沪科版七年级下册数学全册教学设计（配2025年春新版教材）

1沪科版七年级下册数学全册教学设计(配2025年春新版教材)6.1平方根、立方根1.了解平方根和算术平方根的概念，会用根号表示一个数的平方根和算术平方根.2.了解开方与乘方是互逆运算，会利用这种关系求百以内整数的平方根和算3.会用计算器计算一个正数的算术平方根，能运用算术平方根的非负性解决问题.4.经历从平方运算到求平方根的演变过程，体会二者的互逆关系.重点：平方根、算术平方根的概念和求法.难点：平方根和算术平方根的区别与联系.为了美化校园，学校打算建一个面积为225平方米的正方形应取多少?你能计算出来吗?二、合作探究【类型一】求一个数的平方根例1求下列各数的平方根：解析：根据平方根的性质知道，一个正数有两个平方根，它们互为相2(4)(±2.1)²=(一2.1)².因此(一2.1)²的平方根是2.1与—2.1.即士√(-2.1)²=±2.1.方法总结：求一个非负数的平方根，只要找出一个非负数，使得它的平方等于这个数，那么找出的那个非负数，连同它的相反数，就是所求的平方根.【类型二】利用平方根的意义求字母的值解析：∵一个正数的两个平方根分别是2a-2和a-4,.2a-2+a-4=0,解得a=2.故答案为2.方法总结：本题考查了平方根的概念.一个正数有两个平方根，它们互为相反数，两个数互为相反数，它们的和为0.探究点二：算术平方根【类型一】求一个数的算术平方根求下列各数的算术平方根：解析：根据算术平方根的定义，求算术平方根时，只取非负的平方根即可.解：(1)由于1.3²=1.69,因此√1.69=1.3.(3)由于(一5)²=5²,因此√(-5)²=5.(4)由于O²=0,因此√50=0.方法总结：求一个数的算术平方根的一般步骤：①找出一个非负数，使得它的平方等于这个数；②写成这个数的算术平方根等于这个非负数的形式.【类型二】求含根号式子的值解析：(1)±√49表示49的平方根，所以结果为±7;(2)-√16表示16的算术平方根的 =√81,而81的算术平方根为9,所以结果为9.(4N√(-9)²=√81=9.结果的符号与式子前面的符号相同.【类型三】算术平方根的非负性23=0.于是可以求得a、b的值，再代入ab计算即可.3解：因为la-21+√b-3=0,解所以a=2³=8.方法总结：几个非负数的和为0,则这几个非负数分别等于0.探究点三：用计算器求一个数的平方根解析：(1)按键：“√”“1225”“=”即可；三、板书设计1.平方根2.算术平方根算术平方根与平方根的区别与联系：一个正数的平方根有2个，而算术平方根只有1个；一个正数的负的平方根是它的算术平方根的相反数.3.用计算器求一个数的平方根本节课通过实际问题引入平方根，让学生感知“负数没有平方根”,激发学生的求知欲望.再让学生用计算器求一个数的平方根，通过对比认识到平方根与算术平方根的区别与联系.这样突出学生的主体地位，整个课堂以学生参与为主线，老师起主导作用，使学生成为课堂的主人.6.1平方根、立方根第2课时立方根1.了解立方根的概念，会用根号表示一个数的立方根.2.了解立方与开立方是互逆运算，会利用这种关系求千以内整数的立方根.43.会用计算器计算一个数的立方根，知道正数、负数和0都有立方根.4.体会数学与实际生活的紧密联系，培养学生善于发现问题和提出问题的习惯.重点：立方根的概念和求法.难点：理解立方根和平方根的区别.一、情境导入一个正方体的体积为8立方米，这个正方体的棱长是多少?探究点一：立方根【类型一】求一个数的立方根例1求下列各数的立方根.解析：根据立方根的定义，把题中各数分别化为一个数的立方即可.解：(1)∵(一3)³=-27,∴③方法总结：任何一个数都只有一个立方根，其符号与原数的符号相同.【类型二】立方根与平方根的综合问题例2已知x-2的平方根是±2,2x+y+7的立方根是3,求x²+y²的算术平方根.解析：根据平方根、立方根的定义和已知条件可知x-2=4,2x+y+7=27,从而解出x,y,最后代入x²+y²,求其算术平方根即可.解：∵x-2的平方根是±2,∴x-2=4.∴x=6.∵2x+y+7的立方根是3,∴2x+y+7=27.把x=6代入解得y=8.∵x²+y²=68+8²=100,∴x²+y²的算术平方根为10.方法总结：本题先根据平方根和立方根的定义，运用方程思想求出x,y的值，再根据算术平方根的定义求解.【类型三】开立方运算 解析：本题实质是求各数的立方根.5解：(1)³-125=-5.②3方法总结：进行开立方运算时，要注意符号，当被开方数是带分数时，应先将它化成假分数再求立方根.探究点二：用计算器求一个数的立方根例4用计算器求下列各式的值.②(精确到0.001);(3)-³√-5.368(精确到0.001).解析：先按2ndF,J键，再按根号下的各数字，最后按三键即可.(2)、(3)小题可先确定结果的符号：(2)小题结果为负，(3)小题结果为正. 方法总结：2ndF键是第二功能键，相继按2ndF,√键，意思是执行√ 上方所指³厂的功能运算.K三、板书设计1.立方根正数的立方根是一个正数，负数的立方根是一个负数，0的立方根是0.56根与平方根的区别.1.经历无理数的探究过程，了解无理数的概念，会判断一个数是否为无理数.2.了解循环小数化为分数的方法，知道可以从两个方面对实数进行分类.3.通过实数的分类感受数学的严谨性以及数学结论的确定性.重点：无理数、实数的概念.难点：无理数、实数的概念.为了美化校园，学校打算建一个面积为225平方米的正方形应取多少?你能计算出来吗?【类型一】无理数的识别例1在下列实数中：,3.14,0,√9,π,√3,0.1010010001…,无理数有()故选C.【类型二】无理数的应用例2设n为正整数，且n<√65<n+1,例3把下列各数分别填到相应的大括号内：7解析：实数分为有理数和无理数两类，也可以分为正实数、0、负实数三类.而有理数分为整数和分数.解：(1)有理数{-3.6,√4,5,0,(3)整数{√4,5,0,(4)负实数{-3.6,方法总结：正确理解实数和有理数的概念，做到分类不遗漏不重复.1.无理数无理数包含的三类数：(1)开方开不尽而得到的数；(2)圆周率π以及含有π的数；(3)看似循环，但不循环的无限小数.(1)有理数和无理数统称为实数.本节课学习了无理数、实数的有关概念及实数的分类，把我们所学过的数在有理数的基础上扩充到实数.在学习中，要求学生结合有理数理解实数的有关概念.本节课要注意的地方有两个：一是所有的分数都是有理数，如;二是形如等之类的含有π的数不是分数，而是无理数.6.2无理数和实数第2课时实数的运算及大小比较1.了解实数的相反数、绝对值、倒数的意义，会求实数的相反数、绝对值和倒数.2.能对实数进行简单的四则运算，会按要求用近似有限小数代替无理数，再进行计算.83.初步学会比较两个实数的大小，知道实数与数轴上的点一一对应.4.经历实数在数轴上的表示过程，渗透数形结合思想，增强应用数学的意识.重点：实数的运算.难点：无理数的大小比较.如图所示，小明家有一正方形厨房ABCD和一正方形卧室CEFG,其中正方形厨房ABCD的面积为10平方米，正方形卧室CEFG的面积为15平方米，他想知道这两个正方形的边长之和BG的长是多少米，你能帮他计算出来吗?