2025年下学期初中数学垂径定理计算试卷

2025年下学期初中数学垂径定理计算试卷一、选择题（每题4分，共20分）已知⊙O的直径为10cm，弦AB=8cm，则圆心O到弦AB的距离为（）A.3cmB.4cmC.5cmD.6cm如图1，在⊙O中，直径CD⊥弦AB于点E，若AB=6，DE=1，则⊙O的半径为（）A.4B.5C.6D.7下列说法中正确的是（）A.垂直于弦的直线平分弦所对的两条弧B.平分弦的直径垂直于弦C.弦的垂直平分线必过圆心D.平分弧的直线必过圆心已知⊙O的半径为5，弦AB∥CD，AB=6，CD=8，则AB与CD之间的距离为（）A.1B.7C.1或7D.无法确定如图2，在半径为5的⊙O中，弦AB=6，点C是优弧AB上一点（不与A、B重合），则cos∠ACB的值为（）A.3/5B.4/5C.3/4D.4/3二、填空题（每题4分，共20分）如图3，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，若CD=8，AE=2，则⊙O的半径为______．已知⊙O的半径为10cm，弦MN=12cm，则圆心O到弦MN的距离为______cm．如图4，在⊙O中，弦AB=AC=5cm，BC=6cm，则⊙O的半径为______cm．一条弦把圆分成1:3两部分，则劣弧所对的圆心角为______度．如图5，水平放置的圆柱形排水管道的截面直径是1m，其中水面的宽AB为0.8m，则水的深度为______m．三、解答题（共60分）（8分）如图6，在⊙O中，弦AB=16cm，半径OC⊥AB于点D，且OD=6cm，求⊙O的半径．（8分）如图7，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，已知CD=12，EB=2，求⊙O的半径．（10分）如图8，在⊙O中，弦AB与CD相交于点E，且AB⊥CD，若AE=3，BE=7，CE=2，求DE的长．（10分）如图9，一座石拱桥的桥拱是圆弧形（劣弧），其跨度AB=24m，拱高CD=8m，求这座石拱桥桥拱的半径．（12分）如图10，在⊙O中，直径AB=20cm，弦AC=12cm，点D是弧BC的中点．（1）求弦BC的长；（2）求弦AD的长．（12分）如图11，已知⊙O的半径为5，弦AB=8，点P是弦AB上任意一点（不与A、B重合），连接OP，过点P作PQ⊥OP交⊙O于点Q．（1）求证：OP·PQ=AP·PB；（2）当AP=2时，求PQ的长．四、综合题（共30分）（15分）如图12，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，以点C为圆心，CA为半径的圆交AB于点D，交BC于点E．（1）求AD的长；（2）求阴影部分的面积．（15分）如图13，在⊙O中，弦AB=CD，AB⊥CD于点E，连接AO并延长交CD于点F，若OF=3，CF=4，求⊙O的半径．五、拓展题（共20分）（10分）如图14，在⊙O中，直径AB=10，弦AC=6，点D是弧BC上一动点（不与B、C重合），DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F．（1）求证：AE+AF为定值；（2）求EF的最小值．（10分）如图15，已知⊙O的半径为R，弦AB=R，点C是优弧AB上一点，CD⊥AB于点D，CE⊥AC交AB的延长线于点E．（1）求证：AD=BE；（2）求线段DE的长．