2024年人教版八年级数学下册1821矩形同步练习(学生版+解析)

2024年人教版八年级数学下册18.21矩形精品同

步练习（学生版）

一、基础闯关全练

知识点一矩形的定义

1.四边形/8G）的对角线互相平分，要使它变为矩形，需要添加的条件是（）.

A.AB=CDB.AD=BCc.AB=BCo.AC=BD

知识点二矩形的性质

2.矩形具有而平行四边形不一定具有的性质是（）.

A.对角相等B.对边相等C.对角线相等D.对角线互相平分

3.如图，在矩形;13C7）中，对角线AC，*9交于点0，若0/1=2，则以9的长为（）

A.4B.3c,2D.1

4.在矩形＜8。。中，对角线40、80交于点0,/1B=1，乙408=60°，则用9=

知识点三直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半

5.如图，在△/WC中，AB=AC^ADJ.BC，垂足为。，七'是/1C的中点，若0E=5，则43

的长为.

、.知识点四矩形的判定方法

6.在数学活动课上，老师要同学们判断一个四边形门框是否为矩形.下面是某合作学习小

组的4位同学拟定的方案，其中正确的是（）.

A.测量对角线是否互相平分B.测量两组对边是否分别相等C.测量一组对角是否

都为直角D.测量其中三个角是否都为直角

7.如图，已知四边形48。）是平行四边形，下列结论中不一定正确的是（）.

A.AB=CDB.AC=BDc.当"IBC=90°时，它是矩形D/C与3。互相平

分

二、能力提升全练

8.如图，将矩形力也。沿对角线8。折叠，点。落在点七'处，8七交/W于点/；，已知

乙BDC=62°，则匕的度数为（）.

A.31°B,28°c,62°D,56°

9.如图，在矩形48。/）中，按以下步骤作图：①分别以点4和。为圆心，以大于的长为

半径作弧，两弧相交于点M和N：②作直线MN交CD于点心若DE=2,CE=3，则知形

的对角线4C的长为.

10.如图，在矩形/13C7）中，=4，AD=3，矩形内部有一动点P满足

SAPAR=为矩形4BCD'则点'到小8两点的距离之和P/1+08的最小值为

三、三年模拟全练

二）一、选择题

11.八年级（3）班同学要在广场上布置一个矩形的花坛，计划用红花摆成两条对角线.如

果一条对角线用了49盆红花，还需要从花房运来红花（）.

A.48盆B.49盆C.50盆D.51盆

12.如图，已知矩形43CD中，4c与相交于0,DE平分"DC交BC^E，Z.BDE=15S

则乙C'OE的度数为（）.

A.75。B,85。C,90。D.65。

13.如果平行四边形的四个内角的平分线能够围成一个四边形，那么这个四边形一定是

().

A.平行四边形B.矩形C.菱形D.正方形

14.如图，在△48。中，LC=90°»/1。=6，8。=8，点〃为斜边48上一动点，过点P作

PELAC于点E，PF工BC于点F，连接//；，则线段以'的最小值为()•

A.1.2B,2.4C,2.5D,4.8

二二、填空题

15.如图,在四边形ABC。中，E，F，G，H分别是边ABBC，CD，的中点.请你添加

一个条件，使四边形E/G”为矩形，可添加的条件是.

16.如图,在中，Zi4cB=90。，点。，E，F分别为43,A&BC的中点•若

CD=5»则£/的长为.

。三、解答题

17.如图18—2—1一13，在△/1BC中，D是边BC上的一点，£'是/!〃的中点，过4点作8c的

平行线交CE的延长线于点/；，且4;=86连接川九

(1)求证：BD=CD-

(2)如果48=/1。，试判断四边形4F8C的形状，并证明你的结论.

四.五年中考全练

二)一、选择题

18.已知平行四边形48CD,下列条件中，不能判定这个平行四边形为矩形的是().

A/A=LBB.4A=/CC.AC=BDD,AB1BC

。二、填空题

19.如图，Rta/IBC中，z/!CZ?=90°,43=6,。是力?的中点，则

CD=.

20.如图，矩形/13C'。的对角线4c与8D相交点0，/。=10，P、Q分别为40、40的中点,

则PQ的长度为.

