高考数学一轮复习 专题03 三角函数的图象与性质（零点或根的问题）(典型题型归类训练)（解析版）

专题03三角函数的图象与性质（零点或根的问题）(典型题型归类训练)目录TOC\o"1-1"\h\u一、必备秘籍 1二、典型题型 1三、专项训练 7一、必备秘籍实根问题，换元法令将函数化简为，在利用正弦函数的图象来解决交点（根，零点）的问题.二、典型题型1．（2023·四川成都·石室中学校考模拟预测）函数的图象由函数的图象向左平移个单位长度得到，则的图象与直线的交点个数为（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【详解】因为向左平移个单位所得函数为，所以，而显然过与两点，作出与的部分大致图像如下，

考虑，即处与的大小关系，当时，，；当时，，；当时，，；所以由图可知，与的交点个数为.故选：C.2．（2023·浙江·校联考二模）函数的图象向左平移个单位长度后对应的函数是奇函数，函数．若关于x的方程在内有两个不同的解α，β，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】函数的图象向左平移个单位长度后，所得函数的解析式为，因为所得函数为奇函数，所以，则有，因为，所以，所以，，因为，所以，所以由，可得，所以，且，则，所以，故选:B.3．（2023·河南·校联考模拟预测）已知函数满足，若在区间上恰有3个零点，则实数t的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】由题意可知，的最小正周期，因为，可知为的一条对称轴，所以在之后的零点依次为，，，，…，若在区间上恰有3个零点，所以.故选：C.4．（2023·上海嘉定·校考三模）若关于的方程在上有实数解，则实数的取值范围是.【答案】【详解】原方程等价于即函数，在上有交点，∵，∴，，故，则.故答案为：5．（2023·全国·长郡中学校联考模拟预测）将函数图象上各点的横坐标变为原来的倍，然后再向右平移个单位得到函数的图象，则的解析式为；若方程在的解为、，则.【答案】【详解】将函数图象上各点的横坐标变为原来的倍，然后再向右平移个单位得到函数的图象，则，当时，，由题意可得，即，令，得，可得函数的图象关于直线对称，，所以，，且，，，，，，.故答案为：；.6．（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨市第六中学校校考三模）已知函数，其图象的一条对称轴与相邻对称中心的横坐标相差，______，从以下两个条件中任选一个补充在空白横线中.①函数的图象向左平移个单位长度后得到的图象关于y轴对称且；②函数的图象的一个对称中心为且.(1)求函数的解析式；(2)将函数图象上所有点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象，若函数在区间上恰有3个零点，求t的取值范围.【答案】(1)(2)【详解】（1）由题意可得，，由于其图象的一条对称轴与相邻对称中心的横坐标相差，故,故.若选①，函数的图象向左平移个单位长度后得到的图象对应的函数为，由题意知该函数为偶函数，故，由于且，即，故，故；若选②，函数的图象的一个对称中心为且，则，由于且，即，故，故；（2）由题意可得，由于在区间上恰有3个零点，故，即.7．（2023秋·新疆乌鲁木齐·高三乌鲁木齐市第70中校考阶段练习）已知函数（其中）的部分图像如图所示，将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象．

(1)求与的解析式；(2)令，求方程在区间内的所有实数解的和．【答案】(1)，(2)【详解】（1）由图可知，，函数的周期，所以，所以，又，所以，所以，所以，又，所以，所以，因为将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，所以；（2），由，得，因为，所以，所以或或或，所以或或或，所以方程在区间内的所有实数解的和为．三、专项训练1．（2023·陕西西安·西安一中校联考模拟预测）将函数图象所有点的纵坐标伸长到原来的倍，并沿x轴向左平移个单位长度，再向上平移2个单位长度得到的图象．若的图象关于点对称，则函数在上零点的个数是（

）．A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【详解】将图象所有点的纵坐标伸长到原来的倍，得到的图象，继续沿x轴向左平移个单位长度，再向上平移2个单位长度得到的图象，∵的图象关于点对称，得，．又∵，∴，∴．令，当时，有，由，可得，，结合函数的图象可得，在上只有2个解，即函数在上零点的个数是2．故选：B.2．（多选）（2023·山东菏泽·山东省鄄城县第一中学校考三模）已知函数，把函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，若时，方程有实根，则实数的取值可以为（

）A． B． C． D．【答案】CD【详解】因为，将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，则，当时，，则，由得，可得，所以，，解得，故选：CD.3．（多选）（2023·福建三明·统考三模）已知函数的图象与直线的相邻两个交点的距离为，且对于任意，不等式恒成立，则（