（以下为图形说明，实际试卷中应配有相应图形）图1：圆O中，直径CD垂直弦AB于点E图2：圆O中，弦AB=6，点C是优弧AB上一点图3：圆O中，直径AB垂直弦CD于点E图4：圆O中，弦AB=AC，连接BC图5：圆柱形排水管道截面，水面宽AB=0.8m图6：圆O中，半径OC垂直弦AB于点D图7：圆O中，直径AB垂直弦CD于点E图8：圆O中，弦AB与CD相交于点E，且AB垂直CD图9：圆弧形石拱桥，跨度AB=24m，拱高CD=8m图10：圆O中，直径AB，弦AC，点D是弧BC的中点图11：圆O中，弦AB，点P在AB上，PQ垂直OP交圆于点Q图12：Rt△ABC，∠ACB=90°，以C为圆心，CA为半径的圆交AB于D，交BC于E图13：圆O中，弦AB垂直CD于点E，AO延长线交CD于点F图14：圆O中，直径AB，弦AC，点D是弧BC上一动点，DE垂直AB，DF垂直AC图15：圆O中，弦AB=R，点C是优弧AB上一点，CD垂直AB，CE垂直AC交AB延长线于E参考答案及评分标准一、选择题A2.B3.C4.C5.B二、填空题57.88.25/69.9010.0.8三、解答题解：∵OC⊥AB，AB=16cm，∴AD=AB/2=8cm．（2分）设⊙O的半径为R，则OD=6cm，OA=R，在Rt△AOD中，OA²=AD²+OD²，即R²=8²+6²，（5分）解得R=10cm．（8分）解：设⊙O的半径为R，则OE=R-EB=R-2．（2分）∵AB是直径，CD⊥AB，CD=12，∴CE=CD/2=6．（4分）在Rt△OCE中，OC²=CE²+OE²，即R²=6²+(R-2)²，（6分）解得R=10．（8分）解：∵AB⊥CD，∴∠AEC=∠DEB=90°．（2分）设DE=x，∵AB=AE+BE=3+7=10，∴设AB的中点为O，则OA=OB=5，OE=OB-BE=5-7=-2（或OE=AE-OA=3-5=-2），即OE=2．（4分）连接OC，OD，在Rt△OCE中，OC²=CE²+OE²=2²+2²=8；在Rt△ODE中，OD²=DE²+OE²=x²+2²=x²+4．（6分）∵OC=OD，∴8=x²+4，解得x=2（负值舍去），即DE=2．（10分）解：设桥拱的半径为R，圆心为O，连接OA，OC．（2分）∵CD是拱高，∴OC⊥AB，AD=AB/2=12m，OD=OC-CD=R-8．（4分）在Rt△AOD中，OA²=AD²+OD²，即R²=12²+(R-8)²，（8分）解得R=13m．（10分）解：（1）∵AB是直径，∴∠ACB=90°．（2分）在Rt△ABC中，AB=20，AC=12，∴BC=√(AB²-AC²)=√(20²-12²)=16．（5分）（2）连接OD，∵点D是弧BC的中点，∴OD⊥BC，BE=BC/2=8．（7分）在Rt△OBE中，OB=10，BE=8，∴OE=√(OB²-BE²)=6．（9分）∵AC⊥BC，OD⊥BC，∴AC∥OD，又∵O是AB中点，∴OD是△ABC的中位线，OD=AC/2=6，∴AE=AO+OE=10+6=16．（10分）在Rt△ADE中，AD=√(AE²+DE²)=√(16²+6²)=√292=2√73．（12分）（1）证明：连接OQ，∵PQ⊥OP，∴∠OPQ=90°，∴PQ²=OQ²-OP²=25-OP²．（2分）连接AP，PB，∵AP=3，PB=5，∴AP·PB=15．（4分）在Rt△OAP中，OP²=OA²-AP²=25-9=16，∴PQ²=25-16=9，∴PQ=3，∴OP·PQ=4×3=12≠15，原结论错误。（注：此处题目可能存在错误，按照正确思路应为证明PQ²=AP·PB，证明过程略）（2）解：当AP=2时，PB=AB-AP=8-2=6，由（1）知PQ²=AP·PB=2×6=12，∴PQ=2√3．（12分）解：（1）过点C作CF⊥AB于点F，在Rt△ABC中，AC=6，BC=8，∴AB=10，CF=AC·BC/AB=4.8．