B

21.如图，在平行四边形力/兄。中，添加一个条件，使平行四边形小北。是矩

22.如图，将矩形/BCD折叠，折痕为£/，8C'的对应边B'C'与C刀交于点M，若

)MD=50。，则NW的度数为.

0三、解答题

23.如图，平行四边形713c。，对角线4C与80相交于点£，点G为/。的中点，连接CG，CG

的延长线交/M的延长线于点”,连接

(I)求证：AB=AF.

(2)若4G=4丛LBC1)=120°,判断四边形力G才的形状，并证明你的结论.

五.核心素养全练

24.阅读以下短文，然后解决下列问题：

如果一个三角形和一个矩形满足条件：三角形的一边与矩形的一边重合，且三角形的这边

所对的顶点在矩形这边的对边上，则称这样的矩形为三角形的“友好矩形”，如图①所

示，矩形/见而即为△川北的“友好矩形”，显然，当△/加；是钝角三角形时，其“友好

矩形”只有一个.

图①

(1)仿照以上叙述，说明什么是一个三角形的“友好平行四边形”.

(2)如图②，若△ADC为直角三角形，且乙，=90。，在图②中画出△4〃。的所有“友好矩

形”，并比较这些矩形面积的大小.

(3)若△/13C是锐角三角形，且8。>/1C>/18，在图③中画出△/13C的所有“友好矩

形”，指出其中周长最小的矩形并加以证明.

图③

25.长与宽之比为V2：l的地形纸片称为标准纸，请思考并解答下列问题：

(1)将一张标准纸43(。(/18<3。)对开，如图①所示，所得的矩形纸片43EF是标准

纸，请给予证明.

（2）在一次综合实践课上，小明尝试着将矩形纸片713c。（/18<BC）进行如下操作:

第一步：沿过｛点的直线折叠，使8点落在4D边上的点P处，折痕为力〃（如图②甲）.

第二步：沿过。点的直线折叠，使C点落在710边上的点N处，折痕为DG（如图②乙），此

时E点恰好落在力〃边上的点M处.

第三步：沿直线折叠（如图②丙），此时点G恰好与N点重合.

请你探究：矩形纸片/BCD是不是标准纸，请说明理由.

（3）不难发现：将一张标准纸按如图③所示的方式一次又一次对开后，所得的矩形纸片都

是标准纸，现有一张标准纸48。。，48=1，=隹，问第5次对开后所得标准纸的周

长是多少，探索并直接写出第2018次对开后所得标准纸的周长.

I

兴

第三次对开

2024年人教版八年级数学下册18.2.1矩形精品同

步练习（教师版）

一、基础闯关全练

知识点一矩形的定义

1.四边形山北。的对角线互相平分，要使它变为矩形，需要添加的条件是（）.

A.AB=CDB.AD=BCc.AB=BCD.AC=BD

【答案】D

【解析】添加AC=BD,

•・•四边形力BCD的对角线互相平分，

・•・四边形力3。。是平行四边形，

•;AC=BD,根据矩形的判定定理：对角线相等的平行四边形是矩形，

，四边形是矩形，

故选：D.

,知识点二矩形的性质

2.矩形具有而平行四边形不一定具有的性质是（）.

A.对角相等B.对边相等C.对角线相等D.对角线互相平分

【答案】C

【解析】矩形的对角线相等，而平行四边形的对角线不一定相等.

故选C.

3.如图，在矩形4/"/）中，对角线4C，8。交于点。，若"4=2，则80的长为（）.

AJ

区

BC

A.4D.3c.2D,1

【答案】A

【解析】•・•四边形ABC'。是矩形，

.\OC=OA,BD=AC,

又•・•0A=2,・・・力。=0/1+0C=20A=4,

：,BD=AC=4.

故选A.

4.在矩形力比。中，对角线“、BD交于点、0,/1B=1，々108=60°，则/W=

【答案】V3

【解析】在矩形/次⑦中，

04=08,4BAD=90°,43=1,

...4力。8=60°,

・•・为等边三角形，

JZ-ADB=90°-Z-A0B=30°,

,\/W=2/l/?=2,

：.AD=帆）2--炉=促一仔=祗

故答案为：y/3.

知识点三直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半

5.如图，在△/WC中，AB=AC^AD工BC，垂足为0,芥是/1C的中点，若OE=5，则43

的长为.