）A．B．的取值范围为C．在区间上单调递增D．若实数使得方程在恰有，，三个实数根，则的最小值为【答案】AC【详解】由题意，，，图象与直线相邻两个交点的距离为，最小正周期，，A正确．此时，，当时，，又，，，对，不等式恒成立，，解得，故B错误．对于，当时，，，，．所以，在此区间上单调递增，故C正确．对于，令，则当时，，作出在上的图象，如图所示，设与图象的交点横坐标从左至右依次为，，，由图可知：，关于对称，，关于对称，故，，．又，，，所以，由可得，，即的最小值为，D错误．故选：AC．4．（2023·黑龙江大庆·大庆中学校考模拟预测）将函数的图象向左平移个单位得到函数的图象，若在区间上有且仅有一个零点，则实数m的一个取值为.【答案】（答案不唯一）【详解】由题设，在，则，要使在区间上有且仅有一个零点，所以，即，故满足要求.故答案为：（答案不唯一）5．（2023·陕西咸阳·武功县普集高级中学校考模拟预测）已知，当（其中）时，有且只有一个解，则的取值范围是.【答案】【详解】由于，所以有且只有一个解，即有且只有一个解，因为，所以，由题意知，解得，即的取值范围是为，故答案为：6．（2023·辽宁鞍山·鞍山一中校考二模）函数的部分图象如图所示．

(1)求函数的解析式；(2)将函数的图象先向右平移个单位，再将所有点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象，若关于的方程在上有两个不等实根，求实数的取值范围，并求的值．【答案】(1)(2)，【详解】（1）由图可知，，∵，∴，∴，又，∴，，∴，由可得，∴；（2）将向右平移个单位得到，再将所有点的横坐标缩短为原来的，得到，令，则，易知函数在上单调递增，在上单调递减，又，，，∴；由对称性可知，∴，∴，∴．7．（2023·宁夏银川·校考模拟预测）已知函数（，）.再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择能确定函数的解析式的两个作为已知.条件①：函数的最小正周期为；条件②：函数的图象经过点；条件③：函数的最大值为.(1)求的解析式及最小值；(2)若函数在区间（）上有且仅有1个零点，求的取值范围.【答案】(1)选择①②，的最小值为；选择①③，的最小值为(2)选择①②；选择①③【详解】（1）由题可知，，选择①②：因为，所以，又因为，所以．所以．当，即时，，所以函数的最小值为．选择①③：因为，所以，又因为函数的最大值为，所以．所以，当，即时，．所以函数的最小值为．选择②③：因为，所以．又因为函数的最大值为，所以，与矛盾，不符合题意．（2）选择①②：因为,，所以，又因为在区间（）上有且仅有1个零点，所以，所以，所以．选择①③：因为,，所以，又因为在区间（）上有且仅有1个零点，又时，或，所以，所以，所以．8．（2023·福建宁德·校考模拟预测）已知函数.(1)若方程在上有且只有一个实数根，求实数m的取值范围；【答案】(1)或；【详解】（1）依题意，，当时，，则当时，单调递增，函数值从增大到2，当时，单调递减，函数值从减小到，方程在上有且只有一个实数根，即直线与函数在的图象只有一个公共点，在同一坐标系内作出直线与函数在的图象，如图，

观察图象，当或时，直线与函数在的图象只有一个公共点，所以实数m的取值范围是或.9．（2023秋·辽宁·高三校联考阶段练习）已知曲线（，）相邻的两条对称轴之间的距离为，若将函数的图象先向左平移个单位，再向下平移个单位，得到函数的图象，且为奇函数.(1)求函数的的解析式和其图象的对称中心；(2)若关于的方程在区间上有两个不相等的实数根，求实数的取值范围.【答案】(1)；对称中心为，(2)【详解】（1）由题意可知，∴，∴，将函数的图象先向左平移个单位，再向下平移个单位后得到的新函数为：，又为奇函数，且定义域为，∴且，，，∴，，∴，令，，解得，，∴的对称中心为，.（2）由（1）可知，设，∵，∴，∴，∴，由关于的方程在区间内有两个不相等的实数根，可得在区间内仅有一个实数根，且另一个根不等于1或在内有两个相等的根，令，则，故或，解得或.所以.10．（2023秋·安徽六安·高三六安一中校考阶段练习）已知函数(1)求函数在区间上的单调递减区间；(2)将函数的图象上所有的点向右平移个单位，再将所得图象上每一个点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），再向上平移个单位，得到函数的图象.当时，方程恰有三个不相等的实数根、、，求实数的取值范围和的值.【答案】(1)(2)，【详解】（1）解：，因，则，又在上单调递增，在上单调递减，由可得，即函数在区间上的单调递减区间为.（2）解：将函数的图象上所有的点向右平移个单位，可得到函数的图象，再把所得图象上每一个点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），可得到函数的图象，再将所得图象向上平移个单位，可得到函数的图象，当时，，令，则，令，令，可得，其中，作出函数与函数在时的图象如下图所示：

