高一预习：对数-初升高数学暑假专项提升（人教版）

4.3对数

【知识梳理】

知识点一对数的有关概念

一般地，如果〃=N3>()，且〃KI)，那么数工叫做以。为底N的对数，记作x=logW，

其中。叫做对数的底数，N叫做真数.

常用对数与自然对数：

通常将以10为底的对数叫做常用对数,以e(e=2.71828…)为底的对数称为自然对数,

logW可简记为lgN,

logcN简记为InN.

知识点二对数与指数的关系

一般地，有对数与指数的关系：

若q>0,且aW1,则炉=N<=Mog“N=x.

对数恒等式：

log4=x(a>0,且a#1).

知识点三对数的性质

1.1的对数为零.

2.底的对数为1.

3.零和负数没有对数.

知识点四对数运算性质

如果。>0,且aWl,M>0,N>0,那么：

⑴log“(MW)=log“M+logJV；

M

⑵10ga=10g〃M-lOgJV；

⑶log"M"=〃log“M(〃£R).

知识点五换底公式

=

1.logf//?1(。>0,且aWl；c>0»且cW1；Zx>0).

2.对数换底公式的重要推论：

(l)logJV=j^^(N>0,且NW1；a>0,且aWl)；

(2)log"=£log”b(a>0,且a#1,Z?>0)：

(3)log,aiog^clog<d=lo&d(a>0，Z?>0,c>0,d>0,且KNI,CW1,cWl).

【基础自测】

I.下列指数式与对数式互化不正确的一组是（）

A.e0=1与In1=0

--1]।

B.83=g与log8/=_1

£

（2.1。839=2与9'=3

D.log77=l与7'=7

【答案】C

2.化简3og612-21og6啦的结果为（）

A.672B.12^/2C.log6V5

【答案】C

_/T5-

【详解】原式=10g6巾5—10g62=：0g62'=1Og6小.

10阳9_

-

-iog23------------

【答案】2

4.设3啕a』=27,则工=.

【答案】13

5.若对数logc-MZr-3）有意义，则x的取值范围是

2)U(2,+8)

x—1>0,

【详解】由上一1XI,得得人＞方且xW2.

2r_3>0,

【例题详解】

一、指数式与对数式的互化

例I将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式：

⑴54二625;

(2h=1；

64

(3)4,=10；

m

(4)3工=9；

(5)噫16=4；

(6)log3-=-2；

⑺】陶(5+%)=2；

⑻唠小(6+2)=3.

【答案】⑴4=log5625：(2)-6=1%];⑶x=log/0：⑷一：=log|9；

644

(5)16=2。(6)(=3，；(7)5+4=32；(8)人+2=(〃-1)’

【分析】根据对数式与指数式的互化即可得解.

【详解】⑴解：因为54=625,所以4=log$625；

(2)解：因为2-6=1，所以_6=1%占；

6464

⑶解：因为4'=10,所以x=log/0；

(4)解：因为3号=9，所以一?=1咤39;

(5)解:因为log216=4,所以16=2」；

⑹解：因为1吗5=-2,所以"二3々；

⑺解：因为1%(5+耳=2,所以5+X=32；

⑶由题意，10'=*=10-3=>X=-3.

1(XX)

⑷由题意，lne-3=-x=>e-3=e'r=>x=3.

跟踪训练2求下列各式中x的值：

(1)l0g.Y3=y;

2

(2)IOg64.V=--；

(3)—lne2=x；

(4)log(/_2)(2f-4x+l)=l；

(5)Iogs[log3(log2.v)]=0.

【答案】(1)9；(2)」；(3)-2；(4)3；(5)8.

16

【分析】利用对数的概念及指数式对数式互化即得.

【详解】(1)由Iogx3=；,得%=3,所以x=9.

2221I

(2)由log64X=一三，得％=6-3=(43尸=42=—»所以

JvX/loIo

(3)因为一Ine2=x,所以Ine2=—x,e2=ex,于是％=—2.

(4)由log(F_2)(2f-4x+l)=l,得-4(+1=/-2,

解得x=l或x=3,又因为x=l时，x2—2=—1<0,舍去；

x=3时，/-2=7>0,Zx-?-4x+l=7>0,符合题意.

