2024-2025学年湖北省武汉市五校联合体高一年级下册期末考试数学试卷（含解析）

2024.2025学年湖北省武汉市五校联合体高一下学期期末考试

数学试卷

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.若复数z=i(l-4i),则|z+2i|=()

A.3B.4C.5D.6

2.若4(1,一。8(3,4),C(7,5),且C三点共线,则A的值为()

77

A.——B.—C.-3D.3

3.已知锐角三角形边长分别为2,3,x,则x的取值范围是()

A.(l,/13)B.(1,5)C.(75,713)D.不确定

4.已知单位向量方万满足2•0+3])=0,则正在石上的投影向量为()

A.bB.-bC.寺bD.—

5.若表示直线，a,0,y表示平面，则下列命题中，正确命题为()

7；》""D.

6.在四面体ABCD中，E,尸分别为梭为C,8。的中点，AD=6,BC=4,EF=e，则异面直线与8c所成角为

()

7.已知角e（On）,且sin（a一夕）+cos（a+0）=0,sinasinp=2cosacos0,则tan（a一夕）=（）

A.2B.JC.-JD.-2

8.已知48,。为单位圆0（0为坐标原点）上不同的三点，且47108=4,若沆=入赤+〃而（尢/zWR）,则当

w=(?+1)4+〃取最大值时，;为()

A/3D/3+1厂2/3+10「＜2

A.2B.「C.nD.2

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二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

9.关于平面向量，下列说法正确的是（）

A.若同〉同，则五〉bB.若五=b,则五/"

C.若可/BE//?,则五//?D.若五二刃1=二则五二?

10.已知函数/（%）=Acos3%+9）（八>0,6>>0,\（p\<n）的部分图象如图所示，将函数/（x）的图象向左平移

看个单位长度后得到y=0（x）的图象，则下列说法正确的是（）

;

3\J12\

A.0=—ITB.f卜+g=-f[-x+9

C.函数g（x）为奇函数D.函数g（x）在区间借，苧）上单调递减

11.如图，矩形ABCD中,4B=2AD=2,E为边AB的中点,将&力DE沿直线DE翻折成“】。£（为《平面BCDE）,

若M在线段为C上（点M与。不重合），则在AADE翻折过程中，给出卜.列判断，其中判断正确的有（）

A.当M为4c的中点时，与平面4.OE垂直的直线必与直线MB垂直

B.存在某个位置，使OEJ.&C

C.当四棱锥&-8CDE体积最大时，点儿到平面BCDE的距离为苧

D.当二面角A1-0E-8的大小法时，异面直线4。与BE所成角的余弦值为・

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.某校高一共有学生800人，现采用分层抽样的方法从中抽取80人进行体能测试，若这80人中有39人

是男生，据此估计该校高一男生有人.

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13.已知sina=g,则sin卜a-习=.

14.正四棱台力员:。-力道£。1的体枳为衅，上底面力也£。1，下底面的边长分别为4,6,记力

交千点交于点01，则。&=,若四棱台48co-的各个顶点均在球。2的表面上，

则球。2的表面积为.

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

15.(本小题13分)

已知复数Zi=(m+1)+mi,z2=1+i,其中meR,\为虚数单位.

(1)若复数z「Z2为实数，求实数m的值：

(2)在复平面内，若复数z=zi+/l|z2l对应的点在第一象限，求实数m的取值范围.

16.(本小题15分)

如图，在四棱锥P-4BCD中，底面48。。是边长为2的菱形，乙DAB=60°,△P4。是以P力为斜边的等腰直

角三角形，△PC0是以PC为斜边的等腰直角三角形，F.G、，分别是PB、CD、产力的中点.

P

(1)求证：GF//平面PRO

(2)求直线P8与平血WCD所成角.

17.(本小题15分)

在▲4BC中，内角4,B,C对应的边分别是Q,b,c,MbcosC+ccosF=2acosA.

(1)求角4

(2)若AB的长为3,/1C边，的中线氏为V7,求AABC的周长.

18.(本小题17分)

在正方体4BCD-中，AB=2,E是棱的中点，尸是正方体棱上的一动点.

(1)若尸为线段上的动点，求"+/E的最小值；

(2)证明：平面A41GCL平面BCiD；

(3)若尸为线段为E上的动点，求平面4B尸与平面COF夹角的余弦值的取值范围.

19.(本小题17分)

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答案解析

1.【答案】C

【解析】【分析】根据复数的运算法则，求得z=4+i,结合复数模的计算公式，即可求解.

【详解】由题意，复数z=i(l-4i)=4+i,所以|z+2i|=|4+3i|=，42+32=5.

故选：C.