二、合作探究探究点一：实数与数轴的关系【类型一】求数轴上的点对应的实数例1如图所示，数轴上A,B两点表示的数分别是-1和√3,点B关于点A的对称点为C,求点C所表示的实数.解析：首先结合数轴和已知条件可以求出线段AB的长度，然后利用对称的性质即可解：∵数轴上A,B两点表示的数分别为-1和√3,∴点B到点A的距离为1+√3.则点C到点A的距离也为1+√3.设点C表示的实数为x.则点A到点C的距离为-1-x,∴-1-x=1+√3,∴x=-2-√3∴方法总结：本题主要考查了实数与数轴之间的对应关系.两点之间的距离为两数差的绝对值.【类型二】利用数轴进行估算例2如图所示，数轴上A,B两点表示的数分别是√2和5.1,则A,B两点之间表示整数的点共有()解析：∵√2≈1.414,:√2和5.1之间的整数有2,3,4,5,∴A,B两点之间表示整数的点共有4个.故选C.方法总结：要确定两点间的整数点的个数，也就是需要比较两个端点与邻近整点的大小，牢记数轴上右边的点表示的实数比左边的点表示的实数大.【类型三】结合数轴进行化简例3实数在数轴上的对应点如图所示，化简：√a²-|b—a|-√(b+c)².8再根据绝对值的意义化简.解：由图可知a<0,b—a>0,b+c<0.9所以原式=la|-|b—a|—|b+c=-a—(b—a)+(b+c)=-a-b+a+b+c=c.方法总结：根据实数的绝对值的意义正确去绝对值符号是解题的关键：la|=解析：根据相反数、绝对值的定义求解.(3)-1+√3的相反数是1—√3,绝对值是-1+√3.前面加上“一”号再去括号即可.求一个数的绝对值，需要分清这个数是正数、0还是负数.正数的绝对值是它本身，0的绝对值是0,负数的绝对值是它的相反数.解析：按照实数的混合运算顺序进行计算.(2)因为√3-√2>0,1-√2<0,2-√3>0,方法总结：进行实数的混合运算时，要注意运算顺序以及正确运用运算律.解析：把两个数直接相减，根据差的正负比较大小.9方法总结：作差法比较实数大小：设a,b为任意两个实数，先求出a与b的差，再根1.实数与数轴的关系实数与数轴上的点一一对应.2.实数的性质有理数的相反数、倒数、绝对值的意义在实数范围内仍然有意义.3.实数的运算4.实数的大小比较正数大于零，负数小于零，正数大于负数；两个正数，绝对值大的数较大；两个负数，绝对值大的数反而小.由实际问题引入实数的运算，激发学生的学习兴趣.同时复习有理数的运算法则和运算律，并强调这些法则和运算律在实数范围内同样适用.教学中，让学生通过具体的运算(包含无理数的运算)感知运算法则和运算律，培养学生严谨务实、一丝不苟的学习态度.第7章一元一次不等式与不等式组7.1不等式及其基本性质1.了解不等式及其概念，会用不等式表示数量之间的不等关系.2.理解不等式的解及解集的意义，掌握不等式的基本性质，并能利用不等式的基本性质解决问题.3.经历现实生活中不等关系的探究过程，感受不等模型在现实生活中的应用，提高观察、分析、归纳的能力.重点：不等式的概念和不等式的基本性质.难点：不等式的基本性质3,以及正确分析实际问题中的不等关系并用不等式表示.有一群猴子，一天结伴去摘桃子.分桃子时，如果每只猴子分3个，那么还剩下59个；如果每只猴子分5个，那么最后一只猴子分得的桃子不够5个.你知道有几只猴子，几个桃子吗? 例1下列各式中：①-3<0;②4x+3y>0;③x=3;④x²+xy+y2;⑤x≠5;⑥x+2>y+3.不等式的个数有()解析：③是等式，④是代数式，没有不等关系，所以不是不等式.不等式有①②⑤⑥,共4个.故选B.答此类题的关键是要识别常见不等号：>.<.≤.2.≠.如果式子中没有这些不等号.就不是不等式.【类型二】用不等式表示数量关系(3)a与—2的差不大于它的3倍；(2)m-1≥0.例3亮亮准备用自己节省的零花钱买一台学生平板电脑.他现在已存有400元，计划从现在起以后每个月节省200元，知道他至少需要1800元，则可以用于计算所需要的月数x的不等式是()A.200x-400≥1800B.200x+400≥1800C.200x-400≤1800D.200x+40解析：此题中的不等关系：现在已存有400元，计划从现在起以后每个月节省200元，知道他至少需要1800元.列出不等式200x+400≥1800.故选B.至少、至多等的含义.+1<0的解集是x>2.其中正确的个数是()-2>0不成立，所以x=-3不是3x-2>0的解；③取x=1,可得—2x+1=-1<0,故x=1是不等式—2x+1<0的一个解，所以—2x+1<0的解集不是x>2,所以不正确.故选断一个不等式的解集是否正确，可通过举反例判断.探究点三：不等式的性质 【类型一】比较代数式的大小例5根据不等式的性质，下列变形正确的是()正数，不等号的符号不改变，故B正确；C中不等式的两边都乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变，故C错误；D中不等式的两边都加或减同一个整式，不等号的方向不变，故D错误.故选B.方法总结：本题考查了不等式的性质，注意不等式的两边都乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变.例6把下列不等式化成“x>a”或“x<a”的形式：解析：根据不等式的基本性质，把含未知数项放到不等式的左边，常数项放到不等式的右边，然后把未知数的系数化为1.解：(1)根据不等式的基本性质1,两边都加上2得2x<2.根据不等式的基本性质2,两边除以2得x<1.(2)根据不等式的基本性质1,两边都加上9—6x得—3x<9.根据不等式的基本性质3,两边都除以—3得x>-3.X(3)根据不等式的基本性质1,两边都加上得一x>-3.根据不等式的基本性质3,两边都除以-1得x<3.X方法总结：运用不等式的基本性质进行变形，把不等式化成“x>a”或“x<a”的形式时，可以先在不等式两边同时加上一个适当的代数式，使含未知数的项在不等式的左边，常数项在不等式的右边(也可通过移项实现).然后把未知数的系数化为1.【类型三】判断不等式变形是否正确解析：根据不等式的基本性质可判断，a+1为负数，即a+1<0,可得a<-1.方法总结：只有当不等式的两边都乘(或除以)一个负数时，不等号的方向才改变.2.不等式的性质性质1:不等式的两边都加上(或减去)同一个数(或式子),不等号的方向不变；性质2:不等式的两边都乘以(或除以)同一个正数，不等号的方向不变；性质3:不等式的两边都乘以(或除以)同一个负数，不等号的方向改变；本节课通过实际问题引入不等式，并用不等式表示数量关系.要注意常用的关键词的含果含有“不”“非”等文字，一般应包括“=”,这也是学生容易出错的地方.第7章一元一次不等式与不等式组7.2一元一次不等式第1课时一元一次不等式的概念及解法1.了解一元一次不等式的概念，知道解一元一次不等式的一般步骤.2.会解一元一次不等式，能在数轴上表示不等式的解集.3.类比解一元一次方程的步骤与方法，归纳出解一元一次不等式的步骤与方法，培养自学能力和归纳能力.重点：解一元一次不等式并用数轴表示其解集.难点：不等式基本性质3的正确运用.一、情境导入1.什么叫一元一次方程?2.