综上，x=3.

(5)由Iog5【log3(log2刈=0，得log3(IOg2X)=l，

所以Iog2.v=3,

故X=23,即工=8.

三、利用对数性质及对数恒等式求值

例3求下列各式中X的值：

(l)log2(logsx)=0；(2)log3(lg.0=l;⑶尸71喻5.(4)3啕(25=27.

(l)Vlog2(log5X)=0,.*.log5X=2°=],：.x=5i=5.

(2)Vlog3(lgx)=l,.\lgx=3,=3,/.x=103=l000.

7

（4）；3喝（25=27,.,.2rM=27,.\x=13

跟踪训练3（1）求下列各式中的工的值：

①Iog2（x2_2）=0；

②1。的臼（3/+21）=1.

【答案】①x=±G;②x=-2.

【分析】①根据对数式与指数式互化公式进行求解即可；

②根据对数式与指数式互化公式，结合对数的定义进行求解即可.

【详解】①由logjf-2）=0,得/一2=1。=1,解得x=±6;

②由眼24）（37+21）=1,

得3/+21一1=（2/一什=2/-1,2X2-1>0,且2/—|工1,且3f+2x—l>0,解得x=—2（x=0舍去）.

（2）^log2（logu）=Iog3（log4.y）=Iog41og2z）=0,则x+y+z的值为（）

A.9B.8C.7D.6

【答案】A

【详解】V10g2（10g3X）=0,/.10gU=1.

/.A=3.同理y=4,z=2.；.x+y+z=9.

四、对数运算性质的应用

例4（l）log84=

【答案】|

【分析】根据对数运算性质解决即可.

22

【详解】由题知，Iog84=log»,22=；log22==,

■33

7

故答案为：1

21

⑵由一b&27=------

【答案】0

【分析】利用对数的性质进行计算.

、.2_]_2_]_2___1__0

=23==

【详解】log29-log827log,3-log^32log,3-log23'

故答案为：0.

(3)计算：21g5+怆4+(0丫=________-

I8J

【答案】|

【分析】由对数和指数第的运算性质计算即可.

337

【详解】原式=21g5+lg4+—=lg25+lg4+-=lglOO+-=--

\8J222

故答案为：—.

⑷计算:①鬻

@lg51g20+(lg2)2

【答案】01

【分析】①根据对数的运算法则比简，即可求得答案；

②根据对数的运算法则结合完全平方公式化简，即可求得答案；

4

【详解】①log36log,14/log、？二4；

3

log38log327log,29

@lg5-lg20+(lg2)2=lg5-(21g2+lg5)+(lg2)2=(lg2+lg5)2=(lglO)2=1.

跟踪训练4(1)(多选)已知。二但2,Z?=lg3,则()

A.«+=1g6B.Agg'

…=lg|

C.2+y=log,12D.

b

【答案】ACD

【分析】根据对数的运算逐项分析判断.

【详解]对A：Ig6=lg2+Ig3=a+Z>,A正确;

lg421g22aa2

对B：*4=Ig3lg3b'bB错误:

对c：log212=log24+log23=2+-^=2+Y，C正确；

lg2b

3

对D：lg-=lg3-lg2=/?-a,D正确.

故选：ACD.

22

(2)Ilog62)+(log63)+3log62xbg6V18-1log62'=

【答案】1

【分析】根据对数的运算法则性质化简即可得解.

2

【洋解】。呜2)+(Iog63『+3log62x(log6VI8-1log62]

2

=(嗨2)+(log63『+3log62xlog6号j

二(嗨2『+(1吗3『+2log62xlog63

2

=(logA24-log63)

故答案为：1

五、对数换底公式的应用

例5⑴已知lo酊9=a,18&=5,则1*81=()

▲a-2一。八2〃2-«

A.-----B.----C.----D.----

a+baba+ba+b

【答案】C

【分析】先由18°=5得到l=logQ,用换底公式把Iog4581写出以18为底的对数,即可分解.

【详解】ftlog189=a,18&=5,

所以a=logi89,/>=log185,

所以*81=詈啜=2方『g

5

log184logis9+logl85a+b

故选：C.

