广东省佛山市2024-2025学年高二年级下册期末教学质量检测数学试卷（解析版）

2024〜2025学年高二下学期佛山市普通高中教学质量检测

数学试卷

本试卷共4页，19小题.满分150分.考试用时120分钟.

注意事项：

1.答卷前，考生要务必填涂答题卷上的有关项目.

2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答案涂在答题卷相应的位置上.

3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内；如

需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液，不按以上要求作

答的答案无效.

4.请考生保持答题卷的整洁,考试结束后，将答题卷交回.

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是

符合题目要求的.

1.已知集合11J,11),则人山一()

A.{XY<xv3}B.|x|-l<x<l}

C.{0,1,2)D.|x|-l<x<l}

【答案】D

【解析】

【分析】根据给定条件，利用交集的定义直接求解.

【详解】集合A={x|-4cxWl},B={x\-\<x<3},所以Ac8={x|-lvxW1}.

故选:D

2.复数2的共轨复数是()

1-1

A.1-iB.1+iC.-1-iD.-l+i

【答案】A

【解析】

【分析】利用复数的除法结合共匏复数的定义可得结果.

22(l+i)2

【洋解】因为二一二八"因此复数二二的共枕复数是l—i.

l-i+1-1

故选：A.

3.已知正方形ABC。的边长为1，AD=b^BD=c，则,+"c卜()

A.1B.2C.V2D.2>/2

【答案】B

【解析】

【分析】利用平面向量的线性运算化简:+)+\，即可得解.

【详解】因为BD=AD-AB=b-a，则。+/"。=«+匕+仅一。)=20,

因此，a+b+c=2|/?|=2.

故选：B.

4.已知S〃为等差数列｛4｝的前〃项和，S3=6,$6=3,则%=()

A.-9B.-5C.3D.6

【答案】B

【解析】

【分析】根据等差数列求和公式得到方程组，解出4，”,再利用等差数列通项公式即可得到答案.

3x2,,

3a4-----a=6

}24=3

详解】由题意得,U，解得V

6x5d=-\

----cl=3

2

则的=4+8d=3—8=—5.

故选：B.

5.学校组织学生参加劳动基地实践活动，将4名学生分配到整地做畦、作物移栽和藤架搭建3个项目进行

劳动技能训练，每名学生只分配到1个项目，每个项目至少分配1名学生，则不同的分配方案共有()

A.24种B.36种C.48种D.72种

【答案】B

【解析】

【分析】将四名学生分为三组，再将这三组学生分配给三个项目即可，结合分步乘法计数原理可得结果.

【详解】将四名学生分三组，每组人数分别为2、I、1，再将这三组学生分配给三个项目即可，

所以，不同的分配方案种数为C：A；=6x6=36种.

故选:B.

6.某车间为规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了5次实验，收集数据如表所示:

零件个数/个1020304050

加工时间/min62758189

y2

根据计算可知加工时间（y）关于零件数W的一元线性回归方程为y=0.67x+54.9,则为二（）

A.65B.65.3C.68D.68.3

【答案】C

【解析】

【分析】求出样本点中心的坐标，代入回归直线方程，可求得）2的值.

.呼露、山卜收+将旭-r汨—10+20+30+40+50—62+%+75+81+89y+307

【详解】由表格中的数据可得x=------------------=30,y=-----------------=—2-----,

555

将样本点中心（元,»）代入回归直线方程可得0.67x30+54.9=*」产，解得％=68.

故选：C.

7.某海湾一固定点处大海水深〃与时间/之间的关系为d（/）=10+4cos（g],则该处水位变化速度的最

大值是（）

兀71

A.—B.-D.4

63

【答案】C

【解析】

【分析】利用导数求瞬时速度，对求导即可得到最大值.

【详解】由d（f）=10+4cos（3）,得d'（f）=—§sin力«?，

16J3\673

则该处水位变化速度的最大值是

3

故选：C.

8.某工厂近两年投产高新电子产品，第一个月产量为1000台，合格品率为80%,以后每月的产量在前一个

月的基础上提高20%,合格品率比前一个月增加1%.已知第〃个月且〃K12）生产合格品首次

突破5000台，则〃的值为（参考数据：1.28之4.3）（）

A.8B.9C.10D.II

【答案】D

C.s>(r2D.p

【答案】ABD

【解析】

【分析】根据正态密度曲线易得从＜〃2，/＜。2,然后可逐项判断.

【详解】•・•x〜N3，CT；）,y~N（〃2，b；），

•••两曲线分别关于直线X=M，X=〃,对称，由图可知从＜小，故A正确；

又从V〃2,所以P（X'M）＞尸（XN/zJ,故B正确；

又x的正态密度曲线比丫的正态密度曲线更“高瘦”，所以巧＜。2,故C错误；

又巧＜%，所以尸（丫之0）＞夕（/之/），故D正确；

故选：ABD.

