素，由题意可得中的所有元素由以下系列中所有元素组成：当均为1时：此时该系列元素只有即个；当中只有一个为0，其余均为1时：此时该系列的元素有共有个，则这个元素的和为；当中只有2个为0，其余均为1时：此时该系列的元素为共有个，则这个元素的和为；当中有个为0，其余均为1时：此时该系列的元素为共有个，则这个元素的和为；…当中有个为0，1个为1时：此时该系列的元素为共有个，则这个元素的和为；当均为0时：此时该系列的元素为即个，综上所述，中的所有元素之和为；法二：由（i）得，为中的最大元素，由题意可得，所以的所有的元素的和中各项出现的次数均为次，所以中的所有元素之和为.．6．（2022·天津·高考真题）设an是等差数列，bn是等比数列，且(1)求an与b(2)设an的前n项和为Sn，求证：(3)求k=12n【解】（1）设{an}公差为d，{bn由a2-b2=所以an（2）证明：因为bn+1=2b即证(Sn+1+即证an+1而an+1=S（3）因为[=(4k-1+4k-3)×2所以k=12n[=k=1设T所以Tn则4T作差得-3=(2-6n)所以Tn所以k=12n[a7．（2021·天津·高考真题）已知{an}是公差为2的等差数列，其前8项和为64．{（I）求{an}（II）记cn（i）证明{c（ii）证明k=1【解】（I）因为{a所以a1+a所以an设等比数列{bn}所以b3-b所以bn（II）（i）由题意，cn所以cn所以cn2-所以数列{c（ii）由题意知，an所以an所以k=1n设Tn则12两式相减得12所以Tn所以k=1n一、单选题1．（2025·天津红桥·一模）等比数列的前n项和为，且，，则（

）A．24 B．28 C．36 D．48【答案】B【解析】设公比为，则，所以，所以.故选：B2．（2025·天津河北·二模）设数列的前n项和，若，则（

）A．3059 B．2056 C．1033 D．520【答案】C【解析】由题设，则，所以，则又，则，所以是首项、公比均为的等比数列，则，所以，则.故选：C3．（2025·天津北辰·三模）已知等比数列的首项为1，公比为，则数列的前10项和为（

）A．15 B．35 C．45 D．55【答案】C【解析】等比数列的首项为1，公比为，，，，，且，是首项为，公差为的等差数列，数列的前10项和为.故选：C.4．（2025·天津·一模）已知是各项均为正数的等比数列，且，，成等差数列，则的值是（

）A． B． C．9 D．16【答案】A【解析】设正项等比数列的公比为，由，，成等差数列，可得，即，所以，解得（舍去）或，所以.故选：A5．（2025·天津·二模）已知是一个无穷数列，“”是“为递增数列”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】递增数列是指一个数列从第二项起，每一项都大于它的前一项，即.若是摆动数列，可能有，但是不是递增数列，则仅不能推出为递增数列，但为递增数列可以推出.所以“”是“为递增数列”的必要不充分条件.故选：B.6．（2025·天津和平·三模）定义新运算：，已知数列满足，，则（

）A．239 B．225 C．211 D．261【答案】C【解析】由可得，故累加可得，故，故选：C7．（2025·天津南开·二模）若数列满足，且则的前2025项的和为（

）．A．1350 B．1352 C．2025 D．2026【答案】B【解析】由题意可得，因为，所以，因为，所以，因为，所以，因为，所以，，所以数列从第二项起是以1，1，0为周期的数列，则.故选：B8．（2025·天津·一模）已知数列和的通项公式分别为，在与之间插入数列的前m项，构成新数列，即，…．记数列的前n项和为，则（

）A．30 B．4944 C．9876 D．14748【答案】B【解析】因为数列的通项公式为，所以数列为等差数列，所以数列的前项和为，数列的通项公式为，所以数列为等比数列，所以数列的前项和为，所以，，当时，.故选：B.9．（2025·天津河西·模拟预测）已知正项数列满足，且，则（