(2)已知2"=5〃=10,则■=()

ab

11

A.1B,2C,-D--

【答案】A

【分析】运用对数的定义和换底公式、以及运算性质，计算即可得到所求值.

【详解】解：若2"=5b=10，

可得a=log?10,力=logs10,

nji-1+-i=----1---+-----1---

人」ablogJOlogJO

=lg5+lg2=lgl0=l,

故选：A.

⑶噫|xlog2±xlog5±=•

oZDL/

【答案】-18

【分析】根据对数运算法则和换底公式直接求解即可.

2

【详解】Iog3:xlog24xk)g54二k)g32'xlog^xlog53-=-I8X1^|X-!^|X-^=-18.

82527In3In2In5

故答案为：-18.

跟踪训练5⑴已知Ig2=a/g3=〃,则k）g/2=（）

,,2a+b

A.a+bB.2a-bC.---------

a

【答案】C

【分析】根据换底公式将Iog212写为詈，再用对数运算法则展开，将Ig2=a/g3=6代入即可.

1g2

【详解】解:囚为电2—4电3--而1吗12=詈=怆：+13=21彳;怆3=2

1g21g2Ig2a

故选:C

⑵已知6,=2、'=a（〃为常数，且。＞0,awl）,则________.（用。表示）

x）'

【答案】log,3

（分析］先利用指数式和对数式互化得到所以％=1叫a.V=iog2a,再利用换底公式得到-=log.6-=log”2,

xy

然后利用对数运算求解.

【详解】因为6'=2，=〃，

所以x=log6«,y=log26z,

则一=log06,-=logw2,

所以'一工=log“6-log,2=log,,《=log”3,

xy2

故答案为：log”3

六、对数的综合应用

例6地震的强烈程度通常用里宸级M=lgATg4表示，这里人是距离震中100km处所测得地震的最大振

幅，4是该处的标准地震振幅，则里氏8级地震的最大振幅是里氏6级地震最大振幅的（）倍.

4

A.1000B.100C.2D.-

3

【答案】B

AAi

【分析】利用M=lgA-lg4=lg],求得A=AJ（）「代入^^小。。从而求得结果.

AA）10

AA

【洋解】解：依题意，〃=怆4-怆4=他丁，则丁二10",即A=A10"

则"J=l0）则里氏8级地震的最大振幅是里氏6级地震最大振幅的100倍.

410

故选:B.

跟踪训练6芙萨克•牛顿，英国皇家学会会长，英国著名的物理学家，著有《自然哲学的数学原理》、《光

学》为太日日中心说提供了强有力的理论支持，推动了科学革命.牛顿曾经提出了常温环境下的温度冷却模

型：9=（a-4）e*+a）,其中/为时间（单位：min）,4为环境温度，化为物体初始温度，。为冷却后温

度），假设在室内温度为20c的情况下，一桶咖啡由100C降低到60C需要20min,贝味的值为（）

hi2In3In2In3

A.B.-----D.

~20207(7IF

【答案】A

【分析】依题意可得60=（100-20》-9+20,再根据指数与对数的关系计算可得.

【详解】依题意可得即e-汹=3，所以-20&=lng,

匚口/In2

所以।人方.

故选：A

【课堂巩固】

1.已知涓=5(a>0)，则bg“5=()

32

A.2B.3C.-D.-

23

【答案】D

【分析】指数式化为对数式，得出结果.

22

【详解】因为痴=5(〃>0)，所以1og05=§.

故选:D

2.Ig8+3lg5的值为()

A.-3B.-1C.1D.3

【答案】D

【详解】lg8+31g5=31g2+31g5=3(lg2+lg5)=3.

3.已知函数/(%)=1呜3+份,且/⑵=2J(3)=3,则()

A.a=l,b=4B.a=2,b=-2C.a=4,b=3D.a=4,b=-4

【答案】D

【分析】由题得方程2a+b=4,3“+b=8,解方程即得解.

【详解】解：0/(v)=log,(ar+b),

0/(2)=log2(2a+b)=2,/⑶=唾2(3。+力)=3,

团2G+〃=22=4,3a+b=23=8t

解得«=4,b=-4,

故选：D.