2.【答案】A

【解析】【分析】根据题意，求得而=(2,k+4),瓦:二仔』)，结合而〃说，列出方程，即可求解.

【详解】由点力(1,—〃),B(3,4),C(7,5),可得向量而=(2,1+4),元=(47)，

因为AB,C三点共线，可得而〃阮，则,二牛，所以k=—〈.

故选：4

3.【答案】C

【解析】【分析】根据三角形的性质，求得1<Q<5,再由4c为锐角，结合余弦定理，求得Q的范围，即

可求解.

【详解】设三角形为A/BC,且b=2,c=3,

由三角形的几何性质c-b<a<c+b,可得

由三角形是锐角三角形，Ob,所以只需要4c为锐角，

则cos4=>0,即13—a?>o,解得ov。</13

Lbc

；cosC=a2+f-c2>o,即Q2-5>0,解得

Zab

综上可得，V5<a<V13,即a的取值范围为(A,VI5).

故选:C.

4.【答案】D

【解析】【分析】根据题意，求得五不=一3结合投影向量的计算公式，即可求解.

【详解】因为去0+3另)=0,可得五2+3五不=0,所以五•了=一号

则向量社在石上的投影向量为空刃=-^-b=-

W13

故选：D.

5.【答案】B

【解析】【分析】根据题怠，利用线面位置关系的判定定理和性质定埋，逐项分析判断，即可求解.

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【详解】对于力中，在空间中垂直于同一直线的两条直线可能平行、相交或异面，所以力错误；

对于B中，由线面垂直的性质定理，垂直于同一平面的两条直线平行，所以8正确：

对于C中，由线面垂直的性质，垂直于同一直线的两个平面平行，所以C错误；

对于。中，在空间中垂直于同一平面的两个平面可能平行、相交，所以。错误.

故选：B.

6.【答案】D

【解析】【分析】取的中点G,得至IJFG〃B&EG〃/10,得到“GF为异面直线力。与8C所成的角，在A"G

中，利用余弦定理，求得COS4EGF=5即可得到答案.

【详解】如图所示,取C0的中点G,连接EG,FG,则/G〃BC,EG//AD,

则，EGF为异面直线AD与所成的角（或补角），

因为尸G=gBC=2,EG=^AD=3,所以COSNEGF==去

所以异面直线AD与8c所成角为:

故选：D.

7.【答案】B

【解析】【分析】由sinasin"=2cosacosH，求得tanatan夕=2,再由sin（a-夕）+cos（a+夕）=0,求得

tana-tan^=l,结合两角差的正切公式，即可求解•.

【详解】因为sintzsin/?=2cosacos0,可得a*%B手二则cosacos/?H0,

sinasin/?

可得=2,即tanatan/?=2,

cosacos/?

又由sin(a-0)+cos(a+。)=0,即sinacos^-cosasin/?+cosacosp-sinasinp=0,

可得sinacos/?-cosasin^-cosacos^=0,

等式两边同时除以cosacos£,可得tana—tan/?=1,

tana-tan/?_1

则tan(a-0)

1+tanatan/?3

故选：B.

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8.【答案】C

2

【解析】【分析】根据题意，建立平面直角坐标系，设。(8$。,5也。),0工。〈211,得到/1=sin。，〃=cos0+

罂，则w=J(V5+1)2+lsin(B+0),得到。+0=]+2kntk£Z时，w取得最大值，进而求得]的值,

得到答案.

【详解】设圆。的半径为1,以。为原点，丽方向为、轴正方向，建立平面直角坐标系，

如图所示，则力(一支停)'8(1,0)，设C(cosasin8),0W0V2死

cosO=—鼻+〃

(sinO=

所以a=1sin6,〃=cos。+=cos。+

所以w=(:+1)A+〃=(xf3+l)sin0+cosO=J(V-3+l)2+lsin(0+(p),其中tang=、/+1,

当且仅当6+R=/+2krc,kWZ时，w=(字+1)入+〃取得最大值，

此时tan®=tan一0)=—V3+1,

9.【答案】BD

【解析】【分析】根据向量不能匕较大小，即可判断4根据向量相等即可判断8D；根据向量平行及零向

量即可判断C.

【详解】对于4因为向量不能比较大小，故力错误：

对于8,若五=及则力加,故4正确；

对干C,若石=6,则五〃]]//?,们方与W不一定平行，故。错误：

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对干。，若五=b,b=K则近=W,故。正确；

故选：BD.

10.【答案】ACD

【解析】【分析】根据函数/•(%)的图象，求得/(工)=285卜工结合三角函数的图象与性质，逐项分

析判断,即可求解.

［详解】对于A中，由函数f(%)=Acos(a)x十(p)(A>0,3>0,［例<IT)的部分图象，

可得A=2,x^7=77+f»可得侬=2,所以/(%)=2cos(2x+丁).