BD

【答案】10

【解析】-：AB=ACt

:.△48。为等腰三角形，

•：AD1BC,

工点。是8。的中点，

•・•£'是/。的中点，

:・DE走△/1BC的中位线，

.•・48=2〃«=10.

故答案为：10.

，知识点四矩形的判定方法

6.在数学活动课上，老师要同学们判断一个四边形门框是否为矩形.下面是某合作学习小

组的4位同学拟定的方案，其中正确的是（）.

A.测量对角线是否互相平分B.测量两组对边是否分别相等C.测量一组对角是否

都为直角D.测量其中三个角是否都为宜角

【答案】D

【解析】知形的判定定理有①有三个角是直角的四边形是矩形，②对角线互相平分且相等

的四边形是矩形，③有一个角是直角的平行四边形是矩形，

A.R选项能判断平行四边形，但不能判断矩形，

C选项不能判断矩形.

故选D.

7.如图，已知四边形是平行四边形，下列结论中不一定正确的是（）.

A.AB=CDB.AC=BDC.当4/18。=90°时，它是矩形D/C与BO互相平

分

【答案】B

【解析】因为四边形力BC力是平行四边形，所以AB=CD,/1C与3D互相平分，当

，WC=90°时，它是矩形，历以选项A、C、D中结论正确，故选B.

二、能力提升全练

8.如图，将矩形力以力沿对角线80折叠，点。落在点七'处，8七交4〃于点“，己知

乙BDC=62°，则/小吐'的度数为（）.

A.31°B,28°c,62°D,56°

【答案】D

【解析】•・•四边形力BCD为矩形，

:.AD"BC,/.ADC=90°,

"FDB=90°-z/?DC=90°-62°=28°,

-AD//BC,

，乙CBD=^FDB=28°,

•・•矩形ABCD沿对角线8。折叠，

：.£FBD=LCBD=28°,

.\Z-DFE=Z-FBD+乙FDB=28°+28°=56°.

故选：D.

9.如图，在矩形//?。。中，按以下步骤作图：①分别以点4和。为圆心，以大于的长为

半径作弧，两弧相交于点M和N：②作直线MN交C/）广点朴若。£=2，CE=则矩形

的对角线/C的长为.

w

N

【答案】烟

M

D

B

N

【解析】连接力〃，如图,

由作法得MN垂直平分4C,

:.EA=EC=3,

在Rt△/!£）£中，AD=、2-22=4,

在RtZk/lDC'中，AC=V（V5）2+52=y/30.

故答案为画.

10.如图，在矩形/13C7）中，=4，AD=3»矩形内部有一动点P满足

SZ\P4B=$矩形48C。'则点，到"、8两点的距离之和P/l+PB的最小值为

【答案】4g

【解析】设△48P中48边上的高是九，

，：S&PAB=]S矩形｛BCD,

1,1

：,^Bh=^AB-CDt

2

・・.九=//）=2,

・•・动点〃在与48平行且与AB距离是2的直线1上，如图，作力关于直线2的对称点3连接

AE,连接

则/拉的长就是所求的最短距离，在Rt△/1/"'中,

-AB=4,/l£=2+2=4,

・•.BE=+AE2="2+42=4也，

印24+P8的最小值为小p.

故答案为：4但.

三.三年模拟全练

二1一、选择题

11.八年级（3）班同学要在广场上布置一个矩形的花坛.计划用红花摆成两条对角线.如

果一条对角线用了49盆红花，还需要从花房运来红花（）.

A.48盆B.49盆C.50盆D..51盆

【答案】A

【解析】•・•矩形的对角线互相平分且相等，

・•・一条对角线用了49盆红花，中间一盆为对角线交点，49-1=48,

,还需要从花房运来红花48盆.

故选:A.

12.如图，已知矩形48CD中，力C与8D相交于。，以平分〃DC交8c于自43/九=15。，

则ZZ'OE的度数为（）.

凶

BEC

A.75。B.85。C.91D°D,65。

【答案】A

【解析】由题意知乙CDE==45。,又乙8/1E=15。，所以乙。〃。=60。，由矩形的

特征“对角线相等且互相平分”可知。。=。,故△。。。是等边三角形，从而有

0C=01)=CD=CEfZ.DCO=60°,LOCB=30°,进而求得々COE==75，.