）A．27 B．30 C．33 D．36【答案】A【解析】当时，，可得，因①，可知时，②，用①-②得：，等式两边同乘，得到，即，即当时，数列是公差为3的等差数列，所以，又，所以，又因为，则整理得，即，因为数列是正项数列，所以，所以，所以故选：A10．（2025·天津武清·模拟预测）已知数列的通项公式为，其前n项和为，则数列的前2025项和为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】数列的通项公式为，其前n项和为，所以，则数列的前2025项和为.故选：D.二、填空题11．（2025·天津和平·一模）已知正项数列的前项和满足，则.【答案】【解析】由题知，即，因为，解得，时，，即，因为，解得，时，，即，即，因为，解得，同理可得，.12．（2025·天津·二模）数列的项是由1或2构成，且首项为1，在第个1和第个1之间有个2，即数列为：.记数列的前项和为，则：.【答案】【解析】由条件可知，前20项有4个1，2的个数为个，所以数列的前20项的和为；前个1之间有个2，所以个1和个2的个数为，令，满足条件的最大为，当时，个数，第45个1后面有个2，所以三、解答题13．（2025·天津河西·模拟预测）已知等比数列的前n项和为，满足，，数列满足，，且.(1)求数列，的通项公式；(2)设，为的前n项和，求.【解】（1），，，，又，，，，由两边同除以，得，从而数列为首项，公差的等差数列，，从而数列的通项公式为（2）由（1）知，，，设，则，两式相减得，整理得，.14．（2025·天津和平·三模）已知，等差数列的前项和，正项等比数列的前项和为，，．(1)求数列和的通项公式；(2)若．（ⅰ）不等式恒成立，求实数的取值范围；（ⅱ）证明：．【解】（1）对任意的，，当时，，当时，.也满足，故对任意的，，所以，即数列为等差数列，合乎题意，设等比数列的公比为，则，，，所以，，因此，.（2）（i），，故原不等式可化为，当为奇数时，，即恒成立，显然为递减数列，且，所以；当为偶数时，恒成立，显然外递减数列，所以，所以，因此，实数的取值范围是.（ii）因为，设，所以，上述两个等式作差可得①，设，所以，两式作差得，即，代入①式可得，故，故结论得证.15．（2025·天津滨海新·三模）已知等差数列与正项等比数列满足：，．(1)求、通项公式；(2)若对数列、，在与之间插入个，组成一个新数列，求数列前100项和；(3)若（其中），证明：．【解】（1）因为，，所以，解得，所以；因为，，所以，又因为，所以，；（2）设，在数列中，从项开始到项（不含）之前，共有项数为，所以，，当时，；当时，，所以数列前100项是项之后还有32项为2，所以；（3）当时，，，，，，，，当时，，，，因为，，所以，即.16．（2025·天津南开·二模）已知等差数列的前项和为．(1)求的通项公式；(2)记，其中为二项式系数．（ⅰ）求数列的前项和；（ⅱ）求．【解】（1）设首项为，公差为，由题意得解得，所以．（2）（ⅰ）由（1）知，因为，所以，所以．所以，所以．（ⅱ）因为，所以．17．（2025·天津河东·二模）设是公差d为的等差数列，是公比为q的等比数列，，，，，.(1)求数列与的通项公式及；(2)落在区间之内的项的个数为，.（ⅰ）求，及数列的通项公式；（ⅱ）求.