又由/信)=2cos(2x.+@)=2,所以2x.+0=2kn,keZ,

所以S=—警+2kir,k6Z,因为|*|<TT,所以@=一等,

oo

BP/(x)=2cos(2x-^),所以《正确；

对于8中，由/(%+§=2cos(2X-3)，且一f(一%+卷)=-2COS(2%+9)，

因为2cos(2x一匀+2cos(2x+?不恒为0,所以8错误：

对于C中，将函数/(%)的图象向左平移£个单位长度得到g(x)=2cos］2(%+弓)一£］=2cos(2工一9=

2sin2x,则g(%)为奇函数,所以C正确;

对于0中，当％W倍，书，可得2%W偿糕)，

因为y=sin”在管片)上单调递减，所以函数g(x)在区间管用)上单调递减，所以Z)正确.

故选：ACD.

11.【答案】ACD

【解析】【分析】取0。的中点尸，证得8F〃平面力ME,又由M/7/&D,证得MF〃平面4道£证得

平面40E,故〃平面40£可判定力正确；假设存在某个位置，使DE_L&C,连接CE,取DE的中点从

连接证得DE1HC,进而可判定8错误；根据题意，得到平面&0E_L平面8C0E时，此时四棱锥&一

8CDE体积最大，可判定C正确：求得二面角为一DE—B的平面角"1］，"=小得到劣尸二冬在“山尸

中，利用余弦定理，可判定。正确.

【详解】对于A中，取DC的中点F,连接MRFB,可得四边形8FDE为平行四边形，

所以BF〃DE,因为BFU平面4DE,D£u平面力1DE,所以〃平面4DE,

又因为分别为AC和CD的中点，所以M/7/4D,同理可得MF〃平面力山已

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因为BFCM^=匕且B居MFu平面BMF,所以平面平面40E,

又因为BMu平面8M凡所以8M〃平面40E,

所以与平面4】DE垂直的直线必与直线MB垂直，所以A正确；

对于B中，假设存在某个位置，使DE1&C,连接CE,取DE的中点H,

连接可得&H工DE,又因为Ai"n41。=41，Aj^AiCcA^C,

所以0E1平面&HC,因为CHu平面&HC,所以DEJ.HC,必有0C=CE,

但DC=2,CE=，I,两者不等，所以不可能有0E工/1£,所以4错误；

对于C中，由TDE是等腰直角三角形，则力到的距离是苧，

当平面平面1时，此时四棱锥4-5CDE体积最大，

点4到平面8CDE的距离为4〃=苧，所以C正确；

对于。中，由且HFJ.OE,可得二面角41—DE—8的平面角N41〃凡

当二面角4［一Z)E—B的大小为三时，即乙为“"=去

因为争所以A4HF为等边三角形，可得4/=浮

又由8E〃DF,所以异面直线4。与BE所成得的角，

即为直线为。与。户所成得的角，即上为0F,

则侬为。尸=吗磊位=端",所以，正确.

故选：ACD.

12.【答案】390

【脩析】【分析】根据给定条件，求出分层抽样的抽样比，进而求得答案.

【详解】依题意，分层抽样的抽样比为：黑所以该校高一男生的人数估计为：*=390.

To

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故答案为：390

13.【答案】-1/-0.6

【解析】【分析】根据题意，利用三角函数的诱导公式和余弦的倍角公式，准确计算，即可求解.

【详解】因为sina=¥，则sin（2a-J）=-cos2a=2siMa-1=-

故答案为：—

14.【答案】2得；；；；

297

•,—K

【解析】【分析】根据台体的体积公式可得。。1=4,即可根据勾股定理求解第一空，根据外援球的性质，

结合勾股定理可求解半径R=早，由表面积公式求解第二空.

【详解】如图，连接0。1，贝IJ001J■底面43CD,

由题意可得41々=4,AB=6,该正四棱台的体积P=；X（4?+62+，42x62）•。6=畔,。3=4,

连接041，故041=Joo彳+01用=J（4）2+（2/2）2=2V6：

设。1。2=X,

222

则小。2=J（2/2）+x=八2+8,A02=J（4-x）+（377）2,

由4。2=4。?，解得X=半

...=J第+8=早,即球。2的半径R=早，

.•.球。2的表面积为4TTR2=午JI.

故答案为：2/6,竽TI.

15.【答案】（1）解：由复数Zi=（m+1）+mi,Z2=1+i,可得Z/Z2=1+（2m+l）i,

因为复数zj为实数，所以2巾+1=0,解得租二—去

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(2)解：由复数z=Z1+，0Z2l=(m+3)+mi,

因为爱数2=句+，2忆2|对应的点在第一象限，则满足解得血＞0,

所以m的取值范围是(0,+oo).

