（人教A版）必修一高一数学上册同步题型归纳讲与练1.2 集合间的基本关系（解析版）

1.2集合间的基本关系一、子集与真子集的定义与表示1、子集：如果集合A中的任意一个元素都是集合B的元素，那么集合A叫做集合B的子集，记作A⊆B(或B⊇A)，读作“A包含于B”(或“B包含A”)．2、真子集：如果集合A是集合B的子集，并且B中至少有一个元素不属于A，那么集合A叫做集合B的真子集。记作AB或(BA)【注意】（1）子集是刻画两个集合之间关系的，它反映的是局部与整体之间的关系(而元素与集合之间的关系是个体与整体之间的关系)．（2）并不是任意两个集合之间都具有包含关系．例如：A＝{1,2}，B＝{1,3}，因为2∈A，但2∉B，所以A不是B的子集；同理，因为3∈B，但3∉A，所以B也不是A的子集．二、空集1、定义：一般地，我们把不含任何元素的集合叫做空集，记为∅，并规定：空集是任何集合的子集．在这个规定的基础上，结合子集和真子集的有关概念，可以得到：（1）空集只有一个子集，即它本身；（2）空集是任何非空集合的真子集．2、0，{0}，∅，{∅}的关系∅与0∅与{0}∅与{∅}相同点都表示无的意思都是集合都是集合不同点∅是集合；0是实数∅中不含任何元素；{0}含一个元素0∅不含任何元素；{∅}含一个元素，该元素是∅关系0∉∅∅{0}∅{∅}或∅∈{∅}三、子集的性质（1）规定：空集是任意一个集合的子集．也就是说，对任意集合A，都有∅⊆A.（2）任何一个集合A都是它本身的子集，即A⊆A.（3）如果A⊆B，B⊆C，则A⊆C.（4）如果AB，BC，则AC.【注意】空集是任何集合的子集，因此在解A⊆B(B≠∅)的含参数的问题时，要注意讨论A＝∅和A≠∅两种情况，前者常被忽视1，造成思考问题不全面．四、子集的个数如果集合A中含有n个元素，则有（1）A的子集的个数有2n个．（2）A的非空子集的个数有2n－1个．（3）A的真子集的个数有2n－1个．（4）A的非空真子集的个数有2n－2个．五、韦恩图在数学中，我们经常用平面上的封闭曲线的内部表示集合，这种图叫做Venn图。【注意】（1）表示集合的韦恩图是是封闭曲线，它可以是圆、矩形、椭圆，也可以是其他封闭曲线。（2）维恩图的有点是形象直观，缺点是公共特征不明显，画图时要注意区分大小关系。题型一判断集合间的包含关系【例1】已知集合，则下列关系正确的是（）A．B．C．D．∅【答案】C【解析】因为集合，所以根据子集的定义可知，故选：C.【变式1-1】设集合A＝{0,1}，集合B＝{x|x<2或x>3}，则A与B的关系为()A．A∈BB．B∈AC．A⊆BD．B⊆A【答案】C【解析】∵0<2，∴0∈B.又∵1<2，∴1∈B，∴A⊆B.【变式1-2】设集合M＝{菱形}，N＝{平行四边形}，P＝{四边形}，Q＝{正方形}，则这些集合之间的关系为()A．P⊆N⊆M⊆QB．Q⊆M⊆N⊆PC．P⊆M⊆N⊆QD．Q⊆N⊆M⊆P【答案】B【解析】正方形都是菱形，菱形都是平行四边形，平行四边形都是四边形，故选B.【变式1-3】下面五个式子中：①；②；③{a}{a，b}；④；⑤a{b，c，a}；正确的有（）A．②④⑤B．②③④⑤C．②④D．①⑤【答案】A【解析】中，是集合{a}中的一个元素，，所以错误；空集是任一集合的子集，所以正确；是的子集，所以错误；任何集合是其本身的子集，所以正确；a是的元素，所以正确.故选：A.【变式1-4】设集合，，则（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由且，即，而，所以为的子集，则.故选：A题型二确定集合的子集和真子集【例2】集合的非空真子集的个数为（）A．5B．6C．7D．8【答案】B【解析】由题意可知，集合A的非空真子集为，共6个.故选：B.【变式2-1】已知集合，则A的子集共有（）A．3个B．4个C．8个D．16个【答案】C【解析】由，得集合所以集合A的子集有个，故选：C【变式2-2】设集合，且，则满足条件的集合的个数为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】因为，由题意可知，集合为的子集，则满足条件的集合的个数为.故选：B.【变式2-3】已知集合，则集合A的子集个数为（）A．8B．16C．32D．64【答案】B【解析】∵，∴，解得，∵，∴，则集合的子集个数为.故选：B.【变式2-4】满足的所有集合共有__________个.【答案】【解析】由题意可得，或或或，即集合M共有个【变式2-5】适合条件{1}⊆A{1,2,3,4,5}的集合A的个数是()A．15B．16C．31D．32【答案】A【解析】这样的集合A有{1}，{1,2}，{1,3}，{1,4}，{1,5}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,5}，{1,3,4}，{1,3,5}，{1,4,5}，{1,2,3,4}，{1,2,3,5}，{1,2,4,5}，{1,3,4,5}共15个．【变式2-6】满足的集合M共有（）A．6个B．7个C．8个D．15个【答案】B【解析】，可按元素个数分类依次写出集合M为，，，，，，，共7个.题型三集合相等及其应用【例3】下列集合中表示同一集合的是()A.,B.,C.,D.,【答案】B【解析】因为有序数对与不相同，所以A错误；由于集合中的元素具有无序性，所以集合与集合是同一集合，故B正确；因为集合M表示的是当时，所得的有序实数对所构成的集合，而集合N是当时所得的y值所构成的集合，所以C错误；因为，，所以D错误【变式3-1】设集合M={5，x2}，N={5x，5}．若M=N，则实数x的值组成的集合为（）A．{5}B．{1}C．{0，5}D．{0，1}【答案】C【解析】因为，所以，解得或，∴的取值集合为，故选：C【变式3-2】若，则的值为（）A．B．3C．D．7【答案】C【解析】因为，所以，解得，所以.故选：C.【变式3-3】集合，则的值为（）A．0B．1C．－1D．±1【答案】B【解析】因为，且，所以，即，所以，，又因为，所以，所以，故选B.【变式3-4】若，则的值为（）A．0B．1C．D．【答案】C【解析】因为，所以或，由可解得（不符合，舍去）或，由可解得，综上，，则.故选：C.题型四根据集合的包含关系求参数【例4】已知集合A＝{－1,3，m}，B＝{3,4}，若B⊆A，则实数m＝________.【答案】4【解析】由B⊆A可知，m＝4.【变式4-1】，，若，则实数a的值构成的集合M=________【答案】【解析】∵，若，则，满足题意，当，，，∴或，∴或∴∴综上所述【变式4-2】（多选）已知集合，.若，则实数的值可能是()A．B．1C．2D．5【答案】AB【解析】∵，∴，∴可能取；【变式4-3】已知集合，，且A⊇B，求实数a的取值范围．【解