2025-2026学年高一数学上学期期中考试（基础卷）原卷及解析【测试范围：沪教版2020必修第一册第一章~第四章】（上海专用）

1/22025-2026学年高一上学期期中考试基础卷（上海专用）数学（考试时间：120分钟试卷满分：150分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答卡上。写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。4．考试范围：沪教版2020必修第一册第一章~第四章一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）1．设全集＝{0，1，2，4，6，8}，集合＝{0，4，6}，＝{0，1，6}，则＝2．已知P＝{x|a﹣4＜x＜a+4}，Q＝{x|1＜x＜3}，“x∈P”是“x∈Q”的必要条件，则实数a的取值范围是3．设M＝2a(a－2)＋7，N＝(a－2)(a－3)，则M与N的大小关系是MN4．不等式eq\f(2x－1,x＋2)≤1的解集是5．若不等式(a－2)x2＋2(a－2)x－4<0对一切x∈R恒成立，则a的取值范围是6．设矩形ABCD(AB>BC)的周长为12＋6eq\r(2)，把它沿对角线AC对折后，设AB交DC于点P，此时点B记作B′，如图所示，设AD＝x，DP＝y，则△ADP的面积的最大值为7．已知函数f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2022)))x－2023x，a＝，b＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)))－3，c＝，则f(a)、f(b)、f(c)三者的大小关系为8．若logaeq\f(1,2)<2，则a的取值范围是9．若两个正实数x，y满足eq\f(1,x)＋eq\f(4,y)＝1，且不等式x＋eq\f(y,4)<m2－3m有解，则实数m的取值范围是10．某校生物兴趣小组为开展课题研究，分得一块面积为32m2的矩形空地，并计划在该空地上设置三块全等的矩形试验区（如图所示）.要求试验区四周各空0.5m，各试验区之间也空0.5m．则每块试验区的面积的最大值为m2.11．若函数y＝loga(x－2)＋4(a>0，且a≠1)的图象恒过点A，则点A的坐标为12．已知命题p：方程ax2＋2x＋1＝0至少有一个负实根，若p为真命题的一个必要不充分条件为a≤m＋1，则实数m的取值范围是二、选择题(本题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分；每题有且只有一个正确选项)13．已知集合A＝{1，2}，B＝{2，4}，C＝{z|z＝xy，x∈A，y∈B}，则集合C中元素的个数为（）A．1B．2C．3D．414．设x，y∈R，则“x<1且y<1”是“x＋y<2”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件15．已知函数f(x)＝(x－a)(x－b)(a>b)的图象如图所示，则函数g(x)＝ax＋b的图象大致是（）16．《几何原本》卷的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据．通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．现有如图所示图形，点在半圆上，点在直径上，且，设，，则该图形可以完成的无字证明为（）A． B．C． D．三、解答题(本大题共有5题，满分78分，第17-19题每题14分，第20、21题每题18分.)17．已知集合A＝{x|－2＜x≤1}，集合B＝{x|2a－1≤x≤a＋1}；（1）若x∈A是x∈B的必要不充分条件，求实数a的取值范围；（2）若A∩B＝∅，求实数a的取值范围；18．已知函数f(x)＝x2＋ax＋3.（1）当x∈R时，f(x)≥a恒成立，求实数a的取值范围；（2）当x∈[－2，2]时，f(x)≥a恒成立，求实数a的取值范围；（3）当a∈[4，6]时，f(x)≥0恒成立，求实数x的取值范围；19．已知函数f(x)＝log2(x＋a)(a>0)，设g(x)＝eq\f(1,2)f(4x)．