10.已知数列｛。〃｝的前〃项和为S“，an=-....（ZZGN"）,则（）

A.数列｛q｝是递减数列B.当且仅当〃=7时，4取得最小值

C.数列｛5“｝是递减数列D.当且仅当〃=7时，S,取得最小值

【答案】BD

【解析】

【分析】利用特殊值法可判断A选项；分析数列｛〃〃｝单调性，可判断B选项；利用数列的单调性可判断

C选项；解不等式/＜（）,可判断D选项.

【详解】对于A选项，因为』二-；生=-5,4=6,则故数列｛《,｝不单调，A错；

1511

对于B选项，々二71-2十2二］।U,

“2/?-152〃—1522（2/?-15）

当〃W7且"N"时，an＜-且数歹U｛a,｝单调递减，

当〃N8且〃£N*时，可＞；且数列｛q｝单调递减，

故当日仅当〃=7时,凡取得最小值.B对:

—2

对于C选项，由%=-------＞（）可得〃=1或〃N8,

2/7-15

故当〃28时，Sn-Sn_}=an＞Of故数列⑸}（〃28）单调递增,C错：

对于D选项，由4=上二V0可得2＜〃＜上，

2n-\52

故当3W〃W7时，。〃＜0：当〃之8时，。〃＞0,

所以，当且仅当〃=7时，S“取得最小值，D对.

故选:BD.

11.已知函数f（%）=d+（々+1）工2+田：+（々-1）,则（）

A.函数/（力有两个极值点B.函数“X）在（0,+8）单调递增

C.3^GR»函数/（五）恰有两个零点D.Va“，函数/（x）在（YQ,0）上有最大值

【答案】ACD

【解析】

【分析】利用导函数分析函数的极值点及单调性可判断A,B；取特殊值。=1,可解得函数的零点个数，从

而判断C；利用函数单调性求得极大值，再与端点值比较大小确定最大值，可判断D.

【详解】由/（力=/+（。+1）%2+0¥+（。-1）求导可得/f（x）=3x2+2（6Z+1）X+6Z,

令r（x）=3f+2（a+l）x+a=0,

则A=4（4+l）2-12〃=4/-4〃+4=4＞一；）+3＞（），

所以方程/'（x）=0有两个不相等的实数根，设为王,々，不妨令王＜马；

对干A,则x＜%时，r（x）＞0,/（同单调递增；

玉＜XVX2时，/'（x）＜。，/（“单调递减；

x＞"2时，/'（%）＞0,单调递增，

所以函数/（无）有两个极值点，故A正确；

2/+1

对于B,根据韦达定理，X,+X2=-^\X,X2=-＞

33

若〃<0,则%%=]<0，则％<0<工2，

所以，xe(o,x2)w,//(X)<0,/(x)单调递减；

%«%,物)时,r(x)>0,〃力单调递增,故B错误；

对于C,取4=1时，/(x)=x34-2X2+X=X(X+i)2,

令/(x)=o,解得x=0或x=—1,

此时，函数/(戈)恰有两个零点，故c正确；

对干D,因为。22,所以玉+七=-2"；"<°，西工2=1>0，则％<W<0，

所以，X£(YO，X)时,r(x)>0,〃力单调递增;

X€(X，W)时，r(x)<0,/(X)单调递减；

xw(电,0)时，/'(x)>0,/(x)单调递增,

所以，函数/(力在X=X处取得极大值/(Xj)=+(a++3+(4一]),

又f(0)=a_1,则/(xj_/(0)=X13+(a+])与2+g=%(玉+])a+a),

又因为x=-(〃+i)-J/士!,

13

所以二生生近三巨〈O.

13

2a-1-J/一〃+12〃-1一。a-\八

X+a=----------------->--------=---->0，

1333

所以/(%)—/⑼>。，即/(内)>〃0)，

则函数/(八)在％=玉处取得极大值/(%)就是在(-A0)上最大值，

故D正确.

故选:ACD.

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分，其中第14题第一空2分，第二空3分.

12.(1+xf展开式中d的系数为.(用数字作答)

【答案】20

【解析】

【分析】根据给定条件，利用二项式定理直接列式求解.

【详解】(1+x)6展开式中含V的项为C*3=20V,

所以(l+x)6展开式中的系数为20.

故答案为：20

13.已知直线y=x+2与曲线)=ln(x+a)相切，则

【答案】3

【解析】

11

【分析】设切点为(xo,y°),求出函数y=ln(x+〃)的导数为:/=-----,得k切=------=1,并且yo=

x+〃/+〃

xo+2,y0=ln(xo+〃),进而求出

【详解】设切点为(xo,yo),由题意可得：曲线的方程为y=ln(x+〃)，所以y'=—.

