第五章《直角三角形》单元测试卷-2025-2026学年湘教版八年级数学上册

第五章直角三角形单元测试卷湘教版2025-2026学年八年级上册

总分：120分时间：90分钟

姓名：班级：成绩：

一.单项选择题（每小题4分，满分40分）

题号1345678910

答案

1.以下列各组数为边长，能组成直角三角形的是（）

A.3,4,6B.1,72,>/3C.45,45,90D.8,16,17

2.下列选项中，不能判定两个直角三角形全等的是（）

A.两个锐角对应相等

B.斜边和一直角边分别对应相等

C.两条直角边分别对应相等

D.三条边长分别对应相等

3.三角形的三边长小b,c,满足2"=3+勿2—c?,则此三角形是（）

A.锐角三角形B.直角三角形

C.钝角三角形D.以上均有可能

4.若一直角三角形两边长分别为12和5,则第三边长为（）

A.13B.13或而勺C.13或15D.15

5.如图，已知OA=O8BC工AC于点C,点。对应的数是-2,BC=1,那么数轴上点A所

表示的数是（）

A.>/5B.—>/5

C.乐D.-0

6.如图，以宜角三角形的三边为边或直径，分别向外作王方形、半圆、等边三角形、半圆,

这四个图形中3，S：之间的关系满足SI+S2=*的个数为（）

7.在RtAABC中，ZC=90°,若BC=3,4=30。，则AC的长度为（）

A.6B.3GC.3D.73

8.如图，已知在RtZ\A8c中，NC=90°,8。平分/C3A,交AC于点。，若CO=3,AB=12,

则△A3。的面积为（）

A.9B.12C.18D.36

9.如图，点E在等边VABC的边8c上，BE=4,射线C/）_L8C,垂足为点。，点尸是射

线CO上一动点，点尸是线段A8上一动点，当EP+FP的值最小时，BF=5.则£P+FP这

个最小值是（）

A.9B.10C.5GD.3不

10.如图示，在直角坐标系中，点8、C分别在％轴正、负半轴上，点A在V轴正半轴上，

BD1AC（垂足为。）‘若以=3（。为原点），N的=45。，BD=9五,则点3的坐标

二.填空题（每小题5分，满分20分）

11.如图，点石在/BOA的平分线上，ECJ_08于点。，点/在。4上，若4房=30。，"=3,

则E"=.

12.在直角三角形中，斜边及其中线之和等于12cm,那么斜边长是cm.

13.等边三角形的高长为3,则面积为.

14.如图，长宽高分别为3、2、1的长方体木块上有一只小虫从顶点A出发沿着长方体的外

表面爬到顶点〃，则它爬行的最短路程是.

B

O

F-A

第11题图第14题图

三.解答题(共6小题，总分60分，每题须有必要的文字说明和解答过程)

15.如图，在VABC中，点。在AC边上，NB4D=40,NAHC的平分线交4。于点E,

过点E作所_LAB,交朋的延长线于点尸，且/A律=20,连接OE.

⑴求证：OE平分-49C；

(2)若人4=&人0=5,S=7,且5八8二12,求二的面积.

16.如图1,在RlZ\A8C和Rt二AOE中，ZBAC=ZDAE=90,AB=ACfAO=AE,且

点。在8c边上滑动（点。不与点8,。重合），连接EC.

⑴求证；BD2+CD?=2AD2;

⑵如图2,在四边形A8CD中，ZABC=ZACS=ZADC=45.若%>=17cm,CQ=8cm,

求AO的长；

17.【资料】如图①，这个图案是我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人仅称它

为“赵爽弦图〃，该图通过对图形的切割、拼接，巧妙地利用面积关系证明了勾股定理.

【拓展】根据以上材料，老师将图①进行了拓展：

⑴如图①，若黄实的面积为L所拼得的大正方形的面积为25,每个朱实的面积是；

(2)如图②，将长方形ABC。的四边40、DC、CB、朋分别延长至E、F、G、，，使

得DE=DC=BG=AB,CF=BC=AH=AD,连接E尸、FG、GH、HE.