解一元一次方程的一般步骤是什么?要注意什么?【类型一】一元一次不等式的识别例1下列不等式中，是一元一次不等式的是()A.5x—2>0C.6x-3y≤-2D.y²+1>2解析：选项A是一元一次不等式，选项B中含未知数的项不是整式，选项C中含有两个未知数.选项D中未知数的次数是2.故选项B.C.D都不是一元一次不等式.所以选②未知数的最高次数为1;③不等式的两边都是关于未知数的整式.【类型二】根据一元一次不等式的概念确定字母的取值范围探究点二：解一元一次不等式并在数轴上表示其解集【类型一】解一元一次不等式例3解下列不等式，并把解集在数轴上表示出来：解析：先去分母，再去括号、移项、合并同类项，系数化为1,求出不等式的解集，再在数轴上表示出来即可.解：(1)去分母，得3(2x-3)<x+1,去括号，得6x-9<x+1,移项，合并同类项，得5x<10,系数化为1,得x<2.不等式的解集在数轴上表示如下：(2)去分母，得2(2x-1)一(9x+2)≤6,去括号，得4x-2-9x-2≤6,移项，得4x—9x≤6+2+2,合并同类项，得一5x≤10.系数化为1,得x≥-2.不等式的解集在数轴上表示如下：方法总结：在数轴上表示不等式的解集时，一要把点找准确，二要找准方向，三要区别实心圆点与空心圆圈.【类型二】根据一元一次不等式的解集求待定系数例4已知不等式x+8>4x+m(m是常数)的解集是x<3,求m的值.解析：先解不等式x+8>4x+m,再列方程求解.解：因为x+8>4x+m,所以x—4x>m-8,—3x>m-8,因为其解集为x<3,所,解得m=-1.方法总结：已知解集求字母系数的值.通常是先解含有字母的不等式，再利用解集的唯一性列方程求字母的值.解题过程体现了方程思想.【类型三】求一元一次不等式的特殊解例5当y为何值时，代数的值不大于代数式的值?并求出满足条件的最大整数.解析：根据题意列出不等；,再求出解集，然后找出符合条件的最大整数.解：依题意，去分母，得4(5y+4)≤21-8(1—y),去括号，得20y+16≤21-8+8y,移项，得20y-8y≤21—8-16,合并同类项，得12y≤-3,把y的系数化为1,得在数轴上表示如下：由图可知，满足条件的最大整数是-1.方法总结：求不等式的特殊解，先要准确求出不等式的解集，然后确定特殊解.在确定特殊解时，一定要注意是否包括端点的值，一般可以结合数轴，形象直观，一目了然.三、板书设计1.一元一次不等式的概念2.解一元一次不等式并在数轴上表示其解集一元一次不等式的一般解法：(1)去分母；(2)去括号；(3)移项；(4)合并同类项；(5)化系数为1(系数为负数时改变不等号方向).本节课通过类比一元一次方程的解法得到一元一次不等式的解法，让学生感受到解一元一次不等式与解一元一次方程只是在两边都除以未知数的系数这一步时有所不同：如果这个系数是正数，不等号的方向不变；如果这个系数是负数，不等号的方向改变.这也是这节课学生容易出错的地方.教学时要大胆放手，不要怕学生出错，要通过学生犯的错误引起学生注意，理解产生错误的原因，以便在以后的学习中避免出错.第7章一元一次不等式与不等式组第2课时一元一次不等式的应用1.能根据具体问题中的数量关系，建立不等模型，会用一元一次不等式解决实际问题.2.通过实际问题的解决，能归纳出应用一元一次不等式解决实际问题的一般步骤.3.经历由实际问题到建立一元一次不等式的数学模型的探索过程，提高分析问题和解决问题的能力.重点：由实际问题中的不等关系列出不等式.难点：用一元一次不等式解决实际问题.如果你要分别购买40元、80元、140元、160元的商品，应该去哪家商店更优惠?探究点：列一元一次不等式解决实际问题【类型一】商品销售问题例1某商品的进价是120元，标价为180元，但销量较小.为了促销，商场决定打折销售，为了保证利润率不低于20%,那么最多可以打几折出售此商品?解析：由题意可知利润率为20%时，获得的利润为120×20%=24元；若打x折该商获得的利润=该商品的标价×,即该商品获得的和式，解得x的值即可.解：设可以打x折出售此商品，由题意得解之得x≥8.答：最多可以打8折出售此商品.方法总结：商品销售问题的基本关系是：售价一进价=利润.读懂题意列出不等关系式求解是解题关键 【类型二】竞赛积分问题例2某次知识竞赛共有25道题，答对一道得4分，答错或不答都扣2分.小明得分要超过80分，他至少要答对多少道题?解析：设小明答对x道题，则答错或不答的题数为(25-x),根据得分要超过80分，列出不等关系式，求解即可.解：设小明答对x道题，则他答错或不答的题数为(25—x).根据他的得分要超过80分，得解这个不等式，得因为x应是整数而且不能超过25,所以小明至少要答对22道题.答：小明至少要答对22道题.方法总结：竞赛积分问题的基本关系是：得分一扣分=最后得分.本题涉及不等式的整【类型三】安全问题例3在一次爆破中，用一条1m长的导火索来引爆炸药，导火索的燃烧速度为0.5cm/s,引爆员点着导火索后，至少以每秒多少米的速度才能跑到600m以外域?解析：本题首先依题意可得出不等关系即引爆员所跑路程大于等于600米，然后列出不等式为解出不等式即可.安全区域.【类型四】分段计费问题例4小明家每月水费都不少于15元，自来水公司的收费标准如下：若每户每月用水不超过5立方米，则每立方米收费1.8元；若每户每月用水超过5立方米，则超出部分每立方米收费2元，小明家每月用水量至少是多少?解析：当每月用水5立方米时，花费5×1.8=9元，则可知小明家每月用水超过5立方米，设每月用水x立方米，则超出(x-5)立方米，根据题意超出部分每立方米收费2元，列一元一次不等式求解即可.解：设小明家每月用水x立方米.解不等式得x≥8.答：小明家每月用水量至少是8立方米.用.根据费用之间的关系建立不等式求解即可.【类型五】调配问题例5有10名菜农，每人可种甲种蔬菜3亩或乙种蔬菜2亩，已知甲种蔬菜每亩可收入0.5万元，乙种蔬菜每亩可收入0.8万元，要使总收入不低于15.6万元，则最多只能安排多少人种甲种蔬菜?解析：设安排x人种甲种蔬菜，则种乙种蔬菜有2(10—x)亩.再列出不等式求解即可.解得x≤4.答：最多只能安排4人种甲种蔬菜.方法总结：调配问题中，各项工作的人数之和等于总人数.【类型六】方案决策问题其中每台的价格、月处理污水量及年消耗费如下表.经预算，该企105万元. 价格(万元/台)1210 处理污水量(吨/月)240200 (2)若企业每月产生的污水量为2040吨，为了节约资金，应选择哪种购买方案?∵x取非负整数，∴x可取0,1,2.(2)240x+200(10—x)≥2040,解得x≥1,∴x为1或2.当x=1时，购买资金为12×1+10×9=102(万元);当x=2时，购买资金为12×2+10×8=104(万元).优方案时，应把几种情况进行比较，找出最大或最小，然后根据题目要求进行选择.实际问题列不等式解不等式结合实际情况确定答案导学生找不等关系列不等式.在教学过程中，可通过类比列一元一次方程解决实用题来学习，让学生认识到列方程与列不等式的区别与联系.第7章一元一次不等式与不等式组1.巩固一元一次不等式组的解法，会正确、熟练的解较复杂的一元一次不等式组.获得数学活动经验.重点：熟练、正确的解较复杂的一元一次不等式组.