X+Q

1

所以卜切=-----=1>并且yo=Xo+2,yo=ln(xo+〃)，解得：yo=O,x0=-2,。=3.

故答案为3.

【点睛】本题主要考查直线的斜率、导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线方程等基础知识，属

于基础题.

14.在棱长为1个单位的正方体中，一个质点在随机外力的作用下从顶点儿出发，每隔

1秒等可能地沿着棱移动1个单位，移动的方向是随机的•设第八秒(〃wN')后，质点位于平面A8CD的

概率为P”，贝iJ〃2=，Pn=.

411

【答案】①.-②.-(!--)

【解析】

【分析［根据给定条件，将正方体8个顶点分成两层，求出质点在同层内移动的概率及移动到另一层的概

率，即可求出〃2；再求出递推关系，利用构造法求出数列通项公式即可得解.

【详解】正方体ABC。—AqGA的8个顶点分居在两层：上底面44GA和下底面A8CZ)内，

每个顶点有3条棱连接到相邻顶点，移动方向等可能，概率为3,

因此质点在同层内移动到另一顶点的概率为!■,质点移动到另一层顶点的概率为:，

33

第〃秒后，质点位于平面A8CQ的概率为几，位于平面AqGR的概率为1-〃“，po=O,

则区即〃〃一:二!（〃2一：）,而〃1一!=一:’

333323226

于是数列｛〃.一工｝是以一）为首项，〈为公比的等比数列，〃〃-1=一：•（!）"，即〃"=!一:.（!）”，

263223223

411

故答案为：-；-（1--）

四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.一袋子中有大小相同的10个小球，其中有3个白球，7个黑球.现从中依次摸出2个球，记摸到白球的

个数为X.

<1）若采用不放回摸球，求X的分布列；

（2）若采用有放回摸球，求X的数学期望与方差.

【答案】（1）分布列见解析；

321

（2）期望：，方差二.

55（）

【解析】

【分析】（1）求出X的可能值及各个值对应的概率，列出分布列.

3

（2）X次2,才），利用二项分布的期望方差计算得解.

【小问I详解】

依题意，X的所有可能取值为0』,2,

c°c2

P(X=())=皆春RX="詈管尸-2）=等4

jo

所以X的分布为:

X012

771

P

151515

33

【小问2详解】依题意，X的所有可能取值为01,2,每次摸到白球的概率为二，则X8（2,二），

333721

所以X的期望E(X)=2xV，方差"XQZX/X至MG.

।u◊IUl\JOU

16.如图，在长方体A3CD-A4G。]中，AB=3,AD=AA^—\[3>Dg=3D1E.

（1）求证：AEJ.BR；

（2）求直线片。与平面AHE所成角的正弦值.

【答案】（1）证明见解析；

⑵正

4

【解析】

【分析】（1）求出AE、4〃的坐标，由八区占〃：。即可证明；

/\卜/W=（）.

（2）设平面ABE的法向量为〃=（x,y,z）,由则〈.,求出法向量为〃的坐标，再由向量的夹角

n-BE=0

公式可得答案.

【小问1详解】

以。为原点，ZM为x轴，。。为y轴，OR为z轴，建立空间直角坐标系，

由题意得^(73,0,0),E(0,l,G),B、(733,73),D,(0,0，V3),

,7.AE=(-x/3,l,>/3),4。；=卜后-3,0),

・•・AE8Q=3-3+0=0,

AAE1B.D,.

【小问2详解】

设平面AB石的法向量为n=（x,y.z）,

A（GO,O）,E（O,1,@,B（733,0）,

又AB=（0,3,0）,BE=（-x/3,-2,V3）,

n-AB=3），=0

则＜

n-BE--y/3x-2y+A/3Z=0

；・y=。，取x=1,则z=1,

・•・平面ABE1的一个法向量为〃=0,0』），B,D,=（-A/3,-3,0）

设直线8a与平面同班;所成角为。

八B自〃61亚

•sin0=-=I——------=―=——

-8a.同71+0+1x73+92V24

即直线BR与平面ABE所成角的正弦值为—.

4

17.已知数列｛〃”｝的前n项和为5„,q=1且“谭=2S〃+2（neN+）.

（1）若｛4｝为等比数列,求公比的值;

（2）若生=2,

（i）证明：数列｛。向+4｝为等比数歹小

（ii）求数列的前〃项和

a

n

【答案】（1）q=2；

（2）（i）证明见解析；（ii）7；=1（）-拳2

【解析】

【分析】（1）根据给定条件，列式求出9,再结合通项公式及前〃项和公式验证判断.

（2）（i）利用前〃项和与第〃项的关系及已知可得为+3一4+2=2。用，再利用等比数列定义推理即得;

（ii）由（i）的结论求得。e+%=3-2”7,再分奇偶求出4,最后利用错位相减法求和即可.

