5.4.2　正弦函数、余弦函数的性质（第2课时）单调性与最值（教学课件）数学人教A版2019必修第一册

第

5章三角函数人教A版2019必修第一册5.4.2第2课时正弦函数、余弦函数的单调性与最值学习目标1.理解正弦函数、余弦函数的单调性具有周期性变化的规律2.能够利用函数的单调性解决比较函数值的大小以及求函数的最值、值域等问题目录CATALOG01.正弦函数、余弦函数的单调性03.题型强化训练02.正弦函数、余弦函数的最值04.小结及随堂练习01正弦函数、余弦函数的单调性与最值5.4.2第2课时正弦函数、余弦函数的单调性与最值导入新知：音乐中的“周期律”教师播放两段音频：①

纯音（正弦波）；②

和弦（复合波）。提问：“为何音高由频率决定？若频率加倍（周期减半），音高如何变化？这与sinx的单调性有何关联？”导入新知：导航软件的“路径规划”展示导航界面：汽车从A到B的路径为一段“余弦曲线”地形。提问：“司机何时在‘上坡’（单调增）？何时‘海拔’最高（最大值）？如何用数学描述？’’导入新知同学们，前面我们研究了正弦函数、余弦函数的周期性和奇偶性，根据我们之前学习指数函数和对数函数的经验，三角函数还有哪些性质有待我们去研究呢？请同学们继续观察正弦曲线和余弦曲线，它们的定义域、值域、单调性有什么样的规律呢？这就是我们本节课要研究的问题．【详解】由已知可得，，所以有.故选：B.牛刀小试

求含sinx的函数的最小正周期学习新知3.单调性x↗0↗↗↗sinx-1↗0↗1↘0↘-1学习新知学习新知x↗↗0↗↗cosx-1↗0↗1↘0↘-1学习新知学习新知记忆方法：yxoyxo

学习新知3.最大值与最小值从上述对正弦函数、余弦函数的单调性的讨论中容易得到，学习新知【详解】由已知可得，，所以有.故选：B.牛刀小试

求cosx（型）函数的最值【详解】由已知可得，，所以有.故选：B.牛刀小试

求cosx(型)函数的值域【详解】由已知可得，，所以有.故选：B.牛刀小试

利用函数单调性求最值或值域、求sinx的函数的单调性4.对称轴与对称中心正弦函数的图像余弦函数的图像问题：它们的图像有何对称性？yy学习新知中心对称：将图像绕对称中心旋转180度后所得的曲线能够和原来的曲线重合．轴对称：将图像绕对称轴折叠180度后所得的曲线能够和原来的曲线重合．学习新知正弦函数的图像y对称轴：对称中心：学习新知余弦函数的图像y对称轴：对称中心：学习新知02正弦函数、余弦函数的最值5.4.2第2课时正弦函数、余弦函数的单调性与最值【详解】由已知可得，，所以有.故选：B.牛刀小试

利用正弦型函数的单调性求参数【详解】由已知可得，，所以有.故选：B.牛刀小试

利用正弦型函数的单调性求参数导入新知解:

容易知道，这两个函数都有最大值、最小值．导入新知学习新知

【详解】由已知可得，，所以有.故选：B.牛刀小试

比较正弦值的大小、比较指数幂的大小、比较对数式的大小【详解】由已知可得，，所以有.故选：B.牛刀小试

利用正弦型函数的单调性求参数、求sinx的函数的单调性学习新知分析:可利用三角函数的单调性比较两个同名三角函数值的大小．为此，先用诱导公式将已知角化为同一单调区间内的角，然后再比较大小．学习新知学习新知

【详解】由已知可得，，所以有.故选：B.牛刀小试

利用正弦型函数的单调性求参数学习新知【反思感悟】比较三角函数值大小的步骤(1)异名函数化为同名函数．(2)利用诱导公式把已知角转化到同一单调区间上．(3)利用函数的单调性比较大小．学习新知学习新知学习新知学习新知

