2025-2026学年江苏省南京玄武外国语学校九年级（上）9月月考数学试卷【含答案】

第=page11页，共=sectionpages11页2025-2026学年江苏省南京玄武外国语学校九年级（上）9月月考数学试卷一、选择题：本题共6小题，每小题3分，共18分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.下列命题中，是真命题的为（）A.三点确定一个圆 B.同弦所对的圆周角相等

C.对角互补的四边形四点共圆 D.垂直于半径的直线是圆的切线2.如图，内接于，，，为的直径，交于，的延长线交于点，连接，，交于，在不添加其他辅助线的情况下，图中除外，相等的线段共有（

）对．

A.2 B.3 C.4 D.53.如图，在中，，，的内心、外心分别为点、点，且有，则的长度为（

）

A.8 B.6 C. D.4.如图，平行四边形中，，以为直径的交于点E，则的长为（

）

A. B. C.5 D.5.如图，四边形是的内接四边形，，，为上一点，，则的最小值为（）

A. B. C. D.6.如图，平面直角坐标系中，点A的坐标是，点B是上一点，的半径为2，将绕O点顺时针方向旋转得，连接，则线段的最小值为（

）

A. B. C.5 D.6二、填空题：本题共9小题，每小题3分，共27分。7.如图，在扇形中，，点C为半径上一点，现以点O为圆心，长为半径作弧，该弧交半径于点D，记的长为m，的长度为d，则的长为

．（用含m，d的式子表示）

8.如图，是的直径，是外一点，连接交于点，连接并延长交于点．若，则的大小是

度．

9.已知一次函数图像与一圆心为，半径为1的圆相切，则切点坐标为

．10.如图1，是的半径，点M是的中点，点N在上从点A开始沿逆时针方向动一周回到点A，运动停止，设运动过程中的长为x，的长为y，图2是y随x变化的关系图象，则a的值为

．

11.如图，在中，，，，将绕点C顺时针旋转90°后得到，点B经过的路径为，将线段绕点A顺时针旋转后，点B恰好落在上的点F处，点B经过的路径为弧，则图中阴影部分的面积是

．

12.如图，在矩形中，点E在边上，连接平分，点O是的内心，连接，，若，则的长为

．

13.如图，为的直径，且，点在半圆上，，垂足为点，为半圆上任意一点，过点作于点，设的内心为，连接、．当点在半圆上从点运动到点时，内心所经过的路径长为

．

14.如图，在中，，点是边上一点，且，点、分别是边、上的动点，且始终满足，连接，则线段的最小值为

．

15.如图，已知扇形，点D为圆弧上一点，且的度数为，若P为扇形内一点，则的取值范围是

．

三、解答题：本题共6小题，共48分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。16.(本小题8分)

真命题“在同一个圆中，两条平行的弦所夹的弧相等”，请根据这个命题画出图形，写出已知求证并完成证明．17.(本小题8分)如图，四边形内接于一圆，延长到点．

(1)求证：；(2)连接、，若，平分，求的度数．18.(本小题8分)如图，是的直径，且，为上一动点（不与点、重合）过点作的切线交延长线于点，为中点，连接．

(1)求证：是的切线；(2)若，求阴影部分的面积．19.(本小题8分)分别用两种方法作出三角形的外心与内心．（尺规作图，保留作图痕迹，写出必要的文字说明）

20.(本小题8分)在平面内，将小棒经过适当的运动，使它调转方向(调转前后的小棒不一定在同一条直线上)，那么小棒扫过区域的面积如何尽可能地小呢？已知小棒长度为4，宽度不计．方案1：将小棒绕中点O旋转180°到，设小棒扫过区域的面积为(即图中灰色区域的面积，下同)；方案2：将小棒先绕A逆时针旋转60°到，再绕C逆时针旋转60°到，最后绕B逆时针旋转60°到，设小棒扫过区域的面积为．

(1)①______，______；(结果保留)②比较与的大小．(参考数据：，．)(2)方案2可优化为方案3：首次旋转后，将小棒先沿着小棒所在的直线平移再分别进行第2、3次旋转，三次旋转扫过的面积会重叠更多，最终小棒扫过的区域是一个等边三角形．①补全方案3的示意图；②设方案3中小棒扫过区域的面积为，求．(3)设计方案4，使小棒扫过区域的面积小于，画出示意图并说明理由．21.(本小题8分)如图，在平面直角坐标系中，点A、B是y轴、x轴上的两个定点，经过A、B两点且与x轴正半轴、y轴负半轴分别交于D、C两点，过点O作于点E，交于点F．

(1)若，则

°；(2)求证：点F是的中点；(3)若、，其中a、b是方程的两个根，连接，当圆心M运动时，的长度是否发生变化？若不变，求出的长度；若变化，求出MF的取值范围．

1.【答案】C

2.【答案】C

3.【答案】A

4.【答案】B

5.【答案】C

6.【答案】A

7.【答案】

8.【答案】

9.【答案】，

10.【答案】

11.【答案】

12.【答案】

13.【答案】

14.【答案】

15.【答案】

16.【答案】已知：如图，，是的两条弦，，求证：．证明：如图所示，连接，，，，，，，，，，．

17.【答案】【小题1】证明：∵四边形内接于一圆，∴，∵，∴；【小题2】解：由（1）得，∵，∴，∵平分，∴，，∴．

18.【答案】【小题1】证明：如图，连接，∵与相切于点C，∴，∴，∵是的直径，∴，∴，∵点E是的中点，∴，∵，，∴，∴，则，∵经过的半径的外端，∴是的切线；【小题2】解：∵，，∴，∴，∵，∴，∵，，∴是的中位线，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∵，∴．

19.【答案】解：（1）如图，分别作三角形边,的垂直平分线，交于点O，点O即为的外心；如图，分别找到三角形边，的中点D，E，再以点D，E为顶点，利用三角板画垂直于边，的直线，相交于点O，点O即为的外心；（2）如图，分别作与的平分线，相交于点O，点O即为的内心；如图，以点C为圆心，画两个不同半径的弧，得到点D，E，F，G，连接，交于点M，连接，以点C为圆心，画两个不同半径的弧，得到点P，Q，R，H，连接，交于点N，连接，与相交于点O，点O即为的内心．

20.【答案】【小题1】解：①由依题意得：，，∴又依题意得：方案2扫过区域为三个圆心角为60°且半径为4的扇形面积减去两倍的面积．等边三角形的面积公式：，为等边三角形的边长．∴故答案是：，；②∵，，，∴；【小题2】①依题意补全方案3的示意图如下：

②连接，M为切点，则的中点，

设，则，由勾股定理得：，即，解得：，∴，∴．【小题3】设计方案4：如下图，是等边三角形，首先让点B在上运动，点A在的延长线上运动，使得的长度保持不变，当点B运动到点C时，由此边调转到边，接着两次同样的方式旋转到边和边，最终小棒扫过的区域是如下图所示．

对于第一次旋转，当旋转旋转到时，此时，又作，则依题意得：阴影部分比等边三角形多三块全