2025人教版八年级数学上册同步训练（基础+提升）运用平方差公式因式分解（学生版+详解版）

14.3.2运用平方差公式因式分解

夯实基础篇

一、单选题：

I.下列多项式中能用平方差公式分解因式的是（）

A.-a2-b~B.a2+(-b)2

C.(F)，(询2D.-«2+l

2.下列等式正确的是()

A..©+产(x+y)(x+y)B.—W+产(y—x)(y+x)

C.一.d+产=(―工+),)(—x—y)D.一9一)2=—(.r+y)(x—y)

3.(—a+l)(a+D(/-l)等于()

4.将多项式/-81分解因式，结果正确的是（）

A.（丁+9）12一9）B.(X2+9)2

C.（x2+9）（x+3）（.r-3）D.（x2-9）2

5.在探索因式分解的公式时，可以借助几何图形来解释某些公式.如图，从左图到右图的变化过程中，解

释的因式分解公式是（）

B.a2-h2=(a+b)(a-h)

C.a2+2ab+b2=(a+b)2D.(a-b)2=(i2-lab+b2

6.若4/-他-4分解因式时有一个因式是2〃+力-c,则另一个因式是（）

A.2a2-b+cB.2a1-b-cC.2a~+b-cD.2a2+b+c

7.已知a,b满足（3-9。）（々+3+9心=痴-片，且a#劝，则关于〃与人的数量关系，下列说法中正确的

是（）

&a2-a=9b2-3b:=a-3b；③。一初=1；④。+弘=1.

A.①②B.②©C.①④D.③④

二、填空题：

8.因式分解：/-9。=.

9.因式分解：/（加-〃）+25（一-雁）

10.若多项式4/+M能用平方差公式因式分解，则单项式M=.（写出一个即可）

11.若a+2b=3,a-2b=2,贝!JcJ-4/=.

12.已知一个圆的半径为Rem,若这个圆的半径增加2cm,则它的面积增加

13.若卜=4则代数式/-4）尸+1的值为____.

x-2y=-\

14.若M■炉=5,a+b=5,则2a2・2"=.

三、解答题：

15,分解因式：

（1）4«2-9/72；（2）ab2-a\（3）9992-l.（4）-y1-ax-ay.

16.若x+y是9的算术平方根，x-），的立方根是-2,求/-V的值.

17.如图，大小两圆的圆心相同，已知它们的半径分别是Rem和em,求它们所围成的环形的面积.如果

R=8.45,r=3.45呢？（先取3.14）

18.在（f-2x+a）（3x+。）的运算结果中，V的系数为t,x的系数为_7,求处》的值并对式子4aF+从进

行因式分解.

能力提升篇

一、单选题：

1.对于任意整数〃,多项式（〃+?）2-/都能够被（）

A.2整除B.〃整除C.（n+7）整除D.7整除

2.小明在抄因式分解的题目时，不小心漏抄了x的指数，他只知道该数为不大于10的正整数，并且能利用

平方差公式因式分解，他抄在作业本上的式子是丁）-4/，则这个指数的可能结果共有（）

A.2种B.3种C.4种D.5种

3.如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”.如4=22-02,口=42

-22,20=62・42,因此4,12,20都是“神秘数”，则下面哪个数是“神秘数”()

A.56B.60C.62D.88

二、填空题：

4.若(202V-4)(20202-4)=2023x2019x201则用=—.

5.请阅读以下因式分解的过程：

+6。+8

=a'+6〃+9-1

=(<7+3)2-12

=[(«+3)+1][(«+3)-1]

=(aI4)(。I2).

这种因式分解的方法叫做配方法.

请用配方法分解因式：x2+2x-3=

6.如图，有一张边长为x的正方形ABC。纸板，在它的一个角上切去一个边长为y的正方形AEFG,剩下

图形的面积是32,过点尸作"7_LQC,垂足为凡将长方形G";。切下，与长方形EBC77重新拼成一个长

方形，若拼成的长方形的较长的一边长为8,则正方形人4C。的面积是

7.如图，边长为〃的大正方形中有一个边长为〃的小正方形，如图2是由图1中阴影部分拼成的一个长方

形.