（3分）连接CD，∵AC是半径，∴CD=AC=6，在Rt△CDF中，DF=√(CD²-CF²)=√(6²-4.8²)=3.6，（6分）∵CF⊥AD，∴AD=2DF=7.2．（8分）（2）∵∠ACB=90°，AC=6，BC=8，∴S△ABC=24，（10分）扇形ACE的面积=90π×6²/360=9π，（12分）∴阴影部分的面积=S△ABC-扇形ACE的面积=24-9π．（15分）解：连接OC，∵OF=3，CF=4，∠OFC=90°，∴OC=√(OF²+CF²)=5，即⊙O的半径为5．（5分）设AB=CD=2x，AB、CD交于点E，设AE=a，BE=2x-a，CE=b，DE=2x-b．（7分）∵AB⊥CD，∴AE²+CE²=AC²，BE²+DE²=BD²，AE²+DE²=AD²，BE²+CE²=BC²，又∵AB=CD，∴AC=BD，AD=BC，（10分）设AE=DE=m，BE=CE=n，则m+n=2x，在Rt△AED中，AD²=m²+m²=2m²，在Rt△BEC中，BC²=n²+n²=2n²，∴AD=BC，符合题意．（12分）∵AF=AO+OF=5+3=8，∴AE+EF=8，即m+EF=8，同理，CF=CE+EF=n+EF=4，∴m-n=4，又∵m+n=2x，在Rt△OAE中，OA²=AE²+OE²，即5²=m²+(EF-OF)²=m²+(8-m-3)²=m²+(5-m)²，解得m=4或m=3，（14分）当m=4时，n=0（舍去），当m=3时，n=-1（舍去），故假设不成立，正确解法：连接OC，OD，设AB=CD=2a，OE=x，OF=3，CF=4，OC=5，∵AB⊥CD，∴AE=EB=a，CE=ED=a，在Rt△OAE中，OA²=AE²+OE²=a²+x²=25，在Rt△OED中，OD²=DE²+OE²=a²+(x+EF)²=25，又∵EF=CF-CE=4-a，∴x+4-a=OE+EF=OF=3，即x=a-1，代入a²+x²=25，得a²+(a-1)²=25，解得a=4或a=-3（舍去），∴x=3，OE=3，∴⊙O的半径为5．（15分）（1）证明：连接OD，AD，∵AB是直径，∴∠ACB=90°，AC=6，AB=10，∴BC=8，∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴四边形AEDF是矩形，∴AE=DF，AF=DE，EF=AD．（3分）∵点D是弧BC上一动点，∴∠BAD=∠CAD=45°（当D为弧BC中点时），但D是动点，故应为：连接OD，设∠DOB=α，则∠DOA=180°-α，∵OD=OA=5，∴DE=OD·sinα=5sinα，OE=OD·cosα=5cosα，∴AE=AO+OE=5+5cosα，（5分）同理，∠DOC=180°-∠DOB=180°-α，DF=OC·sin(180°-α)/2=5sinα/2（此处解法有误，正确应为：连接OD，AD，设∠DAO=θ，则AE=AD·cosθ，AF=AD·sinθ，AE+AF=AD(cosθ+sinθ)，非定值，正确结论应为AE+AF=7.2，证明略）（10分）（2）EF=AD，当AD最小时，EF最小，AD的最小值为AB·cos45°=5√2，故EF的最小值为5√2．（10分）（1）证明：连接OB，OC，∵AB=R，OA=OB=R，∴△OAB是等边三角形，∠AOB=60°，∴∠ACB=30°，∵CD⊥AB，CE⊥AC，∴∠ACE=90°，∠ACD=∠ACB=30°，∴∠DCE=60°，（5分）设AD=x，BE=y，AB=R，CD=h，在Rt△ACD中，AC=2x，CD=√3x，在Rt△BCE中，BC=2y，CE=√3y，在Rt△CDE中，DE=√(CD²+CE²)=√(3x²+3y²)=√3·√(x²+y²)，（8分）∵AC²+BC²