【小问1详解】

数列｛4“｝中,6=1，由q+2=2S“+2.得=2SI+2=2q+2=4.

则不=4,解得“二-2或^=2,

当一时，-二—，2s.+2二生组,

1一（-2）J3

而%+2=（-2）向，显然4汁2=25“+2不恒成立，因此夕w—2,

I_>

,,n+,

当《二2时・，%=2"，s=^-=2~｝2S„+2=2=«,J+2,符合题意,

1-2

所以夕=2.

【小问2详解】

（i）由。“+2=2S“+2,得%+3=2S“+]+2,两式相减得a—一%+2=2（5Z一5“）=2q+1,

则%+3+%+2=2(%+2+%)，当〃N2时，。“+2+%=2(%+%),

而%=4,4=2,则4+生=6=2(生+4),即〃eN‘，《+2+4+1=2(q+|+%),

所以数列｛4川+4｝为等比数列.

(ii)由(i)知等比数列｛《m+4｝的首项为3,公比为2,则。向+。”=3・2”7,

勺短+。川=3•2”，两式相减得。“+2一%=3•2”T,

2-2

当〃=2左一wN•时,a2k+l-生J=3•2*=3・,

k]_Ak

Xk2<+,_,W',

于是出E-4=£(%+1-%)=3•——=4-1,a2M=4=2,则an=2；

1=1।一4

当n=2%,左£N♦时，的人+2一。2大=3•=6-4”、

1-4A

a(6,6=2.4A-2,a=2-4k=22k+2~],则q=2"T

于2k+2~^=S2/+2-^2,)=-2k+2

i=\1-4

2〃4-12〃+1

因此〃eN*，%=2〃T

a〃2"T

3572〃+l\_3572/z-l2〃+1

则北二吩+或+了----+---------

5'”=耍+尹+尹小2"2"

I

两式相减得：<=3+(1+；+…+白)一竽=3+12”T2//4-I_2〃+5

JJJJ2〃2"

2

2〃+5

所以4=1()

T

18.已知函数/(‘二e+”rT)(X>0,6/GR).

X

(1)当。=-e时，求证:x2/(x)>e：

(2)讨论f(x)的单调性;

(3)当人21时，/(x)>e,求。的取值范围.

【答案】(1)答案见解析；

(2)答案见解析；(3)[4c-e2,+oo)

【解析】

【分析】(1)构造函数r(x)=x2f(x)-e=e'-er结合函数单调性得出函数最小值证明求解:

(2)求出导函数，再分aWl,ivQve?,〃=e2，]>1四种情况，得到函数的单调性；

(2)参变分离得到,构造函数〃(x)二二求导得到其单调性和最大值，从而

得到答案.

【小问1详解】

当〃=.e时，设(力=x2f(x)-e=x2x-————-e=eT-e(x-l)-e=er-er»

所以，(x)=e-e单调递增，

所以当x>l时，«x)>Oj(x)单调递增；

当0<xvl时，*力<0/(力单调递减；

=z-e，-e-

所以'(八)min(0^>所以《力=人2/(八)一€二炉一ea之。，

所以f/a)2e；

【小问2详解】

函数/(x)=e+"7)的定义域为(0,+动,求导得

A

(ev+ajx2-2x^ex+ax-aj_ex(x-2)-x(x-2)(ex-a)(x-2)

f?"p'

当时，ev>l>6/，er-tz>0,x3>0

当x>2时，,f'(x)〉OJ(x)单调递增：当0vxv2时，/'(力<0,〃力单调递减;

当Ivave?时，x3>0»

令(e,-a)(x-2)=0,解得％=ln〃,匹,=2,

当」〉2时,/”(力>0,7(力单调递增；当lna<x<2时，尸(x)vOJ(x)单调递减;当0cxeIna

时，r(x)>O,〃x)单调递增;

当Q>6?时，X3>0»

令(巳"-4)(工一2)=0,解得司=lna,x2=2,

当x>lna时，r(x)>O,/(x)单调递增；当2vxvlna时，r(x)<O,/(x)单调递减；当0<x<2

时，ra)>oj(%)单调递增;

当〃=e?时，x3>0»

令(e'―/)(1_2)=0,解得百=%=2,

当2>0时,r(x)?oj(x)单调递增；

综上，当4Kl时，/(M在(0,2)上单调递减，在(2,+8)上单调递增；

当leave?时，/(工)在(O,lna),(2,+。)上单调递增，在(lna,2)上单调递增；

当〃=e?时，/(力在(0,+8)上单调递增；

当〃〉e?时，/(力在(0,2),(1呀+。)上单调递增，在(2,In”)上单调递增；

【小问3详解】

当工=1时，〃£R/(l)=e符合题意：

当xNl时，/(x)>e,则也驾二等价于。之二^恒成立，