图1图2

A.炉+/=(x+y)(x+y)B.—x2+},2=(y—x)(y+x)

C.一炉+俨=(—x+y)(—x-y)D.一/一产二一(工+),)(x—j)

【答案】B

【分析】把各个选项右边乘开看是否与左边相等.

【详解】A.右边二/+2口+)%与左边不相等，故A选项错误，不符合题意；

B.右边三区工2=-12+、,2,与左边相等，故B选项正确，符合题意：

C.右边=(-幻2-)三工2_产，与左边不相等，故C选项错误，不符合题意；

D.右边二(d-尸尸-0+/，与左边不相等，故D选项不符合题意.

故选B

【点睛】本题考查了整式乘法与因式分解的关系：整式乘法与因式分解互为逆运算.通过把等

号右边的整式乘法展开看是否与左边的多项式相等，可以判断从左到右的因式分解是否正

确.掌握这一方法是解题的关键.

3.(-〃+1)(4+1乂/_1)等于()

A.a4B.-a4+1C.-a4+2a2-1D.1-a4

【答案】C

【分析】根据平方差公式，完全平方公式进行计算即可求解.

【详解】解:原式=(1一叫(/_1)=_(。2一])2=_/+2/_].

故选C.

【点睛】本题考查了平方差公式与完全平方式，掌握乘法公式是解题的关键.

4.将多项式/-81分解因式，结果正确的是()

A.(f+9乂f_9)B.(X2+9)2C.(X2+9)(.V+3)(X-3)D.(X2-9)2

【答案】C

【分析】运用平方差公式进行因式分解即可.

【详解】解：原式=(1-9)(/一9)

=(X+3)(X-3)(X2+9)

故选：C

【点睛】本题主要考查因式分解计算，主要因式分解过程中应分解彻底，是一个易错点.

5.在探索因式分解的公式时，可以借助几何图形来解释某些公式.如图，从左图到右图的变

化过程中，解释的因式分解公式是（

A.(a+b)(a-b)=a2-b2B.a2-b2=(a+b)(a-b)

C.a2+2ab+b2=（a+b）2D.(a-b)2=a2-2ab+b2

【答案】B

【分析】由面积相等列式可得答案.

【详解】解：从左图到右图的变化过程中，由面积相等可得/-6=（4+勿（〃-切，

故选：B.

【点睛】本题考查了平方差公式的几何背景，利用两个图形的面积相等列式是关键，属于基础

题.

6.若4/-S-C『分解因式时有一个因式是2/+。-c,则另一个因式是（）

A.2a2-b+cB.2a2-b-cC.2a2+b-cD.2a2+b+c

【答案】A

【分析】直接运用平方差公式进行因式分解即可求解.

【详解】解：4/一（〃一。『=（2+0）（2/+6—。

故选：A.

【点睛】本题主要考查了运用平方差公式进行因式分解，熟练运用平方差公式是解答此题的关

键.

7.已知。，〃满足（3-%）（〃+〃）+9必=4〃-/,且。工的，则关于。与〃的数量关系，下列说法

中正确的是（）

®a2-a=9b2-3b;@（a-3b）'=a-3b；③。-3Z>=1；④a+m=1.

A.①②B.②③C.①④D.③④

【答案】C

【分析】将等式整理即可得出①，根据因式分解及即可得到④.

【详解】解：*/(3-96)(。+:)+9出?=4〃一层，

；・3〃+3b~9ab~9b1+9ab=4a-cr

a1-a=9b2-3b

a2-9b2=a-3b

故①正确，

/.(a+3Z?)(a-3b)=a-3b,

•:娟b,

。-3厚0,

，〃+3。=1.

故④正确，

故选：C.

【点睛】本题主要考查了多项式乘多项式及因式分解，掌握因式分解是解题关键.

二、填空题：

8.因式分解：/-%=.

【答案】a(a+3)(a-3)

【分析】应先提出公因式小再运用平方差公式分解.