4.已知杲品牌手•机电池允满电量为12(X)亳安，每经过1小时，电量消耗20%,若电池电量不超过200亳安

时充电最佳，那么该手机至少可以待机小时.(待机小时取整数，参考数据：怆2。().3(),1g3。0.48)()

A.7B.8C.9D.10

【答案】A

【分析】分析可知〃小时后，该手机剩余的电量为1200x6)亳安，解不等式1200、8W200可得

结论.

4

【详解】由题意可知，I小时后，该手机剩余的电量为KOOxg亳安，

2小时后，该手机剩余的电量为1200x(g)毫安，L,

以此类推可知，小时后，该手机剩余的电量为1200x亳安,

由1200x(3)<200,HP<-,

155

，g

I6-lg6lg6Ig2+lg30.3+0.48_o

所以，

三6,y4lg8-lglOl-lg8l-3Ig21-3x03

e5

因此，该手机至少可以待机7小时.

故选：A.

5.(多选)下列指数式与对数式互化正确的是()

_111

A.|()。=1与馆1=。B.273=-与log?7,=-3

33

C.logs5=lV5i=5D.111%=,与'=(；)”

【答案】AC

【分析】根据炉=N=x=log“N逐项判断即可求解.

［详解】依题意，由/=Nnx=log.N可得：

对于A：10°=1=>1gI=0,故A1E确：

-1111

对于B：273=-=>log-=—,故B错误；

32733

对于C：Iogs5=ln5i=5,故C正确;

对于D：]nN='=e3=N,故D错误;

2

故选：AC.

6.若log3〃=；,则”=.

【答案】73/31

【分析】将对数式化为指数式来求得正确答案.

【详解】由唾3。=；，则a=3；=6

故答案为：75

2

225

7.计算：（lg5）-（lg2）+8xlgx/2=-------------♦

【答案】1

【分析】根据指数辕的运算性质及对数的运算性质计算即可.

221I

【详解】。g5）2-（lg2）2+8?xlg应=（1一怆2）2-（馆2）2+仅3尸、7吆2=1-2怆2+4乂5怆2=1—2怆2+2馆2=1.

故答案为：1.

8.log?3+log39+log327+log,81=

【答案】10

【分析】根据对数的运算性质计算即可.

【详解】Iog33+log,9+log327+log381=1+2+3+4=10.

故答案为：10.

9.若log/=4,W=5,用a,%表示log”28=

1+。

【答案】

\-¥b-a

【分析】先求出。=1。或5,再根据换底公式及对数的运算性质即可得解.

【详解】因为⑷=5,所以〃=1。舐5,

1哈28="!^0=_*14+1。"_=I+"

logI435logI414+log145-lcgu2\+b-a

1+4

故答案为:

I+b-a

10.log5(log3(log2x))=0,x=

【答案】8

【分析】根据对数的概念订算即可.

【详解】0log5(log3(log2x))=0,

aiog3(iog2%)=i,

01og2x=3,解得4=8,

故答案为：8.

11.将下列指数式与对数式互化：

(l)log216=4；

(2)log,27=-3；

3

⑶脸工=3；

⑷9=125;

⑸尸=

(6)(J=9.

【答案】⑴2'=16：⑵(g=27；⑶(G)=x：(4)log5125=3；(5)log2^-=-1；.

【分析】(1)(2)(3)(4)(5)(6)利用指数式与对数式的互化公式直接求解作答.

【详解】(1)因为10g216=4,所以有：24=16.

(2)因为bg/7=-3,所以有：(；J=27.

(3)因为1。8万工=3,所以有：(6)=x.

(4)因为5,=125,所以有：logs125=3.

(5)因为2T=1,所以有：10氏；=-1.

(6)因为(J=9,所以有：嗔9=-2

12.求下列各式中的x值:

⑴噫工=3：

⑵lo&(2x+l)=3：

⑶嘀金=3；

o

⑷logaS'=-3.

【答案】(1)125：(2)p(3)|；(4)-1

【分析】将对数式化为指数式，从而可得出答案.

