习题课4　小船过河与关联速度问题

6/6习题课4小船过河与关联速度问题核心素养目标科学思维通过对小船渡河的实例分析，理解运动的独立性、合运动与分运动的关系，掌握运动的合成与分解的矢量运算法则。科学态度与责任通过对关联速度的求解，感受用物理知识解决实际问题的成就感，形成严谨的科学态度。要点一小船渡河问题【探究】如图所示，小船（小船视为质点）在有一定流速的水中渡河时，参与两个方向的分运动，即随水流的运动（水流的速度v水）和小船相对水的运动（即船在静水中的速度v船），小船的实际运动是合运动（v合）。（假设河的宽度为d，v船＞v水）思考以下问题：（1）若使小船垂直于河岸过河（过河位移最短），应将船头偏向上游，如图所示，此时过河时间怎样计算？（2）若使小船过河的时间最短，小船应怎样行驶？最短时间是多少？小船最终到达对岸什么位置？【归纳】1.模型构建（1）将船实际的运动看成船在静水中的运动和船随水流的运动的合运动。（2）小船渡河问题涉及的三个速度①分速度v水：水流的速度；②分速度v船：船在静水中的速度；③合速度v：表示船的实际航行的速度。2.小船渡河的两类常见问题渡河时间最短当船头方向垂直于河岸时，渡河时间最短，最短时间tmin＝d渡河位移最短如果v船＞v水，当船头方向与上游夹角θ满足v船cosθ＝v水时，合速度垂直于河岸，渡河位移最短，等于河宽d如果v船＜v水，当船头方向（即v船方向）与合速度方向垂直时，渡河位移最短，等于d【典例1】（多选）已知船在静水中的最大速度为8m/s，船以该速度渡过某条河，河的两岸是平行线，船头与岸的夹角为30°时船恰好垂直于岸航行，河水流速恒定，船经过20s到达对岸，则下列说法正确的是（）A.河宽为80mB.河水流速大小为43m/sC.船的实际速度大小为12m/sD.若船以最短时间渡河，航线与岸的夹角为60°尝试解答1.端午节赛龙舟是中华民族的传统，龙舟竞渡是铜梁独具韵味的传统风情之一。若某龙舟在比赛前划向比赛点的途中要渡过宽72m且两岸平直的河，龙舟在静水中划行的速率为4m/s，河水的流速为3m/s，下列说法正确的是（）A.该龙舟以最短时间渡河通过的位移为96mB.该龙舟渡河的最大速率约为8m/sC.该龙舟渡河的最短时间为18sD.该龙舟不可能沿垂直河岸的航线抵达对岸2.小船横渡一条平直的河，河水流速平行于河岸。为尽快到达对岸，船头方向始终与河岸垂直，为避免船撞击河岸，小船先做加速运动后做减速运动，使小船到达河对岸时恰好不与河岸相撞。小船在静水中的行驶速度v1如图甲所示，水的流速v2如图乙所示，则下列关于小船渡河的说法正确的是（）A.小船的运动轨迹为直线B.河宽是150mC.小船到达对岸时，沿水流方向运动了60mD.小船渡河的最大速度是13m/s要点二“关联”速度问题1.解决关联速度问题的一般步骤第一步：先确定合运动，即物体的实际运动。第二步：确定合运动的两个实际作用效果，一是沿绳（或杆）方向的平动效果，改变速度的大小；二是沿垂直于绳（或杆）方向的转动效果，改变速度的方向。即将实际速度正交分解为垂直于绳（或杆）和平行于绳（或杆）方向的两个分量并作出运动矢量图。第三步：根据沿绳（或杆）方向的速度相等列方程求解。2.常见模型题型一绳的关联速度【典例2】（多选）如图所示，人在岸上用跨过定滑轮的轻绳拉船，已知船的质量为m，水的阻力恒为f。当轻绳与水面的夹角为θ时，船的速度为v，人的拉力大小为F，则此时（）A.人拉绳行走的速度大小为vcosθB.人拉绳行走的速度大小为vC.船的加速度大小为FD.