①求证：EF=GHx

②若A3=4,BC=3,则图中阴影部分图形的面积为.

斐建考朱'

18.如图①，在VA8C中，若A8=6,AC=4,求BC边上的中线A。的取值范围.

【问题解决】

(1)解决此问题可以用如下方法：延长A。到点E,使7)E=AO,再连接的(或将「ACD

绕着点。逆时针旋转180。得到△£BO,把A3、AC,2AD集中在,A3E中，利用三角形三

边的关系即可判断.由此得出中线A。的取值范围是:

【应用】

(2)如图②，在VABC中，点。为边BC的中点，已知A8=10,AC=6,AD=4,求AC

的长；

【拓展】

(3)如图③，在VA8C中，NC=90°,点。是边AB的中点，点M在边AC上，过点。作

DN上DM交边AC于点N,连接MN.已知4A/=1,BN=3,则MN的长为.

19.如图，在等边三角形A8C中，点。是AC的中点，点£是8。延长线上一点，且CE=CD,

DM工BC,垂足为M.

⑴求证：0M垂直平分BE；

(2)若CM=2,求的长责.

E

20.如图，在RtZ\ABC中，ZC=90°,A4=10cm,AC=6cm.动点P从点B出发沿射线8C

以2cm/s的速度移动，设运动的时间为，秒.

⑴若点。运动到8c的中点时，，的值是「

(2)4秒内，若BP=AP,求研的长：

⑶当一为直角三角形时，求/的值.

参考答案

一、选择题

题号12345678910

答案BABBBDBCCB

二、填空题

11.【解】如图，过点£作石。，。八，交。4于点。

•・,点E在N8OA的平分线上，ECLOB,

;ED=EC=3

yZAFE=30°,EDLOA

EF=2ED=6

故答案为：6.

12.【解】解：设斜边的长为mm,则斜边上的中线长度为gnm,

团斜边及其中线之和等于12cm,

0X+—x=12,

2

团x=8,

即斜边长是8cm,

故答案为：8.

13.【解】解：如图，

设三角形A8C的边长为“

^ADIBC

0BD=—AB=-a,

22

在Rt"8。中，BD2+AD2=AB2

团仕力+32=d2,

（2）

解得〃=2石，（负根舍去）

团S=328'3=36.

故答案为：3G.

14.【解】解：由题意有以下路线

路线一，如图1,

H8

22

f\（AB=>/3+3=3N/2

1/I'

AC

国1

路线二，如图2,

回3近<26<回，

因最短距离为3夜.

故答案为；3近.

三、解答题

15.【解】（1）证明：•.£F_L45,交K4的延长线于点产，

/.ZAFE=90°.

ZAEF=2（T,

ZEAF=90°-ZAEF=90°-20°=70°.

•,«ZBAD=40°,

...NDAE=180°-40。-70°=70°.

如图，过点E作于点M,ENiBC于息N,

/加平分NA6C,EhAB,交84的延长线于点尸，

：.EF=EN.

•••/£"=N7）4E=70，

.:AE平分N/ME

；.EF=EM,

/.EM=EN.

•/EM±AD,ENLCD,

二.DE平分/ADC；

（2）解：/。。的面积=\幺。石的面积+2"?。后的面积，

:.-ADEM+-CDEN=\2

22f

:.^（AD+CD）EM=\2t

.■.^x（5+7）EM=12,

:.EM=2,

;.EF=2,

.二ABE的面积=；ABM=；X6X2=6.