【详解】⑴解:因为logs#=3,所以4=53=125;

(2)解：因为log2(2x+l)=3,所以2X+1=23=8,解得x=g

⑶解：因为log,=3,所以，=/3=口丫，所以“二；

o8\2)2

v

(4)解:S^log28=-3,所以8'=2-3=8"，所以x=-l.

13.已知lg3=m,lg5=n,求1/-”的值.

【答案】|9

【分析】由指对互化得1(F=3,10"=5,再根据指数幕的运算即可得到答案.

【详解】Vlg3=m,lg5=«,

.\10w=3,10"=5，

.[02吁“=(]吗2.([0")=]

14.计算下列各式的值:

(I)log535+21og[V2—logs5Q—logsl4；

2

2

(2)[(1-log63)+log621og618]^log64：

(3)(log43+Iogx3)(log?2+Iogy2).

J.35X50

23

【详解】⑴原式=log535+log550—log514+21og]2=log5'*J4+log)2=log55—1=2.

22

(2)原式=[(log(,6—log63)+Iog621og6(2x3)]-rlog64

22

=(log6§2+Iog62-(log62+log63)Jrlog62

22

=[(log62)+(10g62)+210g6210g63户210g62

=log62+log63=log6(2X3)=1.

(3)(log43+Iogs3)(log32+log92)

一Ug4十lg8人lg3十1g9)

仰lg3W2lg2\

一121g2+31g2人lg3121g3；

_51g33lg2_5

-61g2X21g3-4-

【课时作业】

1.设〃=1隼94,则3a的值是()

A.1B.2C.4D.9

【答案】B

【分析】根据对数的定义，结合指数式的运算律，可得答案.

【详解】由〃=log94,则9“=4,3?"=4,3"=2.

故选:B.

2.下列运算中正确的是()

log,8._

A.7-^r=log85B.log-,3=log6

噫54

-%7

fl

C.Ig(2+5)=lg21g5D.+ln(lne)=7

【答案】D

【分析】根据换底公式判断A,招根式化成分数指数幕，再根据幕的运算法则计算B,根据指数冢的运算法

则判断C,根据对数的性质判断D.

【洋解】对于选项A,由换底公式可得警|=logs8,故A不正确；

log,5

对于选项B,log,6=|log,6=log,x/d,故B选项错误；

对于选项C,Ig(2+5)=lg21g5错误，正确的应该是Ig(2x5)=lg2+lg5,故C不正确；

/］、一%7

对干选项D,-+ln(lne)=2,og27+lnl=7+0=7,故D正魂.

12J

故选：D.

3.已知Ig2=a,lg3=b,则log&75=()

aa-b+2、〃-2a+2Cb-a+2>2a-b+2

A.------------B.--------------C.------------D.--------------

2a2a2a2a

【答案】B

【分析】利用对数运算性质和对数换底公式即可求得log,75的变形式.

【详解】幅75=—=也包Jg3+2lg5jg3+2（Ig2）,

1g421g221g221g2

又Ig2=a/g3=b,则log,75="十：-2”

la

故选：B

4.声音的等级/（x）（单位：dB）与声音强度x（单位：W/m2）满足f（x）=10xlg厂备y.喷气式飞机起飞

时，声音的等级约为140dB；•般说话时，声音的等级约为60dB,那么喷气式飞机起飞时声音强度约为一

般说话时声音强度的（）

A.1。6倍B.1。8倍C.10】。倍D.IO12倍

【答案】B

【分析】首先设喷气式飞机起飞时声音强度和一般说话时声音强度分别为4,4,根据题意得出/（%）=140,

〃电）=60,计算求工的值.

1

【详解】设喷气式飞机起飞时声音强度和一般说话时声音强度分别为/，%，）=140,

/U1=10xlg1x10*

则看=1。2,

/（々）=10xlg京五二60,则占=10'

所以工=叱

X2

因此喷气式飞机起飞时声音强度约为一般说话时声音强度的108省.

故选：B.

5若函数/叫W叫+1（；Y+<叱0加典"同二（

2）

A.1B.2C.3D.4

【答案】D

【分析】先求得了（-26）=13,再代入x>0的解析式即可得答案.