船的加速度大小为F尝试解答题型二杆的关联速度【典例3】（多选）如图所示，一根长直轻杆两端分别固定小球A和B，竖直放置，两球质量均为m，两球半径忽略不计，杆的长度为L。由于微小的扰动，A球沿竖直光滑的滑槽向下运动，B球沿水平光滑的滑槽向右运动，当杆与竖直方向的夹角为θ时（图中未标出），下列说法正确的是（）A.A球下滑过程中的加速度一直大于gB.B球运动过程中的速度先变大后变小C.vA＝vBtanθD.vA＝vBsinθ思路点拨由于滑槽限制，杆接近水平时，杆在水平方向的速度趋于零，据此分析两球的运动情况。尝试解答1.质量为m的物体P置于倾角为θ1的固定光滑斜面上，轻细绳跨过光滑定滑轮分别连接着P与小车，P与滑轮间的细绳平行于斜面，小车以速率v水平向右做匀速直线运动。如图所示，当小车与滑轮间的细绳和水平方向成夹角θ2时，下列判断正确的是（A.P的速率为vB.P的速率为vcosθ2C.绳的拉力等于mgsinθ1D.绳的拉力小于mgsinθ12.一轻杆两端分别固定质量为mA和mB的两个小球A和B（A、B可视为质点），将其放在一个光滑球形容器中使其从位置1开始下滑，如图所示，当轻杆到达位置2时，A球与球形容器球心O等高，A球的速度大小为v1，已知此时轻杆与水平方向成θ＝30°角，B球的速度大小为v2，则（）A.v2＝12v1 B.v2＝2vC.v2＝v1 D.v2＝3v11.如图所示，河水以相同的速度向右流动，落水者甲随水漂流，至b点时，救生员乙从O点出发对甲实施救助，则救生员乙相对水的运动方向应为图中的（）A.Oa方向 B.Ob方向C.Oc方向 D.Od方向2.（多选）如图所示，小船速度大小为v1，方向与上游河岸成θ角，从A处过河，正好到达正对岸的B处。现水流速度变大少许，要使小船过河也正好到达正对岸的B处，下列方法中可行的有（）A.保持v1不变，同时增大θ角B.保持v1不变，同时减小θ角C.保持θ角不变，增大v1大小D.保持θ角不变，减小v1大小3.（多选）（2024·山东东营期中）钓鱼是一项越来越受欢迎的活动，钓到大鱼时一般会先将鱼遛至没有力气再收线，如图所示，在收尾阶段，鱼已经浮在水面不再挣扎，钓鱼者以恒定速率v收鱼线（钓鱼者和鱼竿视为不动），鱼线与水平面的夹角为θ，以下说法正确的是（）A.鱼在靠近钓鱼者过程中速率增大B.当θ＝60°时，鱼的速率为2vC.当θ＝37°时，鱼的速率为0.8vD.鱼受到的合外力恒定4.（2024·山东聊城期末）如图所示，图甲是救援船水上渡河演练的场景，假设船头始终垂直河岸，船的速度v船大小恒定，图乙中虚线ABC是救援船渡河的轨迹示意图，其中A点是出发点，D点位于A点的正对岸，AB段是直线，BC段是曲线，下列说法正确的是（）A.船以该种方式渡河位移最短B.船以该种方式渡河时间最长C.AB段中水流速度不断增大D.BC段中水流速度不断减小5.如图甲所示，小球A与小球B用跨搭在一半球形容器壁上边缘的轻绳相连接，半球形容器壁的上边缘是光滑的，小球A位于半球形容器的内壁靠近上边缘处，小球B位于半球形容器外，将小球A由静止释放牵引小球B运动，当小球A运动至半球形容器底部时（如图乙所示），小球B的速度是v，则此时A的速度为（）A.v B.2vC.2v