难点：运用不等式组解决问题.3个生产小组计划在10天内生产500件产品(每天生产量相同),按照原来的生产速度，不能在计划时间内完成任务；如果每个小组比原计划每天多生务.你能根据以上信息求出每个小组原来每天的生产量吗?今天我们就要学习运用一元一次不等式组解决实际问题.【类型一】解一元一次不等式组例1解下列不等式组，并把它们的解集在数轴上表示出来.解析：先求出不等式组中每一个不等式的解集，再求它们的公共部分.解：(1)解不等式①,得x≥2,解不等式②,得x>2,所以原不等式组解不等式①,得x>1,解不等式②,得x≤4,所以原不等式组的解集是1<x≤4.方法总结：解一元一次不等式组的一般步骤是：先分别也可利用口诀确定不等式组的解集【类型二】求一元一次不等式组的特殊解 解析：分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集，在其公共解集内找出符合条件的x的整数值即可.解不等式①,得x≤2,解不等式②,得x>-3.所以原不等式组的解集为—3<x≤2,x的整数解为一2,-1,0,1,2.据题目要求确定特殊解.确定特殊解时也可以借助数轴.【类型三】根据一元一次不等式组的解集求字母的取值范围例3若不等式无解，则实数a的取值范围是()得a≤-1.故选D.方法总结：根据不等式组的解集求字母的取值范围，可按以下步骤进行：①解每一个不等式，把解集用数字或字母来表示；②根据已知条件即不等式组的解集情况，列出新的不等式.这时一定要注意是否包括边界点，可以进行检验，看有无边界点是否满足题意；③解这个不等式，求出字母的取值范围.探究点二：一元一次不等式组的应用例4某地区发生严重旱情，为了保障人畜饮水安全，急需饮水设备12台，现有甲、乙两种设备可供选择，其中甲种设备的购买费用为4000元/台，安装及运输费用为600元/台；乙种设备的购买费用为3000元/台，安装及运输费用为800元/台，若要求购买的费用不超过40000元，安装及运输费用不超过9200元，则可购买甲、乙两种设备各多少台?解析：根据“购买的费用不超过40000元”安装及运输费用不超过9200元”作为不等关系列不等式组，求其整数解即可.解得2≤x≤4,由于x取整数，所以x=2,3,4.答：有三种方案：①购买甲种设备2台，乙种设备10台；②购买甲种设备3台，乙种设备9台；③购买甲种设备4台，乙种设备8台.方法总结：列不等式组解应用题时，一般只设一个未知数，找出两个或两个以上的不等关系，相应地列出两个或两个以上的不等式组成不等式组求解.在实际问题中，大部分情况下应求整数解.三、板书设计不等关系列出相应的不等式，组成不等式组.在教学时要让学生养成检验的习惯，感受运用数学知识解决问题的过程，提高实际操作能力.第7章一元一次不等式与不等式组7.3一元一次不等式组第1课时一元一次不等式组及解简单的一元一次不等式组1.了解一元一次不等式组的概念，理解一元一次不等式组的解集的意义.2.会解简单的一元一次不等式组，能借助数轴正确表示一元一次不等式组的解集.感受类比与化归的思想.重点：一元一次不等式组的解集和解法.难点：一元一次不等式组解集的确定.例1判断下列式子中，哪些是一元一次不等式组?解析：根据一元一次不等式组的定义作答.解：(1)中x=42是方程，不是不等式，故不是一元一次不等式组；(2)中x²<81是一元二次不等式，故不是一元一次不等式组；(3)符合一元一次不等式组的定义，是一元一次不等式组；(4)含有两个未知数，是二元一次不等式组，故不是一元一次不等式组；(5)符合一元一次不等式组的定义，是一元一次不等式组.综上所述，(3)(5)是一元一次不等式组.方法总结：一元一次不等式组中含有两个或两个以上的不等式，不等式中的未知数相同，并且未知数的最高次数是一次.熟练掌握定义并灵活运用是解题的关键.探究点二：一元一次不等式组的解集例2不等式的解集在数轴上表示为()解析：把不等式组中每个不等式的解集在数轴上表示出来，它们的公共部分是1≤x<方法总结：利用数轴确定不等式组的解集，如果不等式组由两个不等式组成，其解集的公共部分在数轴上方应当是有两根横线穿过.探究点三：解简单的一元一次不等式组(2)2x+3<4(x-1)+3≤3x+2.解析：先求出每个不等式的解集，再根据找不等式组解集的规律找出不等式组的解集即可.解：(1)解不等式①,得x<2,解不等式②,得x>-4,∴原不等式组的解集为-4<x(2)不等式组可化；解不等式①,得x>2,解不等式②,得x≤3,∴原不等式组的解集是2<x≤3.方法总结：解一元一次不等式组，要遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了.三、板书设计解一元一次不等式组是建立在解一元一次不等式的基础之上，解不等式组时，先解每一个不等式，再确定各个不等式的解集的公共部分，学生的易错点在确定不等式的解集，教学中可以把利用数轴与利用口诀确定不等式组的解集结合起来，互相验证.1.了解同底数幂乘法的运算性质，运用性质熟练进行计算，并能解决一些实际问题.2.经历探究同底数幂乘法的运算性质的过程，进一步体会幂的意义，发展推理能力和有条理的表达能力.重点：理解并正确运用同底数幂的乘法法则.难点：同底数幂的乘法法则的探究过程.问题：2014年9月，一个国际空间站研究小组发现了太阳系以外的第100颗行星，距离地球约100光年.1光年是光经过一年所行的距离，光的速度大约是3×10⁵km/s.问：这颗行星距离地球多远?(1年=3.1536×10⁷s)解答：3×10⁵×3.1536×10⁷×100=3×3.1536×10⁷×10⁵×10²=9.4608×10⁵×10⁷×10².问题：“10⁷×10⁵×10²”等于多少呢?探究点一：同底数幂的乘法【类型一】底数为单项式的同底数幂的乘法例1计算：(1)2³×2⁴×2;解析：(1)根据同底数幂的乘法法则进行计算即可；(2)先算乘方，再根据同底数幂的乘法法则进行计算即可；(3)根据同底数幂的乘法法则进行计算即可.解：(1)原式=2³+4+1=28.方法总结：同底数幂的乘法法则只有在底数相同时才能使用；单个字母或数可以看成指数为1的幂，进行运算时，不能忽略了幂指数1.【类型二】底数为多项式的同底数幂的乘法(1)(2a+b)²n+1.(2a+b)解析：将底数看成一个整体进行计算.解：(1)原式=(2a+b)(2n+1)+3+(n-4)=(2a+b)³n.(2)原式=—(x-y)²-(x-y)⁵=—(x-y)⁷.方法总结：底数互为相反数的幂相乘时，先把底数统一，再进行计算.(a—b)"=探究点二：幂的运算性质1的运用【类型一】运用同底数幂的乘法求代数式的值解析：根据同底数幂的乘法法则，底数不变指数相加，可得a,b的关系，根据a,b的关系求解.方法总结：将等式两边化为同底数幂的形式，底数相同，那么指数也相同.【类型二】同底数幂的乘法法则的逆用解析：把am+n变成a".a",代入求值即可.方法总结：逆用同底数幂的乘法法则把am+n变成a"×a"三、板书设计数).统揽全局，表现出了较强的观察力.教师要善于抓住这个契机，适当对学生进行指导，培养他们“既见树木，又见森林”的优良观察品质.对于公式使用的条件既要把握好“度”,又要把握好“方向”.8.1.2幂的乘方与积的乘方1.