16.【解】（1）证明：在油5A8C中，AB=AC,NBAC=90，

.工MC是等腰直角三角形，

ZB=ZACB=45，

在心.4。£中，NZME=90,

AD=AE，

由勾股定理得：DE2=AD2+AE2=2AD2，

vZBAC-ZDAE-90，

ABAD+ADAC=ZDAC+ZCAE,

ZBAD=ZCAE,

在.B4。和二CAE中，

AB=AC

«/BAD=ZCAE,

AD=AE

.\.BAD^^CAE（SAS）t

:.BD=CE,/B=NACE=45，

Z.DCE=ZACB+ZACE=90，

.•iCDE是直角三角形，

由勾股定理得：DE?=CE2+CD?=BD?+CD。,

:.BD2+CD2=2AD2：

（2）过点4作Af_LAO,且使AD=AE,连接。£,CE,如图2所示：

ZE4D=90,

【4）石是等腰直角三角形，E

.•.N4兄=45，A

/\

由勾股定理得：DE=VAD2+AE2=>/2AD»/：

:.AD=—DE,

2

在工A8C中，ZABC=ZACB=45，

二ABC是等腰直角三角形，

.•./W=AC,NR4C=90,NB=NACB=45，图2

/.ZBAC=ZEAD=90，

ZBAC+ZCAD=ZEAD+ACAD,

即N84O=NC4E,

在_"。和▲ACE中，

AB=AC

^BAD=Z.CAE,

AD=AE

:^ABD^ACE（SAS）,

BD=CE—17cm,

v/ADE=45，Z4OC=45，

：.ZCDE=ZADE+ZADC=90，

1瓦心是直角三角形，

在用AEDC中，CD=8cm,CE=\7cm,

由勾股定理得：DE=y]CE2-CD2=Vl72-82=15（cw）

五.,1572

..AD=—DE=—x15=------.

ooo

17.【解」（1）解：团黄实的面枳为1,所拼得的大正方形的面积为25,

团（4-〃『=1,"+从=25,

团=12,

团每个朱实的面积=；岫=6,

故答案为：6；

（2）①证明：回四边形A8CD是长方形，

团AD=BC,CD=AB,?ADC1BCF2ABe?DAB90?,

^DE=DC=BG=AB,CF=BC=AH=AD,

⑦DF=BH,

团HBG^.FDE（SAS）,

0EF=GH；

②解：团人8=4,4C=3,

⑦DE=DC=BG=AB=4,CF=BC=AH=AD=3,

团阴影部分图形的面积=3。42仓43?32我44?437.

故答案为:37.

18.【解】（1）解：延长AO到点E；使。七=4）,连接8E.

团AO是边3c上的中线，

^DC=DB,

AD=DE

/ADC=NEDB,

DC=DB

0CAD^.BED(SAS),

C

0AC—BE.

^\AB-BE\<AE<AB+BE,

B\AB-AC\<AE<AB+AC,

0AB=6,AC=4,

(32<2AD<10

故1<A£><5.

故答案为：1<AD<5.

(2)解：延长4£>到点G；使£>G=A£),连接BG.

团AO是边3。上的中线，

^DC=DB,

AD=DG

^\ZADC=ZGDB,

DC=DB

[3_C4Z注,8Gz)(SAS),

V

G

团AC=6G,ZC4D=ZG.

0A8=10,AC=6,AD=4,

团A8=10,BG=6,AG=2AD=S

^AG2+BG2=AB2.

0ZC4D=ZG=9O°.

^DC=ylAD1+AC2=2713»

故8c=2。。=4万.

(3)解：延长MO到点Q使。Q=M力，连接AQ,NQ.

同点。是AB的中点，DN工DM,

BAD=DB,直线。N是线段MQ的垂直平分线，

田MN=QN,

AD=DB

田(/4OM=N8QQ,

DM=DQ

^..MAD^,QBD(SAS),

A

团4M=3Q,ZA=ZDBQ.

团BQ〃AC,

0ZC=9O°

团NQBN=9()°,

0AM=l,BN=3,

⑦NQ^BM+BQ1=M

0M/V=V(O.

故答案为：Vio.

19.【解】（1）证明：如图，连接以），

•「二ABC是等边三角形，且点。是AC的中点,

.•.NO8C」NA3C」x6()o=30。，ZACB=60°.

22

•：CE=CD,

NCDE=/E.

t-ZACB=ZCDE+ZE,

二.ZE=30°.

/.ZDBC=ZE=30°.

：.LiL)=hl).

又DM工BC,

.•.DM垂直平分战.

（2）解：由（1）可知48=60。，点