（1）当a＝1时，解不等式f(x)<－1；（2）对任意的x∈(0，2)，函数y＝f(x)的图象总在函数y＝g(x)的图象的下方，求a的取值范围．20．随着我国经济发展、医疗消费需求增长、人们健康观念转变以及人口老龄化进程加快等因素的影响，医疗器械市场近年来一直保持了持续增长的趋势．上饶市医疗器械公司为了进一步增加市场竞争力，计划改进技术生产某产品．已知生产该产品的年固定成本为400万元，最大产能为100台．每生产台，需另投入成本万元，且，由市场调研知，该产品每台的售价为200万元，且全年内生产的该产品当年能全部销售完．（1）写出年利润万元关于年产量台的函数解析式（利润=销售收入-成本）；（2）当该产品的年产量为多少时，公司所获利润最大?最大利润是多少?21．数学中有一种推理的方法叫“类比推理”，类比推理是根据两个对象有部分属性相同，从而推出其它属性也相同的推理.这是一种特殊到特殊的推理，推理的结果不一定正确，需要证明方可使用.比如：我们可以通过对二元二次不等式：的不同理解，推理出不同的结果：①如果我们把不等式的右边看成的两个齐次式，那我们可以推理出二元三次不等式：②如果我们把不等式的右边看成数字2与ab相乘，那我们可以推理出三元三次不等式：（1）请结合上文中①的推理结果，证明②中的“三元三次不等式”：．（2）已知函数．①解不等式；②利用（1）的结论，对任意恒成立，求实数的取值范围．

2025-2026学年高一数学上学期期中考试（基础卷）全解析（考试时间：120分钟试卷满分：150分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。4．测试范围：沪教版2020必修第一册第一章~第四章。5．难度系数：0.65。一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）1．设全集＝{0，1，2，4，6，8}，集合＝{0，4，6}，＝{0，1，6}，则＝【答案】{0，2，4，6，8}；【解析】因为U＝{0，1，2，4，6，8}，M＝{0，4，6}，N＝{0，1，6}，所以＝{2，4，8}，所以＝{0，2，4，6，8}；【考点】集合的运算；2．已知P＝{x|a﹣4＜x＜a+4}，Q＝{x|1＜x＜3}，“x∈P”是“x∈Q”的必要条件，则实数a的取值范围是【提示】根据“x∈P”是“x∈Q”的必要条件，可得P⊇Q，再建立a的不等式组可求解．【答案】[﹣1，5]【解析】因为，“x∈P”是“x∈Q”的必要条件，所以，P⊇Q，所以a−4≤1a+4≥3，所以﹣1≤a【考点】充要条件与集合关系的等价3．设M＝2a(a－2)＋7，N＝(a－2)(a－3)，则M与N的大小关系是MN【答案】M>N【解析】因为M＝2a(a－2)＋7，N＝(a－2)(a－3)，所以M－N＝(2a2－4a＋7)－(a2－5a＋6)＝a2＋a＋1＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋\f(1,2)))2＋eq\f(3,4)>0，所以M>N.【考点】比较法4．不等式eq\f(2x－1,x＋2)≤1的解集是【答案】(－2，3].【解析】由不等式eq\f(2x－1,x＋2)≤1，可得eq\f(2x－1,x＋2)－1＝eq\f(x－3,x＋2)≤0，结合分式不等式的解法，可得－2＜x≤3，即不等式eq\f(2x－1,x＋2)≤1的解集为(－2，3].【考点】分式不等式的解法5．若不等式(a－2)x2＋2(a－2)x－4<0对一切x∈R恒成立，则a的取值范围是【答案】（－2，2]；【解析】当a＝2时，原不等式化为－4<0，显然恒成立；当a≠2时，不等式(a－2)x2＋2(a－2)x－4<0对一切x∈R恒成立，则有a－2<0且Δ<0，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a－2<0，,4a－22＋16a－2<0，))解得－2<a<2.综上可得，－2<a≤2.【考点】一元二次不等式的解法与含参数讨论；6．