了解幂的乘方、积的乘方的运算性质，并能运用性质解决一些实际问题.2.经历探索幂的乘方、积的乘方的运算性质的过程，进一步体会幂的意义，发展推理能力和有条理的表达能力.重点：理解并正确运用幂的乘方、积的乘方的运算性质.难点：幂的乘方、积的乘方的运算性质的探究过程及应用.(3)(一3)⁷×(-3)⁶=_;(4)a·a²·a³=_;(5)(23)²=2();(x⁴)⁵=x();(2100³=2().问题：(1)上述几道题目有什么共同特点?(2)观察计算结果，你能发现什么规律?(3)你能推导一下(a")"的结果吗?请试一试.探究点一：幂的乘方【类型一】直接应用幂的运算性质2进行计算(3)[(24)33;(4)[(m—n解析：直接运用(a")"=a""计算即可.(2)(x"-1)²=x²(m-1)=x²m-2.方法总结：运用幂的乘方法则进行计算时，一定不要将幂的乘方与同底数幂的乘法混淆，在幂的乘方中，底数可以是单项式，也可以是多项式.【类型二】方程与幂的乘方的应用例2已知2x+5y-3=0,求4*32的值.解析：由2x+5y-3=0得2x+5y=3,再把4*32统一为底数为2的乘方的形式，最后根据同底数幂的乘法法则即可得到结果.解：∵2x+5y-3=0,∴2x+5y=3∴4*·32=22×.25y=22x+5y=2³=8.方法总结：本题考查了幂的乘方的逆用及同底数幂的乘法，整体代入求解也比较关键.【类型三】根据幂的乘方的关系，求代数式的值解析：由2*=8+1,9=3×-9得2*=2³+1),3²y=3×9,则x=3(y+1),2y=x-9,解得x方法总结：根据幂的乘方的逆运算进行转化，得到x和y的方程组，求出x,y,再计算代数式的值.探究点二：积的乘方【类型一】含积的乘方的混合运算(1)(-2a²)3.a³+(-4a)²解析：(1)先进行积的乘方，然后根据同底数幂的乘法法则求解；(2)先进行积的乘方和幂的乘方，然后合并.方法总结：先算积的乘方，再算乘法，最后算加减，然后合并同类项.【类型二】积的乘方在实际中的应用例5太阳可以近似地看作是球体，如果用V,R分别代表球的体积和半径，那么πR³,太阳的半径约为6×10⁵千米，它的体积大约是多少立方千米(π取3)?解析：将R=6×10⁵千米代入即可求得答案.答：它的体积大约是8.64×10¹7立方千米.方法总结：读懂题目信息，理解球的体积公式并熟记积的乘方的性质是解题的关键.【类型三】利用积的乘方比较数的大小方法总结：利用积的乘方，转化成同底数的同指数的幂是解答此类问题的关键.1.幂的乘方幂的运算性质2:幂的乘方，底数不变，指数相乘.(a")"=a""(m,n都是正整数).2.积的乘方幂的运算性质3:积的乘方等于各因式乘方的积.(ab)"=a"b"(n是正整数).幂的乘方和积的乘方的探究方式与上一课时相似，因此在教学中可以就此展开教学.在探究问题的过程中，进一步发挥学生的主动性，尽可能地让学生在已有知识的基础上，通过自主探究，获得对新知识的感性认识，进而理解运用.第8章整式乘法与因式分解1.理解同底数幂的除法的运算性质，能直接运用性质进行计算.2.掌握同底数幂的除法运算并能运用其解决实际问题.3.经历探索同底数幂的除法的运算性质的过程，进一步体会幂的运算性质，体验由具体到一般的归纳推理的方法和依据.重点：同底数幂除法法则的理解及应用.难点：同底数幂除法法则的探究过程.一种液体每升含有10¹²个有害细菌，为了试验某种杀菌剂的效果，科学家们进行了实验，发现1滴杀菌剂可以杀死10⁹个此种细菌.要将1升液体中的有害细菌全部杀死，需要这种杀菌剂多少滴?探究点：同底数幂的除法【类型一】直接运用幂的运算性质4进行计算(3)(a²+1)⁶÷(a²+1)⁴÷(a²+1).解析：利用同底数幂的除法法则即可进行计算，其中(1)应把(一xy)看作一个整体；(2)把(x-2y)看作一个整体，2y-x=—(x-2y);(3)把(a²+1)看作一个整体.(2)(x-2y)³÷(2y-x)²=(x-2y)³÷(x方法总结：计算同底数幂的除法时，先判断底数是否相同或变形为相同，再根据法则计【类型二】逆用幂的运算性质4进行计算解析：先逆用同底数幂的除法，对am-n-1进行变形，再代入数值进行计算.方法总结：解此题的关键是逆用同底数幂的除法得出am-n-1=a"÷a"÷a.【类型三】同底数幂的除法的实际应用例3声音的强弱用分贝表示，通常人们讲话时的声音是50分贝，它表示声音的强度是105,汽车的声音是100分贝，它表示声音的强度是10¹0,喷气式飞机的声音是150分贝，求：(1)汽车声音的强度是人声音强度的多少倍?(2)喷气式飞机声音的强度是汽车声音强度的多少倍?解析：(1)用汽车声音的强度除以人声音的强度，再利用“同底数幂相除，底数不变指数相减”计算；(2)将喷气式飞机声音的分贝数转化为声音强度，再除以汽车声音的强度即可得到答案.解：(1)因为10¹0÷10⁵=1010-5=10⁵,所以汽车声音的强度是人声音强度的105倍.(2)因为人的声音是50分贝，强度是10⁵,汽车的声音是100分贝，强度为10¹0,所以喷气式飞机的声音是150分贝，其强度为10¹5.所以10¹⁵÷10¹0=10¹5-10=10⁵.所以喷气式飞机声音的强度是汽车声音强度的105倍.方法总结：本题主要考查同底数幂除法的实际应用，熟练掌握其运算性质是解题的关键.幂的运算性质4:同底数幂相除，底数不变，指数相减.从计算具体问题中同底数幂除法，逐步归纳出同底数幂除法的一般性质.教学时要多举奠定基础.第8章整式乘法与因式分解8.1.3第2课时零次幂、负整数次幂及科学记数法1.理解零次幂、负整数指数幂的概念及性质.2.会用科学记数法表示小于1的数，能将用科学记数法表示的数还原为原数.3.经历探究零次幂和负整数指数幂的过程，体验从一般到特殊的数学思想，发展抽象思维能力.重点：1.零次幂、负整数指数幂的意义及运算.2.会用科学记数法表示小于1的数.难点：零次幂、负整数指数幂的理解和运用.数的指数.当被除数的指数不大于除数的指数，即m=n或m<n时，情况怎样呢?方法总结：本题考查的是零次幂，非0数的零次幂等于1.注意零次幂的底数不能为0.【类型一】比较数的大小A.a>b=cB.a>c>b子、分母颠倒，负指数就可变为正指数.【类型二】零次幂与负整数次幂中底数的取值范围例3若(x-3)0-2(3x-6)-²有意义，则x的取值范围是()方法总结：任意非零数的零次幂为1,底数不能为零.【类型三】含负整数次幂、零次幂与绝对值的混合运算解析：分别根据有理数的乘方、负整数次幂、零次幂及绝对值的性质计算出各数，再根据实数的运算法则进行计算.方法总结：熟练掌握有理数的乘方、负整数次幂、零次幂及绝对值的性质是解答此题的关键.探究点三：用科学记数法表示绝对值小于1的数【类型一】用负整数次幂表示绝对值小于1的数例5中商网报道，一种重量为0.000106千克，机身由碳纤维制成，且只有昆虫大小的机器人是全球最小的机器人，0.000106用科学记数法可表示为()解析：0.000106=1.06×10-4,故选A.