【解】（1）设，，，，由已知，，所以，所以，所以，，所以，又因为，所以，所以，所以，，所以；（2）（ⅰ）由已知，在此区间内，∴，因为，所以即为，∴.，所以即为，所以，所以，所以数列的通项公式为.（ⅱ）记，①，②，①-②为，，.18．（2025·天津河北·二模）设数列是等差数列，是等比数列．已知．(1)求和的通项公式；(2)设，求数列的前项和；(3)设，数列的前n项积为，证明：．【解】（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为，因为，所以，所以．（2）为奇数时，，，为偶数时，，，所以所以．（3），，当时，；当时，即又，所以，当时，，所以．19．（2025·天津红桥·二模）已知数列的首项(1)证明：数列为等比数列；(2)证明：对任意的(3)证明:【解】（1），又所以是以为首项，以为公比的等比数列．（2）由（1）知，即.（3）由（2）知，对任意，有，取，则.20．（2025·天津河西·二模）已知数列为等差数列或等比数列，前项和为，且满足，.(1)当数列为等差数列时，求的通项公式及；(2)当在单调递增时，设，求的值；(3)当数列为等比数列且为摆动数列时，设，求的最大值和最小值.【解】（1）假设等差数列的公差为，由题意得，所以，所以，.（2）当数列为等差数列时，由（1）知，显然在不单调；当数列为等比数列时，假设公比为，，解得或，当时，，易知在单调递增；当时，，易知在不单调，所以，所以，.（3）当数列为等比数列时，由（2）知或，又为摆动数列，所以，，所以，当为奇数时，单调递减，，当时取得最大值1，当为偶数时，单调递增，，当时取得最小值，所以的最大值为1，最小值为.专题06数列考点五年考情（2021-2025）命题趋势考点1数列基本量的计算（5年2考）2025天津卷：绝对值数列求和2023天津卷：等比数列通项公式的基本量计算利用等比数列的通项公式求数列中的项；1.数列在高考的考查主要包含了，数列的基本量运算，主要包含了等差、等比的通项与求和运算。2.数列的通项公式在高考中的考察主要包含了，等差等比数列的通项，前n项和与通项的关系，累加累成等。3.数列的求和在高考中的考察主要包含了，裂项相消法，错位相减法，分组求和法等.考点2数列通项（5年4考）2025天津卷：求通项公式2023天津卷：等差数列与等比数列综合应用等差数列通项公式的基本量计算求等差数列前n项和写出等比数列的通项公；2022天津卷：等差数列通项公式的基本量计算等比数列通项公式的基本量计算错位相减法求和分组(并项)法求和；2021天津卷：等差数列前n项和的基本量计算由定义判定等比数列错位相减法求和数列不等式恒成立问题；考点3数列求和（5年5考）2025天津卷：错位相减求和2024天津卷：由递推数列研究数列的有关性质等比数列通项公式的基本量计算求等比数列前n项和裂项相消法求；2023天津卷：等差数列与等比数列综合应用等差数列通项公式的基本量计算求等差数列前n项和写出等比数列的通项公；2022天津卷：等差数列通项公式的基本量计算等比数列通项公式的基本量计算错位相减法求和分组(并项)法求和；2021天津卷：等差数列前n项和的基本量计算由定义判定等比数列错位相减法求和数列不等式恒成立问题；考点01数列基本量的计算1.（2025·天津·高考真题），则数列的前项和为（