设矩形ABCD(AB>BC)的周长为12＋6eq\r(2)，把它沿对角线AC对折后，设AB交DC于点P，此时点B记作B′，如图所示，设AD＝x，DP＝y，则△ADP的面积的最大值为【答案】eq\f(9,2)；【解析】由题意知△ADP≌△CB′P，而AD＝x，DP＝y，所以PC＝PA＝eq\r(x2＋y2)，而矩形ABCD(AB>BC)的周长为12＋6eq\r(2)，则AD＋DP＋PC＝x＋y＋eq\r(x2＋y2)＝6＋3eq\r(2)≥2eq\r(xy)＋eq\r(2xy)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2＋\r(2)))eq\r(xy)，当且仅当x＝y时等号成立，又eq\r(xy)>0，可得0<eq\r(xy)≤3，则0<xy≤9，而△ADP的面积S＝eq\f(xy,2)，故S的最大值为eq\f(9,2)，此时x＝y＝3.【考点】建模与基本不等式求最值7．已知函数f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2022)))x－2023x，a＝，b＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)))－3，c＝，则f(a)、f(b)、f(c)三者的大小关系为【答案】f(c)<f(a)<f(b)；【解析】因为a＝＝－log332＝－2，b＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)))－3＝－33＝－27，c＝∈(1,2)，所以b<a<c.因为f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2022)))x－2023x是R上的减函数，所以f(c)<f(a)<f(b)．【考点】指数、对数运算与指数函数、一次函数的单调性；8．若logaeq\f(1,2)<2，则a的取值范围是【答案】eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(2),2)))∪(1，＋∞)；【解析】因为logaeq\f(1,2)<2，所以logaeq\f(1,2)<logaa2，当0<a<1时，y＝logax为减函数，所以a2<eq\f(1,2)，可得0<a<eq\f(\r(2),2)；当a>1时，y＝logax为增函数，所以a2>eq\f(1,2)，可得a>1，综上所述，a的取值范围为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(2),2)))∪(1，＋∞)．【考点】对数与对数函数；9．若两个正实数x，y满足eq\f(1,x)＋eq\f(4,y)＝1，且不等式x＋eq\f(y,4)<m2－3m有解，则实数m的取值范围是【答案】{m|m<－1或m>4}；【解析】因为正实数x，y满足eq\f(1,x)＋eq\f(4,y)＝1，所以x＋eq\f(y,4)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)＋\f(4,y)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(y,4)))＝2＋eq\f(4x,y)＋eq\f(y,4x)≥2＋2eq\r(\f(4x,y)·\f(y,4x))＝4，当且仅当eq\f(4x,y)＝eq\f(y,4x)，即y＝8，x＝2时等号成立，x＋eq\f(y,4)取得最小值4，由x＋eq\f(y,4)<m2－3m有解，则m2－3m>4，解得m<－1或m>4.故实数m的取值范围是{m|m<－1或m>4}．【考点】基本不等式与恒成立问题10．某校生物兴趣小组为开展课题研究，分得一块面积为32m2的矩形空地，并计划在该空地上设置三块全等的矩形试验区（如图所示）.要求试验区四周各空0.5m，各试验区之间也空0.5m．则每块试验区的面积的最大值为m2.【答案】6；【解析】设矩形空地中仅与一块试验区相邻的一边的长为xm，则其邻边的长为eq\f(32,x)m，依题意可得，试验区的总面积S＝(x－0.5×4)eq\f(32,x)－0.5×2＝34－x－eq\f(64,x)≤34－2eq\r(x·\f(64,x))＝18，当且仅当x＝eq\f(64,x)，即x＝8时等号成立，所以每块试验区的面积的最大值为eq\f(18,3)＝6(m2).【考点】建模与基本不等式11．