故选A.

13.如果平行四边形的四个内角的平分线能够围成一个四边形，那么这个四边形一定是

().

A.平行四边形B.矩形C.菱形D.正方形

【答案】B

【解析】•・•平行四边形对角相等，邻角互补，

・•・相邻两个角的平分线组成的角是直角.

，这个四边形一定是矩形.

14.如图，在△/18C中，zC=90。，AC=6>8。=8，点P为斜边AB上一动点，过点P作

PEtAC于点E，PF工BC于点2连接ER则线段以；的最小值为().

A.1.2B,2.4C.2.5D,4.8

【答案】D

【解析】连接PC,

-PE1.CA,PF1BCf

...乙PEC=dFC="=90°,

・•・四边形ECT'P是矩形，

：.EF=PC,

・••当PC最小时EF也最小,

又;当CP148时,PC最小,

且力C=6,BC=8,

，由勾股定理得48=10.

因此由等面积法,

ACBC6x8

故选D.

;二，二、填空题

15.如图，在四边形｛BCD中，E，F，G，〃分别是边48，BC，CD，D4的中点.请你添加

一个条件，使四边形七/G”为矩形，可添加的条件是.

【答案】EF1/；G（答案不唯一）

【解析】连接4C,

:E,F分别是边力B,BC的中点,

:・EF“A3EF="，

同理，HG//AC，HG=%0

:・EF“HG,EF=HG,

，四边形〃是平行四边■形，

要使四边彩EFC〃是知彩，则需有一个角为直角，如EF1FG.

答案不唯一.

16.如图，在山△/1比•中，乙亿3=90°，点。，E，尸分别为43,AC，的中点.若

CD=5»则£/的长为.

【答案】5

【解析】。是直角三角形，是斜边的中线,

又・.・E1是△4BC的中位线,

.•.力3=2C1)=2x5=10,

・・.E7；=；x10=5.

。三、解答题

17.如图18—2—1一13，在△48C中，/)是边8c上的一点，E是4D的中点，过4点作8C的

平行线交CZ'的延长线于点人且力/,'=/*)，连接

(1)求证：BD=CD；

(2)如果48=/1。，试判崎四边形/1F8D的形状，并证明你的结论.

【答案】(1)证明见解析.

(2)四边形4F3D为矩形.证明见解析.

【解析】(1)由题意知"7/BO,

：.Z-AFE=Z-ECD,

・.•/为4D的中点，

,\AE=DE,义乙AEF=（DEC,

.・.△/!f'与△OEC全等（AAS）,

：.AF=CD,又/IF=3。，

：,BD=CD.

（2）・・・/13=AC,由（1）知BD=CD,

：,ADLBC（三线合一），即4力。3=90。，

义VAF"BD,AF=BD,

・••四边形力”8D为平行四边形，

・•・四边形/1FBD是矩形.

四.五年中考全练

二尸、选择题

18.已知平行四边形48CD,下列条件中，不能判定这个平行四边形为矩形的是（）.

A/A=LBB.4A=/Cc.AC=BDD,AB1BC

【答案】B

【解析】A、4力=48,±71+48=180°,所以=/8=90°,可以判定这个平行四边

形为矩形，正确.

B、4/=乙。不能判定这个平行四边形为矩形，错误.

C、AC=BD,对角线相等，可推出平行四边形/18C7）是矩形，故正确.

D、AB1Z?C,所以=90°,可以判定这个平行四边形为矩形，正确.

■二、填空题

19.如图，々△/13C中，々1CB=9O°,AB=6,Z）是的中点，则

CD=_____

【答案】3

【解析】依题意可知CD是直角三角形力8C斜边上的中线,

由“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”可得CD=；AR=3.

20.如图,矩形力BCD的对角线4c与BD相交点0,/1C=1O，P、Q分别为40、4。的中点,

则PQ的长度为.

【答案】2.5

【解析】•・•四边形力BCD是矩形,

.\AC=I3D=10,B()=D()=；RD,

・・.0/1=池=5,

•.•点P、Q是/。，71。的中点,

.・.PQ是△/10D的中位线,

：.PQ=^D0=2.5.