【详解】原式=。("一9)

=a(.+3)(a—3),

故答案为：。(。+3)(々-3).

【点睛】本题考查了提公因式和公式法进行因式分解的能力，一个多项式有公因式首先提取公

因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止.

9.因式分解:工2(〃?-")+25("-"?)

【答案】(in-n)(x+5)(x-5)

【分析】变形后提取公因式，再用平方差公式因式分解即可.

【详解】解：原式

=(m-n'iix2-25)

=[〃?—〃)(x+5)(x—5)

【点睛】本题考查了因式分解，能熟练掌握提公因式法和公式法因式分解是解决本题的关键.

10.若多项式4/+M能用平方差公式因式分解，则单项式M=.(写出一个即可)

【答案】一4(答案不唯一)

【分析】根据平方差公式的特点：两项平方项，符号相反.所以用是个平方项且其符号为“，，

只要符合这个特点即可.

【详解】答案不唯一.如42,-4等.

【点睛】本题考查了用平方差公式进行因式分解,是开放型题目，熟记公式结构是解题的关键，

注意M中字母不要用m如果用原多项式就可以合并同类项而变成单项式了.

11.若a+2Z?=3,a-2b=2,贝l]/-4//=.

【答案】6

【分析】利用平方差公式分解因式求解即可.

【详解】解：彻("》)

22

Aa-4/?=2?：,

故答案为：6.

【点睛】本题主要考查平方差公式在因式分解里的运用，熟练运用平方差公式是解题关键.

12.己知一个圆的半径为Rem,若这个圆的半径增加2cm,则它的面积增加

【答案】兀(4R+4)cm2

【分析】半径为Rem的圆的面积是SE,若这个圆的半径增加2cm,则其面积是S2=MR+2)

2,用增加后的圆的面积减去增加前圆的面积，利用平方差公式计算即可.

【详解】VS2-5I=K(R+2)2_兀收，

=7i(R+2-R)(R+2+R),

=41(R+1),

・•・它的面积增加4兀(R+l)cm2.

故答案为兀(4R+4)cm2.

【点睛】本题考查了平方差公式，比较简单，关键是熟悉圆的面积公式.

13.若「十；尸4则代数式人4y2+1的值为______.

=-1

【答案】-3

【分析•】根据平方差公式因式分解，再整体代换即可求出答案.

【详解】解：由题意，

原式=(x+2y)(x-2y)+l

=4x(-1)+1

=Y+1

=-3.

故答案为：-3.

【点睛】本题考查因式分解，解题的关键是熟练运用平方差公式，本题属于基础题型.

14,若尻=5,a+b=5f则2〃2-2灿=.

【答案】6

【分析】运用公式法进行因式分解，由/-从=5,a+b-5,得(〃+/?)(«-/?)=5,a-b=l,那么

2〃=6,进而解决此题.

【详解】解：,・・层出=5,

(a+b)(a-b)=5,

*.*a+b=5,

a-b-1,2a=6,

.・.2。2一2心2心一切=6x1=6.

故答案为：6.

【点睛】本题主要考查了运用公式法进行因式分解以及代数式求值，熟练掌握运用公式法进行

因式分解以及代数式求值是解题的关键.

三、解答题：

15.分解因式:

(1)4«2-9/r；(2)ab2-a；(3)9992-I.(4)x2-y2-ax-ay.

【详解】解：(1)原式=(%+3"勿-初)；

(2)ah2-a,

=a(Z?2-1),

=a(〃+l)(/?-1)；

(3)解：原式=(999+1)(999-1)

=1000x998

=998000.

11

(4)x-y-ax-ayf

=Cx+y)(x-y)-a(x+y),

=(x+y)(x-y-a).

【点睛】本题考查了提公因式法与公式法分解因式，要求灵活使用各种方法对多项武进行因式

分解，一般来说如果可以先提取公因式的要先提取公因式，再考虑运用公式法分解因式，分解

因式要彻底是解题关键.

16.若x+y是9的算术平方根，的立方根是-2,求f-y2的值.