若函数y＝loga(x－2)＋4(a>0，且a≠1)的图象恒过点A，则点A的坐标为【答案】(3，4)；【解析】当x＝3时，y＝loga1＋4＝4，∴函数y＝loga(x－2)＋4的图象恒过点A(3，4).【考点】对数函数的图像特征；12．已知命题p：方程ax2＋2x＋1＝0至少有一个负实根，若p为真命题的一个必要不充分条件为a≤m＋1，则实数m的取值范围是【答案】(0，＋∞)；【解析】若命题p：方程ax2＋2x＋1＝0至少有一个负实根为真命题，当a＝0时，2x＋1＝0，x＝－eq\f(1,2)，符合题意；当a<0时，Δ＝4－4a>0，且x1＋x2＝－eq\f(2,a)>0，x1x2＝eq\f(1,a)<0，则此时方程ax2＋2x＋1＝0有一个正根和一个负根，符合题意；当a>0时，由Δ＝4－4a＝0，解得a＝1，此时方程为x2＋2x＋1＝(x＋1)2＝0，x＝－1，符合题意；由Δ＝4－4a>0，解得0<a<1，此时x1＋x2＝－eq\f(2,a)<0，x1x2＝eq\f(1,a)>0，则此时方程ax2＋2x＋1＝0有两个负根，符合题意．综上所述，当p为真命题时，a的取值范围是(－∞，1]，若p为真命题的一个必要不充分条件为a≤m＋1，则m＋1>1，m>0.【考点】一元二次方程的解法，命题的判断，充要条件；二、选择题(本题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分；每题有且只有一个正确选项)13．已知集合A＝{1，2}，B＝{2，4}，C＝{z|z＝xy，x∈A，y∈B}，则集合C中元素的个数为（）A．1B．2C．3D．4【答案】C【解析】由题意，当x＝1时，z＝xy＝1，当x＝2，y＝2时，z＝xy＝4，当x＝2，y＝4时，z＝xy＝16，即集合C中有三个元素．【考点】集合的表示：列举法与描述法14．设x，y∈R，则“x<1且y<1”是“x＋y<2”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】由x<1且y<1，可得x＋y<2，当x＝2，y＝－1时，满足x＋y<2，但不满足x<1且y<1，则“x<1且y<1”是“x＋y<2”的充分不必要条件．【考点】不等式性质与充要条件15．已知函数f(x)＝(x－a)(x－b)(a>b)的图象如图所示，则函数g(x)＝ax＋b的图象大致是（）【答案】C；【解析】f(x)＝(x－a)(x－b)的图象与x轴的交点的横坐标为方程(x－a)(x－b)＝0的两个根，由(x－a)(x－b)＝0可得两根为a，b，又a>b，所以a>1，－1<b<0，由a>1可知，y＝ax为增函数，又由－1<b<0，得0<b＋1<1，所以g(x)的图象与y轴的交点在x轴上方，分析选项可得C符合这两点．【考点】一元二次函数的图像与指数函数的图像16．《几何原本》卷的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据．通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．现有如图所示图形，点在半圆上，点在直径上，且，设，，则该图形可以完成的无字证明为（）A． B．C． D．【提示】计算出和，由可得出合适的选项.【答案】D【解析】由图形可知，，，由勾股定理可得，在中，由可得.故选：D.【考点】基本不等式的内容及辨析，利用几何关系得出不等式，考查推理能力三、解答题(本大题共有5题，满分78分，第17-19题每题14分，第20、21题每题18分.)17．已知集合A＝{x|－2＜x≤1}，集合B＝{x|2a－1≤x≤a＋1}；（1）若x∈A是x∈B的必要不充分条件，求实数a的取值范围；（2）若A∩B＝∅，求实数a的取值范围；【解析】（1）因为x∈A是x∈B的必要不充分条件，所以B是A的真子集．①当B＝∅时，由2a－1＞a＋1，解得a＞2；②当B≠∅时，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2a－1≤a＋1，,2a－1＞－2，,a＋1≤1，))解得－eq\f(1,2)＜a≤0.综上，实数a的取值范围为eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，0))∪(2，＋∞).