方法总结：绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数次幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定【类型二】将用科学记数法表示的数还原为原数解析：小数点向左移动相应的位数即可.解：(1)2×10-⁷=0.0000002.方法总结：将科学记数法表示的数a×10-n“还原”成通常表示的数，就是把a的小数点向左移动n位所得到的数.1.零次幂任何一个不等于零的数的零次幂都等于1.即a⁰=1(a≠0).2.负整数次幂任何一个不等于零的数的一p(p是正整数)次幂，等于这个数p次幂的倒数.即3.用科学记数法表示绝对值小于1的数从本节课的教学过程来看，结合了多种教学方法，既有教师主导课堂的例题讲解，又有学生主导课堂的自主探究.课堂上学习气氛活跃，学生的学习积极性被充分调动，在拓展学生的学习空间的同时，又有效地保证了课堂学习的质量.第8章整式乘法与因式分解8.2.1单项式与单项式相乘1.掌握单项式与单项式相乘的法则，能正确运用法则进行计算并解决简单的实际问题.2.让学生积极参与法则探索，在探索法则的过程中，发展观察、归纳、猜测、验证等能力.重点：单项式与单项式相乘的运算法则及其应用.难点：灵活地进行单项式与单项式相乘的运算.一、情境导入(1)2x3y;观察上述运算，你能归纳出单项式乘法的运算法则吗?探究点：单项式乘以单项式【类型一】直接利用单项式乘以单项式法则进行计算解析：运用幂的运算法则和单项式乘以单项式的法则计算即可.解：乘仍然成立.【类型二】单项式乘以单项式与同类项的综合进而求出m.n的值，即可得出答案.出二元一次方程组.【类型三】单项式乘以单项式的实际应用例3有一块长为xm、宽为ym的长方形空地，现在要在这块地中规划一块长的长方形空地用于绿化，求绿化的面积和剩下的面积.解：长方形的面积是xy(m²),长方形空方法总结：掌握长方形的面积公式和单项式乘单项式法则是解题的关键.三、板书设计的字母，则连同它的指数作为积的一个因式.2.单项式乘以单项式的应用.本课时的重点是让学生理解单项式乘法的法则并能熟练应用.要求学生在乘法的运算律学生通过动手操作，能够更为直接的理解和应用.第8章整式乘法与因式分解1.探索并掌握单项式与多项式的乘法运算法则.2.会进行简单的单项式与多项式的乘法运算.3.用数学的思维体会乘法分配律的作用与转化思想，发展有条理的思考及语言表达能难点：正确、熟练的运用法则进行运算.【类型一】直接利用单项式乘以多项式法则进行计算②解析：先去括号，然后计算乘法，再合并同类项即可.(【类型二】单项式与多项式乘法的实际应用例2一条防洪堤坝，其横断面是梯形，上底宽a米，下底宽(a+2b)米，坝高(2)如果防洪堤坝长100米，那么这段防洪堤坝的体积是多少立方米?(2)堤坝的体积立方米).故这段防洪堤坝的体例3先化简，再求值：5a(2a²—5a+3)-2a²(5a+5)+7a²,其中a=2.的数值计算即可.方法总结：本题考查了整式的化简求值.在计算时要注意先化简然后再代值计算.整式的加减运算实际上就是去括号与合并同类项.单项式与多项式相乘，用单项式和多项式的每一项分别相乘，再把所得的积相加.2.单项式与多项式的乘法的应用本节课在已学过的单项式乘单项式的基础上，学习了单项式乘学生的主体作用，让学生积极参与课堂活动，并通过不断纠错而提高自主学习能力.第8章整式乘法与因式分解素养昌标1.经历探索多项式乘法法则的过程，理解多项式乘法的法则，并会进行多项式乘法的运算.2.进一步体会乘法分配律的作用和转化的思想，发展有条理地思考和语言表达能力.重点：多项式乘法法则的理解及应用.难点：多项式乘法法则的推导.教学过程某地区在退耕还林期间，将一块长m米、宽a米的长方形林区的长、宽分别增加n米和b米.用两种方法表示这块林区现在的面积.这块林区现在长为(m+n)米、宽为(a+b)米，因而面积为(m+n)(a+b)平方米.另外：如图，这块地由四小块组成，它们的面积分别为ma平方米、mb平方米、na平方米、nb平方米，故这块地的面积为(ma+mb+na+nb)平方米.由此可得(m+n)(a+b)=ma+mb+na+nb.今天我们就学习多项式乘以多项式.二、合作探究探究点一：多项式与多项式相乘【类型一】直接利用多项式乘多项式进行计算(1)(3x+2)(x+2);(2)(4y—1)(5-y).解析：利用多项式乘多项式法则计算，即可得到结果.(2)原式=20y-4y²-5+y=-4y²+21y-5.方法总结：多项式乘以多项式，按一定的顺序进行，必须做到不重不漏；多项式与多项式相乘.仍得多项式.在合并同类项之前.积的项数应等于原多项式的项数之积.【类型二】多项式乘以多项式的混合运算解析：根据整式混合运算的顺序和法则分别进行计算，再把所得结果合并即可.方法总结：在计算时要注意混合运算的顺序和法则以及运算结果的符号.探究点二：多项式与多项式相乘的化简求值及应用【类型一】多项式乘以多项式的化简求值例3先化简，再求值：(a-2b)(a²+2ab+4b²)-a(a-5b)(a+3b),其中a=-1,b=1解析：先将式子利用整式乘法展开，合并同类项化简，再代入计算.-3a2b+5a²b+15ab²=-8b³+2a²b+15ab².当a=-1,b=1时，原式=-8+2-15=-21.方法总结：化简求值是整式运算中常见的题型，一定要注意先化简，再求值，不能先代值，再计算.解析：方程两边利用多项式乘以多项式法则计算，移项合并同类项，将x系数化为1,即可求出解.解：去括号，得x²-5x+6=x²+10x+9+4,移项，合并同类项，得—15x=7,解得x方法总结：解答本题就是利用多项式的乘法，将原方程转化为已学过的方程解答.【类型三】多项式乘以多项式的实际应用例5千年古镇杨家滩的某小区的内坝是一块长为(3a+b)米、宽为(2a+b)米的长方形地块，物业部门计划将内坝进行绿化(如图阴影部分),中间部分将修建一仿古小景点(如图中间的正方形),则绿化的面积是多少平方米?并求出当a=3,b=2时的绿化面积.解析：根据长方形的面积公式，可得内坝、景点的面积，根据面积的和差，可得答案.决问题的关键.【类型四】根据多项式乘以多项式求待定系数的值解析：首先利用多项式乘法法则计算出(ax²含x项，可得含x2项和含x项的系数等于零，即可求出a与b的值.根据不含某一项，可得这一项系数等于零，再列出方程解答.三、板书设计得的积相加.精讲精练，让学生从练习中再次体会法则的内容，为以后的学习奠定基础.第8章整式乘法与因式分解1.了解完全平方公式的几何背景，会推导完全平方公式，并能运用公式进行简单的计2.经历探索完全平方公式的过程，体会数形结合思想，发展观察、交流、猜测、验证等能力.重点：体会完全平方公式的发现和推导过程，运用完全平方公式.难点：理解完全平方公式的结构特征，灵活应用完全平方公式.一、情境导入(1)(x+1)²;(2)由上述计算，你发现了什么结论?二、合作探究探究点：完全平方公式【类型一】直接运用完全平方公式进行计算例1利用完全平方公式计算：解析：直接运用完全平方公式进行计算即可.解：(1)(5-a)²=25-10a+a².方法总结：完全平方公式：(a±b)²=a²±2ab+b².可巧记为“首平方，尾平方，乘积两倍在【类型二】构造完全平方式例2若36x²+(m+1)xy+25y2是一个完全平方式，求m的值.