2025年下学期高中数学竞赛市队选拔试卷

2025年下学期高中数学竞赛市队选拔试卷一、填空题（本大题共8小题，每小题8分，共64分）已知正实数$a,b$满足$\log_2(a+1)+\log_4(b^2+1)=2$，且$a+b=5$，则$ab=$_________数列${a_n}$满足$a_1=1$，$a_{n+1}=\frac{2a_n}{a_n+2}$，其前$n$项和为$S_n$，则$\lim_{n\to\infty}nS_n=$_________已知集合$A={x\midx^2-4x+3<0}$，$B={x\mid\log_2(x-1)\leq1}$，定义集合$A\oplusB={x\midx\inA\cupB且x\notinA\capB}$，则集合$A\oplusB$的元素个数为_________在三棱锥$P-ABC$中，$PA\perp$平面$ABC$，$AB=AC=2$，$\angleBAC=120^\circ$，$PA=3$，则该三棱锥外接球的表面积为_________复数$z$满足$|z|=1$，且$\arg(z)=\alpha$，$\arg(z^2+z)=\beta$，若$\beta-\alpha=\frac{\pi}{3}$，则$\sin\alpha=$_________已知椭圆$C_1:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$与椭圆$C_2:\frac{x^2}{a^2+4}+\frac{y^2}{b^2+1}=1$有相同的焦点$F_1,F_2$，点$P$是椭圆$C_1$上的动点，则$\trianglePF_1F_2$面积的最大值为_________已知向量$\vec{a},\vec{b},\vec{c}$满足$|\vec{a}|=|\vec{b}|=|\vec{c}|=1$，且$\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}=\vec{0}$，则$\vec{a}\cdot\vec{b}+\vec{b}\cdot\vec{c}+\vec{c}\cdot\vec{a}=$_________从1,2,3,4,5,6这六个数字中，任取三个不同的数字组成三位数，记"这个三位数是偶数"为事件$A$，"这个三位数能被3整除"为事件$B$，则$P(B|A)=$_________二、解答题（本大题共3小题，第9题16分，第10、11题各20分，共56分）已知函数$f(x)=\sin^2x+\sinx\cosx-\cos^2x$，$x\in[0,\frac{\pi}{2}]$。（1）求函数$f(x)$的单调递增区间；（2）若$f(x)=\frac{\sqrt{2}}{2}$，求$x$的值。已知双曲线$C:\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a>0,b>0)$的离心率为$\sqrt{3}$，右焦点为$F$，过点$F$的直线$l$与双曲线$C$交于$A,B$两点。（1）求双曲线$C$的渐近线方程；（2）若直线$l$的斜率为1，且$|AB|=4\sqrt{6}$，求双曲线$C$的方程；（3）设点$M(0,b)$，若$\overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MB}=0$，求直线$l$的斜率。已知函数$f(x)=|x^2-2ax+a|(x\in\mathbb{R})$，其中$a$为常数。（1）当$a=1$时，求函数$f(x)$的单调区间；（2）若函数$f(x)$在区间$[0,2]$上的最大值为$a^2$，求$a$的取值范围；（3）若关于$x$的方程$f(x)=2$有四个不相等的实根，求$a$的取值范围。三、附加题（本大题共4小题，每小题40分，共160分）如图，在$\triangleABC$中，$AB=AC$，$D$是$BC$的中点，$E$是$\triangleABC$外接圆上一点，且$AE\perpBE$，连接$DE$。求证：$DE\perpAC$。已知多项式$f(x)=x^4+ax^3+bx^2+cx+d$的四个根均为正实数，且满足$\alpha+\beta+\gamma+\delta=6$，$\alpha^2+\beta^2+\gamma^2+\delta^2=10$。（1）求$b$的取值范围；（2）若$\alpha\beta=\gamma\delta$，求$d$的最大值。设正整数$n\geq2$，$a_1,a_2,\cdots,a_n$是$1,2,\cdots,n$的一个排列。定义数列${b_k}$：$b_k=|a_1+a_2+\cdots+a_k-k\cdot\frac{n+1}{2}|$，$k=1,2,\cdots,n$。求$\max{b_1,b_2,\cdots,b_n}$的最小值。设$S$是所有正整数构成的集合，对于正整数$m,n$，定义$m\simn$当且仅当$m$和$n$的素因数集合相同（允许有不同的重数）。（1）证明：$\sim$是$S$上的一个等价关系；（2）求等价类$[6]$中元素的个数；（3）对于每个等价类$C$，定义$f(C)=\min{k\midk\inC}$，求$f(C)=12$的等价类$C$中元素的个数。已知数列${a_n}$满足$a_1=1$，$a_{n+1}=\frac{a_n^2+2}{2a_n}(n\in\mathbb{N}^)$。（1）证明：数列${a_n}$是单调递减数列；（2）证明：$a_n>\sqrt{2}-\frac{1}{2^{n-1}}$对一切$n\in\mathbb{N}^$成立；（3）设$b_n=a_n-\sqrt{2}$，求$\lim_{n\to\infty}\frac{b_{n+1}}{b_n^2}$的值。已知函数$f(x)=\lnx+\frac{a}{x}(a\in\mathbb{R})$。（1）讨论函数$f(x)$的单调性；（2）若函数$f(x)$有两个不同的零点$x_1,x_2$，求证：$x_1+x_2>2e^{-1}$；（3）设$g(x)=f(x)-\frac{1}{2}x$，若存在$x_1,x_2\in(0,+\infty)$，且$x_1\neqx_2$，使得$g(x_1)=g(x_2)$，求证：$x_1+x_2>4$。已知椭圆$\Gamma:\frac{x^2}{4}+y^2=1$，点$P(0,t)(t>0)$，过点$P$的直线$l$与椭圆$\Gamma$交于$A,B$两点，点$Q$与点$A$关于$y$轴对称。（1）求证：直线$QB$恒过定点；（2）设直线$QB$与椭圆$\Gamma$的另一个交点为$C$，求$\triangleABC$面积的最大值。设$n$为正整数，$S={1,2,\cdots,n}$，$A,B$是$S$的两个非空子集，且满足$A\capB=\varnothing$，$A\cupB=S$。定义$d(A,B)=\sum_{a\inA}a-\sum_{b\inB}b$。求$|d(A,B)|$的最大值。已知数列${a_n}$满足$a_1=1$，$a_{n+1}=a_n+\frac{1}{a_n}(n\in\mathbb{N}^)$。（1）证明：$a_n\geq\sqrt{2n-1}$对一切$n\in\mathbb{N}^$成立；（2）证明：$\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2