（2）由A∩B＝∅，则①当B＝∅时，由2a－1＞a＋1，解得a＞2；②当B≠∅时，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2a－1≤a＋1，,a＋1≤－2))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2a－1≤a＋1，,2a－1＞1，))解得a≤－3或1＜a≤2；综上，实数a的取值范围为(－∞，－3]∪(1，＋∞).【考点】集合的表示，充要条件的判别与不等式组的解法18．已知函数f(x)＝x2＋ax＋3.（1）当x∈R时，f(x)≥a恒成立，求实数a的取值范围；（2）当x∈[－2，2]时，f(x)≥a恒成立，求实数a的取值范围；（3）当a∈[4，6]时，f(x)≥0恒成立，求实数x的取值范围；【解析】（1）因为当x∈R时，x2＋ax＋3－a≥0恒成立，所以Δ＝a2－4(3－a)≤0，即a2＋4a－12≤0，解得－6≤a≤2，所以实数a的取值范围是[－6，2]；（2）由题意知原不等式可转化为x2＋ax＋3－a≥0在x∈[－2，2]上恒成立，则(x2＋ax＋3－a)min≥0(x∈[－2，2]).令g(x)＝x2＋ax＋3－a，x∈[－2，2]，函数图象的对称轴方程为x＝－eq\f(a,2).当－eq\f(a,2)＜－2，即a＞4时，g(x)min＝g(－2)＝7－3a≥0，解得a≤eq\f(7,3)，舍去；当－2≤－eq\f(a,2)≤2，即－4≤a≤4时，g(x)min＝geq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(a,2)))＝－eq\f(a2,4)－a＋3≥0，解得－6≤a≤2，所以－4≤a≤2；当－eq\f(a,2)＞2，即a＜－4时，g(x)min＝g(2)＝7＋a≥0，解得a≥－7，所以－7≤a＜－4.综上可得，满足条件的实数a的取值范围是[－7，2].（4）令h(a)＝xa＋x2＋3.当a∈[4，6]时，h(a)≥0恒成立，只需eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(h(4)≥0，,h(6)≥0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋4x＋3≥0，,x2＋6x＋3≥0，))解得x≤－3－eq\r(6)或x≥－3＋eq\r(6)，所以实数x的取值范围是（－∞，－3－eq\r(6)]∪[－3＋eq\r(6)，＋∞）.【考点】一元二次函数的图像特征与最值19．已知函数f(x)＝log2(x＋a)(a>0)，设g(x)＝eq\f(1,2)f(4x)．（1）当a＝1时，解不等式f(x)<－1；（2）对任意的x∈(0，2)，函数y＝f(x)的图象总在函数y＝g(x)的图象的下方，求a的取值范围．【解析】（1）由f(x)<－1，a＝1，得log2(x＋1)<－1＝log2eq\f(1,2)，则0<x＋1<eq\f(1,2)，得－1<x<－eq\f(1,2)，即不等式的解集为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，－\f(1,2))).（2）g(x)＝eq\f(1,2)f(4x)＝eq\f(1,2)log2(4x＋a)(a>0)，因为对任意的x∈(0,2)，函数y＝f(x)的图象总在函数y＝g(x)图象的下方，则f(x)<g(x)在(0,2)上恒成立，即log2(x＋a)<eq\f(1,2)log2(4x＋a)(a>0)在(0,2)上恒成立，2log2(x＋a)<log2(4x＋a)，log2(x＋a)2<log2(4x＋a)，(x＋a)2<4x＋a在(0,2)上恒成立，整理得x2＋2(a－2)x＋a2－a<0在(0,2)上恒成立，设m(x)＝x2＋2(a－2)x＋a2－a，x∈(0,2)，则只需要eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m0＝a2－a≤0，,m2＝a2＋3a－4≤0))即可，可得0≤a≤1,又因为a>0，所以0<a≤1，所以a的取值范围为(0,1]．【考点】对数函数的图像特征与恒成立问题的等价；20．随着我国经济发展、医疗消费需求增长、人们健康观念转变以及人口老龄化进程加快等因素的影响，医疗器械市场近年来一直保持了持续增长的趋势．上饶市医疗器械公司为了进一