X24-1r<A

【详解】解：因为/。)=；；；x八，

log2(x+3),x>0

所以f(-2百)=(-26)2+1=13,

所以/(/(-2>/3))=/(13)=log2(13+3)=4.

故选：D.

6.已知〃>l,b>\,且log2G=log54,则的最小值为()

A.4B.8C.16D.32

【答案】C

【分析】运用对数运算及换底公式可得1。氏。•log?人=4,运用基本不等式可求得他的最小值.

【详解】Hlog2>/a=logh4,

I.2log,4

^-\og2a=\ogh4t即：=

[?]log2«-log2/7=4,

回a>1,b>],

团log?〃>(),log,b>(),

01og2(«/?)=log2a+log2b>2Jlog2a.log?b=4,当且仅当log,a=log2。即。〃时取等号，

即：^>24=16,当且仅当。=。时取等号，

故而的最小值为16.

故选：C.

7.已知函数〃力为R上的偶函数，且对任意不马«°，内)，均有(占一赴)[/(内)-/(七)]<0成立，若

a=b=/(log2；，c=f”)，则a,b,c的大小关系为()

A.h<a<cB.a<b<c

C.c<b<aD.h<c<a

【答案】A

【分析】根据题意判断/(x)的单调性，根据函数单调性确定函数值大小.

【详解】对任意内,七«0,转)，均有(内72)[〃3)-/($)]<0成立，

所以/(x)在(0,+。)单调递减,

乂因/(“为R上的偶函数，所以/(X)在(-8,0)单调递增,

26

^=/[log21]=/(-2)=/(2),U)=e<8=(>/2),即1〈收，

故f(2)v/(0)v/”，即人<4<c.

\/

故选:A

8.我们可以把(1+1%产5看作每天的“进步”率都是1%,一年后是1.0产；而把(]_1%产看作每天的〃落后〃

率都是1%,一年后是0.9产，大约经过加天后“进步〃的是“落后”的10倍，则〃?的值为(参考数据：

lgl.0l«0.0043,lg0.99«-0.0044)()

A.100B.115C.230D.345

【答案】B

【分析】根据指数与对数的联系计算即可.

【详解】由题意可得：=两边取常用对数可得99)=1,即

0.99

11

m=--------------------«---------«115

lgl.01-lg0.990.0087

故迄B

9.计算:(后)°-2®3_]n

【答案】-3

【分析】根据指数和对数的运算公式进行求解.

【详解】(&)°-2l°2-lne=l—3-l=-3

故答案为：-3.

1216

10.log2--log4y+e-

【答案】1

【分析】由对数换底公式以及对数恒等式、对数运算法则进行计算求得结果.

/>1/2CA23、I

(详解】log--log-+e,n2=log--log-+2=log-x-J2=log-2=-l+2=l.

2J472J2J2+22+

故答案为：1.

2

11.log,3xlog34x^(-2)=______.

【答案】4

【分析】直接利用对数的换底公式求解即可.

【详解】log^xlog^x^^)2

二更x—2:旦些x2.4

lg2lg3lg2lg3

故答案为：4.

2221g31g2

(log63)+(log62)+

12.(Ig3+lg2)2

【答案】1

【分析】利川换底公式、对数的运算性质计算可得结果.

【详解】原式=(皿)2+(1砥2)，+雪柠

Ig6lg6

=(唠63『+(log62『+2log63log62

2

=(log63+log62)

2

=(log66)=l.

故答案为：1.

压力

13.大气压强〃=它的单位是“帕斯卡〃(%,lPa=IN/m2),已知大气压强〃(Pa)随高度〃(m)的

受力面积

变化规律是〃=〃0仁匕其中凡是海平面大气压强，&=0.000126n「.当地高山上一处大气压强是海平面处大

气压强的g,则高山上该处的海拔为米.(答案保留整数，参考数据卜]3之1.1)

【答案】8730

【分析】根据题意解方程为e"=；po即可得解.

【详解】由题意可知：〃=〃0e*=；〃o,解得-姑=-ln3,

所以力=1]12ss8730(m).

k

故答案为：8730.

14.已知log2[log3（log4X）]=0，求X的值.

【答案】64

【分析】利用指数和