【解析】【分析】(1)根据题意，求得为%=1+(2加+17，由复数zi也为实数,列出方程,即可求解;

(2)山豆数z=z1十，=(m+3)十znl,根据z=z1十/IlM对应的点在第一象限，列出不等式组，即

可求解.

16.【答案】解：(1)连接尸H,HD,

因为尸为PB中点，，为P4的中点，所以，/〃力&且HF=：4B,

又因为四边形48co为菱形，且G为CD中点，

所以。G〃力氏且

所以，F〃DG,且H~=DG,所以四边形HDG尸为平行四边形，

所以G/7/HD,

因为GFC平面PAD,"。u平面PAD,

所以GF〃平面P40：

(2)连接BD,由题PD140,PD1CD,且力D,COu平面48C0,ADQCD=D,

所以P0_L平面"CD,

所以直线BP在平面4BCD内的射影为直线BD,

所以直线PB与平面4BCD所成角即为NPBD,

在菱形4BCD中，4n48=60°,所以80=力8=/W=2,

在，P4D中，PD=AD=2,

所以在RSP80中，PD=BD=2,所以该三角形为一个等腰直角三角形，

所以4P8D=45°,即直线P8与平面ABCD所成角45°.

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【解析】【分析】⑴作出辅助线，得到四边形HDGF为平行四边形，所以G/7/，D,从而证明线面平行；

(2)证明线面垂直，所以直线P8与平面力BCD所成角即为NP8D,并求出各边长，求出NP8D=45°,即直线P8

与平面48CD所成角45°.

17.【答案】解：(1)因为bcosC+ccosB=2acosA

由正弦定理得sinBcosC+sinCcosB=2sinHcosA,即sinA=2sinAcosA,

因为0V4Vn,可得sinAa0,则cosA=所以乙4=弓.

(2)在A/WD中，因为48=3,80=

由余弦定理得AB?+AD2-BD2=2-ABAD-cosA,

g|J9+/ID2-7=2x3x/IDxI，解得AD=1或40=2,

当40=1时，AC=2AD=2,

则8c2=/182+{C2-2・718"LCOS4=7,即8C=厂，此时周长。=5+J7；

当4D=2时，AC=2AD=4

则BC2=/W2+4C2-2・48TC-COS/1=13,即BC=此时周长为C=7+

综上所述，448。的周长为5+，7或7+，15.

【解析】【分析】(1)根据题意，由正弦定理和三角恒等变换的公弋可得sinA=2sin力cos4求得cosA=：,

即可求解；

(2)在“8。中，由余弦定理，求得40=1或4。=2,分类讨论，分别求得8C的长，进而求得三角形的周

长.

18.【答案】解：(1)将平面［ADD］展开到平面

AA।B\

DD】EG

则+=仅当A,F,E共线时等号成立,

所以4F+F£1的最小值为，瓦

(2)连A1C、BD、BC［、C［D

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由图，_L平面A8m8。J平面ABC。，所以._L80

因为四边形力BCD为正方形，所以力CJL8。，ACrM&=4AC,4&u平面44iC,

由线面垂直的判定定理可得3D，平面44]C,4。＜Z平面44£,圻以3。1公。

同理可得Bg14cBCiCBD=B,BCltBDu平面8g。,

故4也_1_平面8。1。：

又因为41cu平面441CiC,故平面A41cle1平面8%。

(3)过点尸作尸H〃CiD1,交4/1十”点,

则平面尸即为平面ABF”,平面CD/7即为平面CQHF,

则平面4B/n平面CDF=FH,

且口61平面则1平面力DD】a，

且u平面4。。1力1，^\FHLAH,FHLDH,

可知上AHD为平面A8F与平面CDF的夹角,

因为「为线段4E上的动点，所以H为线段4。1上的动点,

在正方体力ODMi，结合对称性可知:

当H为线段为/的中点时，乙力”。取到最大值，COSN4HD取到最小值,

此时4H=DH=^5,AD=2,则cos^AHD=如端空=

当H为线段4〃的端点重合时，乙4HD取至IJ最小值45。，cos乙力HD取到最大值年:

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综上所述：cosZ-AHD6-,-r-»

所以平面48/与平面CDr夹角的余弦值的取值范围生等)

【解析】【分析】(1)应用展开图得出距离和最小；

(2)先应用线面垂直判定定理得出得8D1平面44C,进而应用面面垂直判定定理证明；

(3)应用面面垂直性质定理得出尸万1平面力0八遇1，结合二面角定义得出为平面与平面CD尸的夹角,

最后应用余弦定理结合值域求解.