D.22习题课4小船过河与关联速度问题【核心要点·快突破】要点一知识精研【探究】提示：（1）t＝dv合＝（2）应使船头正对河岸行驶，如图所示，此时过河时间t＝dv船【典例1】AB河宽为d＝vtsin30°＝80m，A正确；河水的流速为v'＝vcos30°＝43m/s，B正确；船的实际速度大小为v合＝vsin30°＝4m/s，C错误；若船以最短时间渡河，则船头垂直于河岸，航线与岸的夹角的正切值满足tanα＝vt'v't'＝23，所以素养训练1.C当该龙舟垂直河岸航行时渡河时间最短，可得tmin＝dv船＝724s＝18s，沿河岸方向的位移x＝v水tmin＝54m，则该龙舟以最短时间渡河通过的位移s＝d2＋x2＝722+542m＝90m，A错误，C正确；当该龙舟在静水中的速度与水流速度方向相同时合速度最大，则最大速度为4m/s＋3m/s＝7m/s＜8m/s2.B由图甲可知小船在静水中先做加速运动后做减速运动，具有加速度，又水的流速恒定，且方向与小船在静水中的速度方向垂直，小船的实际运动是两者的合运动，是曲线运动，A错误；研究小船垂直于河岸方向的运动，根据速度—时间图像中图线与时间轴围成的面积表示位移大小，可得河宽d＝12×30×10m＝150m，B正确；根据运动的等时性可知，小船沿水流方向运动了30s，则沿水流方向运动的距离s＝3×30m＝90m，C错误；根据矢量合成法则可知，小船在静水中的速度最大时，渡河速度最大，为102＋32m/s＝要点二知识精研【典例2】AC船的运动产生了两个效果：一是使滑轮与船间的绳缩短，二是使滑轮与船间的绳偏转。因此将船的速度按如图所示（沿绳方向与垂直于绳方向）方向进行分解，人拉绳行走的速度大小v人＝v∥＝vcosθ，选项A正确，B错误；绳对船的拉力大小等于人拉绳的力的大小，即绳的拉力大小为F，与水平方向成θ角，以船为研究对象，由牛顿第二定律，得Fcosθ－f＝ma，解得a＝Fcosθ－fm，选项【典例3】BC先分析B球的运动情况，B球以初速度等于零开始向右运动，当A球落到最下方时B球的速度再次为零，所以B球在水平方向先加速后减速，即B球运动过程中的速度先变大后变小，根据受力分析可知，A球刚开始下滑时，杆对B球产生的是偏向右下方的力，所以杆对A球产生的是偏向左上方的力，此时A球的加速度小于重力加速度g，选项A错误，B正确；由于A球和B球沿杆方向的分速度大小相等，则当杆与竖直方向的夹角为θ时，根据运动的分解可知vAcosθ＝vBsinθ，即vA＝vBtanθ，故选项C正确，D错误。素养训练1.B将小车的速度v进行分解如图所示，有vP＝vcosθ2，故A错误，B正确；小车向右运动，θ2减小，v不变，则vP逐渐增大，说明物体P沿斜面向上做加速运动，由牛顿第二定律，有T－mgsinθ1＝ma，可知绳对P的拉力T＞mgsinθ1，故C、D错误。2.C当A球与球形容器球心O等高时，速度v1方向竖直向下，速度分解图如图所示，由图可知，v11＝v1sin30°＝12v1，B球此时速度方向与杆成α＝60°角，因此v21＝v2cos60°＝12v2，两球沿杆方向上的分速度相等，即v21＝v11，解得v2＝v1，选项【教学效果·勤检测】1.B人在水中相对于水游动的同时还要随着水一起相对地面向下游漂流，以水为参考系，落水者甲静止不动，救生员做匀速直线运动，则救生员直接沿着Ob方向即可对甲实施救助，故选B。2.BC由题意可知，当水流速度稍有增大时，为保证能到达正对岸的B处，由图甲可知，当保持v1大小不变时，减小θ角，则可实现垂直到达正对岸的B处，选项A错误，B正确；由图乙可知，当保持θ角不变时，增大v1大小可实现垂直到达正对岸的B处，选项C正确，D错误。3.AB如图，将鱼的速度分解为沿鱼线方向的速度和垂直于鱼线方向的速度，则v＝v鱼cosθ，当钓鱼者以恒定速率v收鱼线过程中θ增大，则v鱼增大，鱼做变加速运动，合外力不是恒定值，故A正确，D错误；根据v＝v鱼cosθ，可知当θ＝60°时v鱼＝2v，当θ＝3