解析：先根据两平方项确定出这两个数，再根据完全平方公式确定m的值.解：∵36x²+(m+1)xy+25y²=(6x)²+(m+1)xy+(5y)2,∴(m+1)xy=±2·6x-5y.m+1=±60.∴m=59或—61.方法总结：两数的平方和加上或减去它们积的2倍.就构成了一个完全平方式.注意积的2倍的符号，避免漏解.【类型三】运用完全平方公式进行简便计算例3利用完全平方公式计算：解析：(1)把99写成(100-1)的形式，然后利用完全平方公式展开计算；(2)可把102分成100+2,然后根据完全平方公式计算.解：(1)99²=(100-1)²=100²-2×100+1²=10000-200+1=9801.方法总结：利用完全平方公式计算一个数的平方时.先把这个数写成整十或整百的数与另一个数的和或差，然后根据完全平方公式展开计算.【类型四】灵活运用完全平方公式求代数式的值解析：(1)先去括号，再整体代入，即可求出答案；(2)先变形，再整体代入，即可求出答案.(2)∵(x+y)²=9,xy=2,∴(x²+1)(y²+1+9-2×2+1=10.方法总结：所求的展开式中都含有xy或x+y时，我们可以把它们看作一个整体代入到需要求值的代数式中，整体求解.【类型五】完全平方公式的几何背景例5我们已经接触了很多代数恒等式，知道可以用一些硬纸片拼成的图形面积来解释验证了一个恒等式，此等式是()A.a²—b²=(a+b)(a—b)B.(a—b)(a+2b)=a²+ab—2b²D.(a+b)²=a²+2ab+b²解析：空白部分的面积为(a-b)²,还可以表示为a²-2ab+b²,所以，此恒等式是一b)²=a²—2ab+b².故选C.方法总结：通过几何图形面积之间的数量关系对完全平方公式做出几何解释.【类型六】与完全平方公式有关的探究问题展开式的系数，请你仔细观察图中的规律，填出(a+b⁶展开式中所缺的系数.解析：由(a+b)¹=a+b,(a+b)²=a²+2ab+b²,(a+b)³=a³+3a²bb)”的各项展开式的系数除首尾两项都是1外，其余各项系数都等于(a+b)”-1的相邻两个系数的和，由此可得(a+b)⁴的各项系数依次为1,4,6,4,1;(a+b)⁵的各项系数依次为1,5,10,10,5,1;因此(a+b)⁶的各项系数依次为1,6,15,20,15,6,1,故填20.三、板书设计两个数的和(或差)的平方，等于这两个数的平方和加(或减)这两个数乘积的2倍.2.完全平方公式的运用本节课通过多项式乘法推导出完全平方公式，让学生自己总结出完全平方公式的特征，注意用如下口诀：首平方，尾平方，乘积两倍在中央.教学中，教师可通过判断正误等习题强化学生对完全平方公式的理解记忆.第8章整式乘法与因式分解1.了解平方差公式的几何背景，会推导平方差公式，并能运用平方差公式进行简单的计算.2.经历探索平方差公式的过程，进一步体会转化、数形结合等思想方法，培养学生观察、归纳、猜测、验证等能力.重点：平方差公式的推导和应用.难点：理解平方差公式的结构特征，灵活应用平方差公式.1.教师引导学生回忆多项式与多项式相乘的法则.学生积极举手回答.多项式与多项式相乘的法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项分别乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.2.教师肯定学生的表现，并讲解一种特殊形式的多项式与多项式相乘——平方差公式.二、合作探究探究点：平方差公式【类型一】直接应用平方差公式进行计算例1利用平方差公式计算：(4)(x-2)(x+2)(x²+4).解析：直接利用平方差公式进行计算即可.(2)(—2a—b)(b—2a)=(-2a)²(4)(x-2)(x+2)(x²+4)=(x²-4)(x²+4)=x⁴-16.方法总结：应用平方差公式计算时，应注意以下几个问题：(1)左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数；(2)右边是相同项的平方减去相反项的平方；(3)公式中的a和b可以是具体的数，也可以是单项式或多项式.【类型二】应用平方差公式进行简便运算方法总结：熟记平方差公式的结构并构造出公式结构是解题的关键.【类型三】运用平方差公式进行化简求值例3先化简，再求值：(2x-y)(y+2x)—(2y+x)(2y—x),其中x=1,y=2.解析：利用平方差公式展开并合并同类项，然后把x,y的值代入进行计算即可得解.当x=1,y=2时，原式=5×1²—5×2²=-15.方法总结：利用平方差公式先化简再求值，切忌代入数值直接计算.【类型四】平方差公式的几何背景例4如图①.在边长为a的正方形中剪去一个边长为b的小正形(a>b),把剩下部分方法总结：通过几何图形面积之间的数量关系可对平方差公式做出几何解释.【类型五】平方差公式的实际应用例5王大伯家把一块边长为a(a>4)米的正方形土地租给了邻居李大妈.今年王大伯对李大妈说：“我把这块地一边减少4米，另外一边增加4米，继续原价租给你，你看如何?”李大妈一听，就答应了.你认为李大妈吃亏了吗?为什么?小即可.解：李大妈吃亏了，理由如下：原正方形的面积为a²,改方法总结：解决实际问题的关键是根据题意列出算式，然后根据公式化简解决问题.三、板书设计两数和与这两数差的积，等于它们的平方差.2.平方差公式的运用教学反思方差公式，并能用平方差公式解决实际问题.本节教学内容较多，因此教材中的练习可以让学生在课后完成.第8章整式乘法与因式分解素养冒标1.了解因式分解的意义以及它与整式乘法之间的关系.2.能确定多项式的公因式，能用提公因式法把多项式因式分解.3.让学生在探索提公因式法因式分解的过程中体会逆向思维，渗透化归的思想方法.重点：理解因式分解的概念，会用提公因式法分解因式.教学过程米?=(x+3y)(x-3y).一个多项式转化成几个整式积的形式，故④是因式分解.故选B.同表现形式.因式分解是两个或几个因式积的表现形式，整式乘法是多项A.abcB.3a²b²解析：系数的最大公约数是3,相同字母的最低指数次幂是ab,∴公因式为3ab.故选方法总结：确定多项式中各项的公因式，可概括为三“定”:(1)定系数，即确定各项系数的最大公约数；(2)定字母，即确定各项的相同字母因式(或相同多项式因式);(3)定指数，即各项相同字母因式(或相同多项式因式)的指数的最低次幂.探究点三：提公因式法分解因式【类型一】直接用提公因式法进行因式分解解析：将原式各项提取公因式即可得到结果.解：(1)原式=4ab²(2a²+3bc).(2)原式=(2a-3)(b+c).方法总结：提公因式法的基本步骤：(1)找出公因式；(2)提公因式并确定另一个因式.【类型二】利用因式分解简便运算(2)29×20.15+72×20.15+13×20.15-20.15×14.解析：(1)首先提取公因式13,进而求出即可；(2)首先提取公因式20.15,进而求出即(2)29×20.15+72×20.15+13×20.15-20.15×14=20.15×(29+72+13-14)=2015.