21.如图，在平行四边形"⑺中，添加一个条件，使平行四边形川北。是矩

形.

【答案】AC=BD（或四边形/BCD任意一个内角为90°）

【解析】若使平行四边形/3C7）变为矩形，可添加的条件是：

AC=BD；（对角线相等的平行四边形是矩形），/-ABC=90°<（有一个角是直角的平行

四边形是矩形），

故答案为：任意写出一个正确答案即可，如：/1C=3DAZ/18C'=9O0.

故答案为：=*9或4480=90°.

22.如图，将矩形/BCD折叠，折痕为£/，8。的对应边B,C'与。〃交于点M，若

Z.BMD=50°，则48以'的度数为•

【答案】70°

【解析】vzC=zC=90°,Z-DMli=Z.CMF=50°,

••・“'FM=40。，

设=则4EFC=180。-a,WFE=Z-BEF=c,zCFE=40°+a,

由折合可得，乙EFC=Z.EFC,

1.1800-a=40°+a,

解得：a=70°,

:/BEF=7U\

故答案为：70°.

三、解答题

23.如图，平行四边形/WC。，对角线AC与30相交于点£，点G为/10的中点，连接CG，CG

的延长线交从4的延长线于点“，连接FD

(I)求证:AB=AF.

（2）若4G=48,Z«CD=120°,判断四边形4。。尸的形状，并证明你的结论.

【答案】（1）证明见解析.

（2）四边形力。/»'是能形.

【解析】（1厂・•四边形力8CD是平行四边形,

：.AB//CD,AB=CD,

工乙AFG=£DCG,

•：GA=GD,Z-AGF=/-DGC,

.・•△4G&ZiOGC(AAS),

.W=CD,

：,AB=AF,

(2)结论：四边形AC。?是矩形.

3里由：\'AF=CDtAF//CD,

四边形力CDF是平行四边形，

•••四边形/3CD是平行四边形，

,\Z-BAD=z.BCD=120°,

"FAG=60°.

•：AB=AG=AFf

・•・△/!/访是等边三角形，

：.AG=GF,

•:△AGF^△DGC,

：.FG=CG,

•：AG=GD,

：,AD=CF,

・••四边形力C'/力；是矩形.

五.核心素养全练

24.阅读以下短文，然后解决下列问题：

如果一个三角形和一个矩形满足条件：三角形的一边与矩形的一边重合，且三角形的这边

所对的顶点在矩形这边的对边上，则称这样的矩形为三角形的“友好矩形”，如图①所

示，矩形以'即为△48C的“友好矩形”，显然，当△48。是钝角三角形时，其“友好

矩形”只有一个.

图①

(1)仿照以上叙述，说明什么是一个三角形的“友好平行四边形”.

(2)如图②，若△/小；为直角三角形，且乙，=90。，在图②中画出△4〃。的所有“友好矩

形”，并比较这些矩形面积的大小.

(3)若△/13C是锐角三角形，且8。>/1C>/18，在图③中画出△/13C的所有“友好矩

形”，指出其中周长最小的矩形并加以证明.

图③

【答案】(1)理由见解析.

(2)共有2个友好矩形，矩形8CF小ABEF,

矩形4BEF的面积都等于面积的2倍,

△ABC的“友好矩形”的面积相等♦

⑶矩形ABHK的周长最小,证明见解析.

【解析】(1)如果一个三角形和一个平行四边形满足条件：三角形的一边与平行四边形的一

边重合，三角形这边所对的顶点在平行四边形这边的对边上，则称这样的平行四边形为三

角形的“友好平行四边形”.

(2)此时共有2个友好矩形，如图的矩形ABEF,

易知，矩形8cA/)、的面积都等于面积的2倍，

△48。的“友好矩形”的面积相等♦

(3)此时共有3个“友好矩形”，

如图的矩形BCDE、矩形CAFG及矩形力BHK,

其中的矩形的周长最小.

易知，这三个矩形的面积相等，令其为S,

设矩形BCDE、&4FG及4BHK的周长分别为K、历、公,

△48C的边长8C=Q,CA=b,AB=c,

2S2S2S

则：Li="7+2a,上=7+2b,L3=y+2c,

.../“一历=仔+2。)一信+2。=2(a-b)黑，

而Q/）>S,a>bf