【答案】-24

【分析】利用算术平方根与立方根的含义求解工+)和工一)，可得答案.

【详解】解：・・・x+y是9的算术平方根，

.•.x+)=3,

•・•工-)，的立方根是一2,

，x一产-8,

/.?-/=(x+y)(x~y)=24,

故答案为：-24.

【点睛】本题考查的是算术平方根与立方根的含义以及因式分解，掌握算术平方根与立方根的

含义以及平方差公式是解题的关键.

17.如图，大小两圆的圆心相同，已知它们的半径分别是Rem和en,求它们所围成的环形的

面积.如果R=8.45,r=3.45呢？面取3.14)

【分析】围成的环形的面积=大圆的面积一小圆的面积，圆的面积=乃产，可列出代数式，并代

入数据可求值.

【详解】解：围成的环形的面积为:兀R2—几户.

当R=8.45,/=3.45时：

兀R'—兀r2=8.45?乃一3.45,乃=59.5乃,

♦.・忱=3.14),

:•JTR，-兀r2=186.83.

【点睛】本题考查列代数式和代数式求值，根据围成的环形的面积=大圆的面积一小圆的面积，

然后代数求值.

18.在(W-2x+a)(3x+3的运算结果中，产的系数为与，工的系数为-7,求出力的值并对式子

4加+〃进行因式分解.

【答案】a=-\,b=2,4（l+.r）（l-x）

【分析】先计算多项式乘以多项式，再结合题意可得力-6=~4,3a-2b=T,解方程组求解〃力

的值，再利用平方差公式分解因式即可.

【详解】解：・・・卜2-2»〃）（3/+与

=3炉+bx2-6x2-2bx+3ax+ab

=3『+（。-6）x2+（-%+%）

.・・b-6=T,3«-2Z?=-7

解得：a=-\,b=2

4ar2+b2+4=4（1+x）（l-x）.

【点睛】本题考查的是多项式乘以多项式，多项式的因式分解，二元一次方程组的解法，理解

题意列出方程组求解，力的值是解本题的关键.

能力提升篇

一、单选题：

1.对于任意整数〃，多项式（〃+7）2・/都能够被（）

A.2整除B.〃整除C.（什7）整除D.7整除

【答案】D

【分析】先利用平方差公式因式分解，即可求解.

【详解】解：（〃+7）2一〃2

=（〃十7十〃）（〃十7一〃）

=7（2〃+7）,

・・・对于任意整数〃，多项式（〃+7）2■层都能够被7整除.

故选：D

【点睛】本题主要考查了利用平方差公式因式分解，熟练掌握平方差公式是解题的关键.

2.小明在抄因式分解的题目时，不小心漏抄了x的指数，他只知道该数为不大于10的正整数，

并且能利用平方差公式因式分解，他抄在作业本上的式子是/）-4/，则这个指数的可能结果

共有（）

A.2种B.3种C.4种D.5种

【答案】D

【分析】能利用平方差公式分解因式，说明漏掉的是平方项的指数，只能是偶数，又只知道该

数为不大于10的正整数，则该指数可能是2、4、6、8、10五个数.

【详解】解：・・,当这个指数是偶次方时，这个多项式能利用平方差公式因式分解，

又因为该指数为不大于10的正整数，

・•・该指数可能是2、4、6、8、10五个数.

故选：D.

【点睛】本题考杳了因式分解-运用公式法.能熟练掌握平方差公式的特点，是解答这道题的

关键，还要知道不大于就是小于或等于.

3.如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数如4=

22-。2,12=42-22,20=62-42,因此4,12,20都是“神秘数”,则下面哪个数是“神秘数”

()

A.56B.60C.62D.88

【答案】D

【分析】设这两个连续偶数分别2〃八2m+2(I为自然数),则“神秘数”=(2〃什2)Z(2加)2=

(2〃z+2+2m)(2/w+2-2/«)=4(2m+l),因为m是自然数,要判断一个数是否是“神秘数”,只需

根据该数=4(2加+1)列方程求解即可，若解出机是自然数就符合，否则不符合.