）A．112 B．48 C．80 D．64【答案】C【解析】因为，所以当时，，当时，，经检验，满足上式，所以，令，，设数列的前n项和为，则数列的前项和为数列的前项和为.故选：C2.（2023·天津·高考真题）已知数列an的前n项和为Sn，若a1A．16 B．32 C．54 D．162【答案】C【解析】当n≥2,n∈N*时，an=2S当n=1时，a2所以数列an则a4=考点02数列通项3．（2024·天津·高考真题）已知数列an是公比大于0的等比数列．其前n项和为Sn．若(1)求数列an前n项和S(2)设bn=k,n=（ⅰ）当k≥2,n=ak+1时，求证：（ⅱ）求i=1S【解】（1）设等比数列an的公比为q>0因为a1=1,S可得1+q=q2-1，整理得q2-q-2=0所以Sn（2）（i）由（1）可知an=2当n=ak+1=2可知akbn-1可得bn-1当且仅当k=2时，等号成立，所以bn-1（ii）由（1）可知：Sn若n=1，则S1若n≥2，则ak+1当2k-1<i≤2k-1可得i=2所以i=1S且n=1，符合上式，综上所述：i=1S4.（2023·天津·高考真题）已知an是等差数列，a(1)求an的通项公式和i=(2)设bn是等比数列，且对任意的k∈N*，当2（Ⅰ）当k≥2时，求证：2k（Ⅱ）求bn的通项公式及前n【解】（1）由题意可得a2+a则数列an的通项公式为a求和得i==2=2（2）(Ⅰ)由题意可知，当2k-1≤n≤2取n=2k-1，则bk当2k-2≤n≤2取n=2k-1-1据此可得2k综上可得：2k(Ⅱ)由(Ⅰ)可知：2k-1<则数列bn的公比q满足2当k∈N*,k→+∞时，所以2k-1<b当k∈N*,k→+∞时，所以数列的通项公式为bn其前n项和为：Sn考点03数列求和5.（2025·天津·高考真题）已知数列是等差数列，是等比数列，．(1)求，的通项公式；(2)，，有，（i）求证：对任意实数，均有;（ii）求所有元素之和【解】（1）设数列的公差为d，数列公比为，则由题得，所以；（2）（i）证明：由（1）或，，当时，设，所以，所以，所以，为中的最大元素，此时恒成立，所以对，均有.（ii）法一：由（i）得，为中的最大元素，由题意可得中的所有元素由以下系列中所有元素组成：当均为1时：此时该系列元素只有即个；当中只有一个为0，其余均为1时：此时该系列的元素有共有个，则这个元素的和为；当中只有2个为0，其余均为1时：此时该系列的元素为共有个，则这个元素的和为；当中有个为0，其余均为1时：此时该系列的元素为共有个，则这个元素的和为；…当中有个为0，1个为1时：此时该系列的元素为共有个，则这个元素的和为；当均为0时：此时该系列的元素为即个，综上所述，中的所有元素之和为；法二：由（i）得，为中的最大元素，由题意可得，所以的所有的元素的和中各项出现的次数均为次，所以中的所有元素之和为.．6．（2022·天津·高考真题）设an是等差数列，bn是等比数列，且(1)求an与b(2)设an的前n项和为Sn，求证：(3)求k=12n【解】（1）设{an}公差为d，{bn由a2-b2=所以an（2）证明：因为bn+1=2b即证(Sn+1+即证an+1而an+1=S（3）因为[=(4k-1+4k-3)×2所以k=12n[=k=1设T所以Tn则4T作差得-3=(2-6n)所以Tn所以k=12n[a7．（2021·天津·高考真题）已知{an}是公差为2的等差数列，其前8项和为64．{（I）求{an}（II）记cn（i）证明{c（ii）证明k=1【解】（I）因为{a所以a1+a所以an设等比数列{bn}所以b3-b所以bn（II）（i）由题意，cn所以cn所以cn2-所以数列{c（ii）由题意知，an所以an所以k=1n设Tn则12两式相减得12所以Tn所以k=1n一、单选题1．（2025·天津红桥·一模）等比数列的前n项和为，且，，则（