方法总结：在计算求值时，若式子各项都含有公因式，用提取公因式的方法可使运算简【类型三】利用因式分解整体代换求值解析：原式提取公因式变形后，将a+b与ab的值代入计算即可求出值.方法总结：求代数式的值，有时要将已知条件看作一个整体代入求值.1.因式分解的概念2.公因式3.提公因式法分解因式式分解与整式的乘法是逆过程，从而可用整式的乘法检查错误.本节课在对例题的探究上，提倡引导学生合作交流，使学生发挥群体的力量，以此提高教学效果.第8章整式乘法与因式分解1.进一步理解整式乘法与因式分解之间的关系，会用公式法(直接用公式不超过两次)进行因式分解.2.经历通过整式乘法的平方差公式、完全平方公式逆向得出公式法分解因式的过程，发展学生的逆向思维和推理能力.重点：应用平方差公式、完全平方公式进行因式分解.难点：正确、灵活应用公式法进行因式分解.我们已经学习了完全平方公式和平方差公式，对下面的多项式进行因式分解，试着发现其中的规律.(1)x²—6xy+9y²;(3)x²—9y²;(4)x⁴-1.探究点一：公式法分解因式【类型一】运用完全平方公式分解因式例1下列多项式能用完全平方公式分解因式的有()解析：(1)a²+ab+b²,乘积项不是两数的2倍，不能运用完全平方公式；乘积项是这两数的4倍，不能用完全平方公式；(4)-a²+8a方法总结：能运用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式，其中有两项能写成两个数(或式)的平方和的形式，另一项是这两个数(或式)的积的2倍.【类型二】运用平方差公式分解因式例2下列多项式中能用平方差公式分解因式的是()解因式，正确.故选D.方法总结：能够运用平方差公式分解因式的多项式必须是二项式，两项都能写成平方的形式，且符号相反.探究点二：综合运用提公因式法与公式法分解因式【类型一】综合运用提公因式法和公式法分解因式(3)x²(x-y)+(y—X).(x-y)变形后，即可提取公因式(x-y),然后再运用平方差公式继续分解因式.(2)2x²-8y²=2(x²-4y²)=2(x+2y)(x-2y).(3)x²(x-y)+(y—X)=x²(x-y)—(x-y)=(方法总结：一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再考虑运用公式进行因式分解；同时因式分解要彻底，直到每一个因式都不能再分解为止.【类型二】利用公式法因式分解简化计算例4利用因式分解计算：(2)38.9²-2×38.9×48.9+48.92.解析：利用完全平方公式转化为(a±b)²的形式后计算即可.解：(1)34²+34×32+16²=(2)38.9²—2×38.9×48.9+48.9²=(38.9-48.9)²=100.方法总结：此题主要考查了运用公式法分解因式简化计算，正确掌握完全平方公式是解题关键.1.公式法分解因式2.综合运用提公因式法分解因式教学反思本节课学习了利用公式法进行因式分解，通过独立思考，小组合作交流等方法，归纳出适用公式法进行因式分解的多项式特点以及运用公式法进行因式分解的一般步骤，通过例题与练习，巩固相关知识，同时充分发挥学生的主体作用，鼓励学生积极参与课堂活动，培养学生的数学学习兴趣.第8章整式乘法与因式分解素养冒标1.理解并掌握运用分组分解法、十字相乘法进行因式分解的基本原理和一般步骤.3.让学生在讨论、交流、展示中，发展数学语言表达能力，培养学生的观察能力和从特殊到一般、从具体到抽象的思维品质.重点：用分组分解法、十字相乘法进行因式分解.难点：正确、灵活运用分组分解法、十字相乘法进行因式分解.一、情境导入2.根据1中得到的式子尝试因式分解：a⁴-a³-12a²+9a+81.二、合作探究探究点一：分组分解法分解因式【类型一】运用分组法分解因式例1因式分解：(2)x³+6x²+11x+6.解析：(1)前三项是完全平方形式，与-2(a+2b)再提取公因式，分解因式即可；(2)把式子化成x³+6x²+9x+2x+6的形式，前三项首先提公因式x,即可利用完全平方公式分解，后边的两项可以提公因式，然后利用提公因式法分解，最后利用十字分解法分解即可.解：(1)原式=(a+2b)²-2(a+2b)=(a+2b)(a+2b-2).+2)=(x+3)(x+1)(x+2).方法总结：本题考查了分组分解法分解因式，此题因式分解方法灵活，注意认真观察各项之间的联系.【类型二】运用分组法分解因式判定三角形的形状请判断△ABC例2已知a,b,c分别是△ABC三边的长，请判断△ABC解析：首先利用完全平方公式分组进行因式分解，进一步分析探讨三边关系得出结论即=0,∴a—b=0,b—c=0.∴a=b=c.∴△ABC是等边三角形.方法总结：通过分组并利用完全平方式将原式转化为非负数的和的形式，然后利用非负数性质解答，这是解决此类问题一般的思路.【类型三】整体代入求值解析：首先将前两项分组利用平方差公式分解因式，进而再提取公因式得出即可.将x+y=7,x-y=5代入上式得原式=(x-y)(x+y+2)=5×9=45.方法总结：若多项式有四项，且不能直接提公因式时，可考虑分组分解，常用的分组方法有两、两分组，一、三分组，分组应满足各组有公因式或符合公式，且各组之间有公因式或符合公式.【类型四】分组分解法的综合应用解析：首先根据非负数的性质求出m,n的值，代入式子，然后利用分组分解法进行分解.解：由题意，得m+2=0,n-4=0,解得m=-2,n=4.∴(x²+y²)—(mxy+n)=x²+y²一(一2xy+4)=x²+y²+2xy-4=(x+y)²-4=(x+y+2)(x+y-2方法总结：本题考查用分组分解法进行因式分解.难点是采用两两分组还是一三分组.探究点二：十字相乘法分解因式例5把2x²-7x+3分解因式.解析：先分解二次项，分别写在十字交叉线的左上角和左下角，再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角，然后交叉相乘，使其代数和等于一次项.步骤二：交叉相乘和相加；步骤三：检验确定，横写因式.1.分组分解法分解因式某些多项式整体没有公式，也不符合公式，可将多项式进行分组，使各组符合提公因式或可以使用公式分解因式，且各组之间有公因式或符合公式从而将多项式因式分解.2.分组分解法分解因式的应用3.十字相乘法分解因式.本节课学生的探究活动比较多，教师既要全局把握，又要顺其自然，千万不可拔苗助长，为了后面多做几道练习而主观裁断时间安排.其实公式的探究活动本身既是对学生能力的培养，又是对公式的识记过程，而且还可以提高他们应用公式的本领.9.1分式及其基本性质1.以描述实际问题中的数量关系为背景抽象出分式的概念，建立数学模型，并理解分式的概念.2.能够通过分式的定义理解和掌握分式有意义的条件.3.通过对分数与分式的类比，学生亲身经历探究整式扩充到分式的过程，初步学会运用类比、转化的思想方法研究数学问题，会用数学的思维思考现实世界.重点：理解分式有意义的条件及分式的值为零的条件.埃及金字塔相传是古埃及法老的陵墓，是世界公认的“古代世界七大奇迹”之一.其中最大、最有名的是祖孙三代金字塔——胡夫金字塔、哈夫拉金字塔和门卡乌拉金字塔.胡夫金字塔底部边长230公尺，高146公尺，重大约650万吨，共用了x万块石头，那么平均每块石头重多少吨?探究点一：分式和有