【详解】解：设这两个连续偶数分别2〃?、2m+2(加为自然数)，

・\“神秘数”=(2m+2)2-(Im)2=(2m+2+2r?i)(2m+2-2m)=4(2m+l),

A、若4(2"?+1)=56,解得〃尸趣，错误；

B、若4(2"?+1)=60,解得tn-1,正确;

29

C若4(2m+l)=62,解得〃尸,，错误;

4

71

D、若4(2/〃+1)=88,解得"2二5，错误；

故选:B.

【点睛】此题考查了利用平方差公式进行因式分解，熟练掌握平方差公式以及对题中新定义的

理解是解题的关键.

二、填空题：

4.若(202P-4)(20202-4)=2023x2019x2018m,则加=—.

【答案】2022

【分析】将等式左边利用平方差公式进行分解因式，再利用等式性质即可求值.

【详解】解：(20212-4)(2O2O2-4)=2023x2019x2018///,

(2021+2)(2021-2)(2()20+2)(2020-2)=2023x2019x2018/7?,

2023x2019x2022x2018=2023x2019x2018/?/,

〃?=2022,

故答案为：2022.

【点睛】本题主要考查平方差公式的因式分解.，熟练应用公式是解题的关键.

5.请阅读以下因式分解的过程：

a2+6a+S

-cr+6〃+9-1

=(<7+3)2-12

=[{ai3)i1][(«i3)1]

=(a+4)(a+2).

这种因式分解的方法叫做配方法.

请用配方法分解因式：f+2x-3=.

【答案】(x+3)(X-1)

【分析】根据题干中配方法，构造平方差公式进行因式分解.

【详解】解：r+2x-3

=x2+2x+l-4

=(X+1)2-22

=[(x+1)+2][(x+1)-2]

=M3)(x-1).

故答案为：(x+3)(x-1).

【点睛】本题主要考查因式分解，熟练掌握因式分解是解决本题的关键.

6.如图，有一张边长为x的正方形A8CO纸板，在它的一个角上切去一个边长为)，的正方形

AEFG,剩下图形的面积是32,过点/作尸〃_LOC,垂足为".将长方形GF//D切下，与长方

形E8CH重新拼成一个长方形，若拼成的长方形的较长的一边长为8,则正方形ABC。的面积

是一.

【答案】36.

【分析】根据题意列出f—)/=32,升尸8,求出x・y=4,解方程组得到X的值即可得到答案.

【详解】由题意得：/一产=32»+,，=8

:x2-y2=（x+y）（^->,）,

：.x-y=4t

x—v=4x=6

，得

{“8）=2

・•・正方形ABCD面积为V=36,

故填：36.

【点睛】此题考查平方差公式的运用，根据题意求得六)=4是解题的关键，由此解方程组即可.

三、解答题：

7.如图，边长为。的大正方形中有一个边长为〃的小正方形，如图2是由图1中阴影部分拼成

的一个长方形.

图1图2

(1)请问用这两个图可以验证公式法因式分解中的哪个公式？试利用这个公式计算:

（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）（2,6+1）（232+1）+1.

(2)若图(1)中的阴影部分的面积是12,a-b=3f求〃，的值.

【答案】(1)a2-b2=(a+b)(a-b),264.(2)150

【分析】(1)根据两个图形的面积相等，即可写出公式,功2=(a+h)从左到右依次利

用平方差公式即可求解；

(2)根据a2-h2=(a+b)(a・b)=12,把a-b的值代入即可求得a+b的值,进而求出a,〃的值，

代入求值即可.

【详解】解：(1)图1中阴影部分的面积是序，图2中阴影部分的面积是(a+b)(〃北)，

/.a2-b2=(a+b)(a-b),

.・.(2+1)(22+1)(24+1)(2S+1)(2,6+1)(232+1)+1

=(2-1)(2+1)(22+1)(24+l)(28+l)(201)(232+l)+1

2,6

=(22-1)(2+l)(2/1)(28+1)(2+l)(232+1)+1

=(24-l)Si