【详解】由已知可得，，所以有.故选：B.牛刀小试

求正弦（型）函数的对称轴及对称中心【详解】由已知可得，，所以有.故选：B.牛刀小试

求正弦（型）函数的对称轴及对称中心学习新知【反思感悟】求正、余弦函数的单调区间的策略结合正、余弦函数的图象，熟记它们的单调区间．在求形如y＝Asin(ωx＋φ)(其中A，ω，φ为常数，且A≠0，ω>0)的函数的单调区间时，应采用“换元法”整体代换，将“ωx＋φ”看作一个整体“z”，即通过求y＝Asinz的单调区间而求出原函数的单调区间．求形如y＝Acos(ωx＋φ)(其中A，ω，φ为常数，且A≠0，ω>0)的函数的单调区间时，方法亦如此．03题型强化训练5.4.2第2课时正弦函数、余弦函数的单调性与最值能力提升题型一求正弦型、余弦型函数的单调区间

能力提升题型一求正弦型、余弦型函数的单调区间【感悟提升】求正弦型、余弦型函数单调区间的技巧求形如y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)的函数的单调区间时，若ω为负数，则要先把ω化为正数．当ω>0，A>0时，把ωx＋φ整体放入y＝sinx或y＝cosx的单调递增区间内，求得的x的范围即函数的单调递增区间；整体放入y＝sinx或y＝cosx的单调递减区间内，可求得函数的单调递减区间．当ω>0，A<0时，上述方法求出的区间是其单调性相反的区间．最后，需将最终结果写成区间形式．能力提升题型一求正弦型、余弦型函数的单调区间解题技巧：（求单调区间的步骤）(1)用“基本函数法”求函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)或y＝Acos(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的单调区间的步骤：第一步：写出基本函数y＝sinx(或y＝cosx)的相应单调区间；第二步：将“ωx＋φ”视为整体替换基本函数的单调区间(用不等式表示)中的“x”；第三步：解关于x的不等式．(2)对于形如y＝Asin(ωx＋φ)的三角函数的单调区间问题，当ω＜0时，可先用诱导公式转化为y＝－Asin(－ωx－φ)，则y＝Asin(－ωx－φ)的单调递增区间即为原函数的单调递减区间，单调递减区间即为原函数的单调递增区间．余弦函数y＝Acos(ωx＋φ)的单调性讨论同上．另外，值得注意的是k∈Z这一条件不能省略．能力提升题型二利用三角函数的单调性比较大小

能力提升题型二利用三角函数的单调性比较大小【感悟提升】比较三角函数值大小的方法比较两个同名三角函数值的大小，先利用诱导公式把两个角化为同一单调区间内的角，再利用函数的单调性比较．比较两个不同名的三角函数值的大小，一般应先化为同名的三角函数，然后利用函数的单调性比较．能力提升题型三正弦型、余弦型函数的最值问题

能力提升题型三正弦型、余弦型函数的最值问题【感悟提升】三角函数最值(值域)问题的常见类型及求解方法形如y＝asinx＋b(或y＝acosx＋b)型，可利用正弦函数(或余弦函数)的有界性，注意对a正负的讨论．形如y＝Asin(ωx＋φ)＋b(或y＝Acos(ωx＋φ)＋b)型，可先由定义域求得ωx＋φ的范围，然后求得sin(ωx＋φ)(或cos(ωx＋φ))的范围，最后求得最值．形如y＝asin2x＋bsinx＋c(a≠0)型，可利用换元思想，设t＝sinx，转化为二次函数y＝at2＋bt＋c求最值．t的范围需要根据定义域来确定．能力提升题型四正弦（型）函数的值域（最值）求参数、求正弦（型）函数的对称轴及对称中心能力提升题型四正弦（型）函数的值域（最值）求参数、求正弦（型）函数的对称轴及对称中心

能力提升题型四正弦（型）函数的值域（最值）求参数、求正弦（型）函数的对称轴及对称中心【反思感悟】三角函数的值域(最值)问题的求解方法形如y＝Asinx(或y＝Acosx)型，可利用正弦函数、余弦函数的有界性，注意对A正、负的讨论．形如y＝Asin(ωx＋φ)＋b(或y＝Acos(ωx＋φ)＋b)型，可先由定义域求得ωx＋φ的范围，然后求得sin(ωx＋φ)(或cos(ωx＋φ))的范围，最后求得值域(最值)．求给定区间上最值(值域)的问题，可利用换元思想，设t＝ωx＋φ，转换成y＝Asinx(或y＝Acosx)型的函数求值．04小结及随堂练习5