）A．24 B．28 C．36 D．48【答案】B【解析】设公比为，则，所以，所以.故选：B2．（2025·天津河北·二模）设数列的前n项和，若，则（

）A．3059 B．2056 C．1033 D．520【答案】C【解析】由题设，则，所以，则又，则，所以是首项、公比均为的等比数列，则，所以，则.故选：C3．（2025·天津北辰·三模）已知等比数列的首项为1，公比为，则数列的前10项和为（

）A．15 B．35 C．45 D．55【答案】C【解析】等比数列的首项为1，公比为，，，，，且，是首项为，公差为的等差数列，数列的前10项和为.故选：C.4．（2025·天津·一模）已知是各项均为正数的等比数列，且，，成等差数列，则的值是（

）A． B． C．9 D．16【答案】A【解析】设正项等比数列的公比为，由，，成等差数列，可得，即，所以，解得（舍去）或，所以.故选：A5．（2025·天津·二模）已知是一个无穷数列，“”是“为递增数列”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】递增数列是指一个数列从第二项起，每一项都大于它的前一项，即.若是摆动数列，可能有，但是不是递增数列，则仅不能推出为递增数列，但为递增数列可以推出.所以“”是“为递增数列”的必要不充分条件.故选：B.6．（2025·天津和平·三模）定义新运算：，已知数列满足，，则（

）A．239 B．225 C．211 D．261【答案】C【解析】由可得，故累加可得，故，故选：C7．（2025·天津南开·二模）若数列满足，且则的前2025项的和为（

）．A．1350 B．1352 C．2025 D．2026【答案】B【解析】由题意可得，因为，所以，因为，所以，因为，所以，因为，所以，，所以数列从第二项起是以1，1，0为周期的数列，则.故选：B8．（2025·天津·一模）已知数列和的通项公式分别为，在与之间插入数列的前m项，构成新数列，即，…．记数列的前n项和为，则（

）A．30 B．4944 C．9876 D．14748【答案】B【解析】因为数列的通项公式为，所以数列为等差数列，所以数列的前项和为，数列的通项公式为，所以数列为等比数列，所以数列的前项和为，所以，，当时，.故选：B.9．（2025·天津河西·模拟预测）已知正项数列满足，且，则（

）A．27 B．30 C．33 D．36【答案】A【解析】当时，，可得，因①，可知时，②，用①-②得：，等式两边同乘，得到，即，即当时，数列是公差为3的等差数列，所以，又，所以，又因为，则整理得，即，因为数列是正项数列，所以，所以，所以故选：A10．（2025·天津武清·模拟预测）已知数列的通项公式为，其前n项和为，则数列的前2025项和为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】数列的通项公式为，其前n项和为，所以，则数列的前2025项和为.故选：D.二、填空题11．（2025·天津和平·一模）已知正项数列的前项和满足，则.【答案】【解析】由题知，即，因为，解得，时，，即，因为，解得，时，，即，即，因为，解得，同理可得，.12．（2025·天津·二模）数列的项是由1或2构成，且首项为1，在第个1和第个1之间有个2，即数列为：.记数列的前项和为，则：.【答案】【解析】由条件可知，前20项有4个1，2的个数为个，所以数列的前20项的和为；前个1之间有个2，所以个1和个2的个数为，令，满足条件的最大为，当时，个数，第45个1后面有个2，所以三、解答题13．（2025·天津河西·模拟预测）已知等比数列的前n项和为，满足，，数列满足，，且.(1)求数列，的通项公式；(2)设，为的前n项和，求.【解】（1），，，，又，，，，由两边同除以，得，从而数列为首项，公差的等差数列，，从而数列的通项公式为（2）由（1）知，，，设，则，两式相减得，整理得，.14．（2025·天津和平·三模）已知，等差数列的前项和，正项等比数列的前项和为，，．(1)求数列和的通项公式；(2)若．（ⅰ）不等式恒成立，求实数的取值范围；（ⅱ）证明：．【解】（1）对任意的，，当时，，当时，.也满足，故对任意的，，所以，即数列为等差数列，合乎题意，设等比数列的公比为，则，，，所以，，因此，.（2）（i），，故原不等式可化为，当为奇数时，，即恒成立，显然为递减数列，且，所以；当为偶数时，恒成立，显然外递减数列，所以，所以，因此，实数的取值范围是.（ii）因为，设，所以，上述两个等式作差可得①，设，所以，两式作差得，即，代入①式可得，故，故结论得证.15．（2025·天津滨海新·三模）已知等差数列与正项等比数列满足：，．(1)求、