由图可知，当时，函数与函数在时的图象有三个交点，设，其中，则点与点关于直线对称，点与点关于直线对称，所以，，，则，所以，，解得.11．（2023秋·河南新乡·高三卫辉一中校联考阶段练习）已知函数相邻两条对称轴的距离为，将的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，且的图象关于原点对称．(1)求；(2)设函数，当时，方程有且仅有两个实数根，求实数的取值范围．【答案】(1)(2)【详解】（1）解，因为函数相邻两条对称轴的距离为，可得，即，所以，即，将函数的图象向右平移个单位长度，可得，因为的图象关于原点对称，所以，又因为，所以，所以．（2）解：由（1）可知，，因为，所以，当时，即，可得，当时，即，可得，当时，即，可得，要使得有且仅有两个实数根，即和的图象有两个不同的交点，如图所示，可得，即实数的取值范围是．

12．（2023秋·安徽六安·高三六安二中校联考阶段练习）已知，其中，，，且满足，．(1)求的解析式；(2)若关于的方程在区间上总有实数解，求实数的取值范围．【答案】(1)；(2)．【详解】（1）由题意，函数，由得，，又因为，由，得：，所以，所以的解析式为：.（2）由（1）得，因为，所以，所以，则有，即又因为方程在区间上总有实数解，所以在区间上成立，所以，，所以，所以实数的取值范围为.13．（2023春·黑龙江齐齐哈尔·高一齐齐哈尔中学校考期中）已知函数的最小正周期为.(1)求的解析式及对称轴方程；(2)若关于x的方程在上有两个不等实数解，.①求实数m的取值范围；②求的值.【答案】(1)，对称轴方程(2)①；②0．【详解】（1），的最小正周期为，，，解得，故；由，解得的对称轴方程.（2）①，即，关于的方程在区间上有相异两解，，则函数与的图象在区间上有两个交点，，，在上单调递增，在上单调递减，且，在上的图象如图：

由图象可知，若函数与的图象在区间上有两个交点，则，故实数的取值范围为；②由（1）和正弦函数的对称性可知，与关于直线对称，则，解得，故．14．（2023秋·内蒙古通辽·高三校考阶段练习）已知函数．(1)求的最小正周期．(2)求的单调递增区间．(3)若关于的方程在上有解，求实数m的取值范围．【答案】(1)最小正周期为(2)．(3)【详解】（1）函数故函数的最小正周期为．（2）令，解得，∴单调递增区间为．（3）因为，所以，所以，所以的值域为，关于的方程在上有解，则关于的方程在上有解，所以，所以，所以实数的取值范围是．15．（2023·全国·高三专题练习）已知向量，函数，．(1)当时，求的值；(2)若的最小值为﹣1，求实数m的值；(3)是否存在实数m，使函数，有四个不同的零点？若存在，求出m的取值范围；若不存在，说明理由．【答案】(1)(2)(3)存在，【详解】（1），当时，，则；（2）∵，∴，∴，则，令，则，则，对称轴，①当，即时，当时，函数取得最小值，此时最小值，得（舍），②当，即时，当时，函数取得最小值，此时最小值，得或（舍去），③当，即时，当时，函数取得最小值，此时最小值，得（舍），综上：若的最小值为﹣1，则实数．（3）令，得或，∴方程或在上有四个不同的实根，则，解得，则，即实数m的取值范围是．16．（2023秋·辽宁沈阳·高三新民市高级中学校考开学考试）已知函数.(1)求的单调递增区间；(2)方程在上的两解分别为，求的值.【答案】(1)(2)【详解】（1），由，得，所以的单调递增区间为：.（2）设，则，由于正弦函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，由，得，因为方程在上的两解分别为，则，必有，所以，，同理，，由于且，则，由，可得.17．（2023春·重庆长寿·高一重庆市长寿中学校校考期中）已知函数为奇函数，且图象的相邻两对称轴间的距离为.(1)求的解析式；(2)当时，求的单调递减