（2021-2025）5年高考数学真题分类汇编专题14 空间向量与立体几何（解答题）6种常见考法归类（全国）（原卷版）

五年（2021-2025）高考真题分类汇编PAGEPAGE1专题14空间向量与立体几何（解答题）6种常见考法归类知识五年考情（2021-2025）命题趋势知识1线面关系的证明（5年4考）考点01平行关系的判定2025·上海2023·全国乙卷2022·全国甲卷1.线面关系证明是基础必考题

平行关系（如线面平行、面面平行）和垂直关系（线面垂直、面面垂直）的判定是解答题的“保底”考点，题目通常以常见几何体（棱柱、棱锥、棱台等）为载体，要求结合几何定义、判定定理进行逻辑推理，强调对空间线面位置关系的直观感知与严谨论证能力，难度中等，是得分的关键环节。2.空间角的计算是高频重难点

空间角（异面直线所成角、直线与平面所成角、二面角）的求解在近5年保持“5年5考”的高频态势，其中二面角是绝对核心（几乎每年必考，覆盖全国卷、地方卷多个地区），其次是直线与平面所成角，异面直线所成角偶有涉及。题目通常需要结合空间向量法（建系、求法向量）或几何法（作辅助线、找角）求解，既考查空间想象能力，也注重运算准确性，是区分度的重要体现。3.空间距离的考查聚焦点到面距离

空间距离的考查以“点到面的距离”为核心（近5年多次出现），常与体积计算、空间角综合命题，需要借助等体积法或空间向量的投影公式求解，体现“空间度量”的统一性，难度中等偏上。考点02垂直关系的判定2023·全国甲卷2022·全国乙卷2021·全国甲卷2021·全国乙卷知识2空间角（5年5考）考点03求异面直线所成的角2025·全国一卷2021·上海考点04求直线与平面所成的角2025·北京2024·上海2023·全国甲卷2022·上海2022·浙江2022·全国甲卷2022·全国乙卷2022·北京2021·浙江考点05求面面角或二面角2025·全国二卷2025·天津2024·新课标Ⅰ卷2024·新课标Ⅱ卷2024·全国甲卷2024·北京2023·新课标Ⅰ卷2023·新课标Ⅱ卷2023·北京2023·上海2023·全国乙卷2022·新高考全国Ⅰ卷2022·新高考全国Ⅱ卷2022·天津2021·新高考全国Ⅰ卷2021·新高考全国Ⅱ卷2021·全国甲卷2021·全国乙卷2021·天津2021·北京知识3空间距离（5年2考）考点06求点到面的距离2024·全国甲卷2024·天津2023·天津考点01平行关系的判定1．（2025·上海·高考真题）如图，P是圆锥的顶点，O是底面圆心，AB是底面直径，且．

(1)若直线PA与圆锥底面的所成角为，求圆锥的侧面积；(2)已知Q是母线PA的中点，点C、D在底面圆周上，且弧AC的长为，．设点M在线段OC上，证明：直线平面PBD．2．（2023·全国乙卷·高考真题）如图，在三棱锥中，，，，，的中点分别为，点在上，．(1)求证：//平面；(2)若，求三棱锥的体积．3．（2022·全国甲卷·高考真题）小明同学参加综合实践活动，设计了一个封闭的包装盒，包装盒如图所示：底面是边长为8（单位：）的正方形，均为正三角形，且它们所在的平面都与平面垂直．(1)证明：平面；(2)求该包装盒的容积（不计包装盒材料的厚度）．考点02垂直关系的判定4．（2023·全国甲卷·高考真题）如图，在三棱柱中，平面．

(1)证明：平面平面；(2)设，求四棱锥的高．5．（2022·全国乙卷·高考真题）如图，四面体中，，E为AC的中点．(1)证明：平面平面ACD；(2)设，点F在BD上，当的面积最小时，求三棱锥的体积．6．（2021·全国甲卷·高考真题）已知直三棱柱中，侧面为正方形，，E，F分别为和的中点，.（1）求三棱锥的体积；（2）已知D为棱上的点，证明：.7．（2021·全国乙卷·高考真题）如图，四棱锥的底面是矩形，底面，M为的中点，且．（1）证明：平面平面；（2）若，求四棱锥的体积．考点03求异面直线所成的角8．（2025·全国一卷·高考真题）如图所示的四棱锥中，平面，．(1)证明：平面平面；(2)，，，，在同一个球面上，设该球面的球心为．（i）证明：在平面上；（ⅱ）求直线与直线所成角的余弦值．9．（2021·上海·高考真题）四棱锥，底面为正方形，边长为4，为中点，平面.（1）若△为等边三角形，求四棱锥的体积；（2）若的中点为，与平面所成角为45°，求与所成角的大小.考点04求直线与平面所成的角10．（2025·北京·高考真题）如图，在四棱锥中，与均为等腰直角三角形，，E为BC的中点．(1)若分别为的中点，求证：平面PAB；(2)若平面ABCD，，求直线AB与平面PCD所成角的正弦值．11．（2024·上海·高考真题）如图为正四棱锥为底面的中心．(1)若，求绕旋转一周形成的几何体的体积；(2)若为的中点，求直线与平面所成角的大小．12．（2023·全国甲卷·高考真题）如图，在三棱柱中，底面ABC，，到平面的距离为1．

(1)证明：；(2)已知与的距离为2，求与平面所成角的正弦值．13．（2022·上海·高考真题）如图所示三棱锥P-ABC，底面为等边三角形ABC，O为AC边中点，且底面ABC，

(1)求三棱锥P-ABC的体积；(2)若M为BC中点，求PM与平面PAC所成角大小（结果用反三角数值表示）.14．（2022·浙江·高考真题）如图，已知和都是直角梯形，，，，，，，二面角的平面角为．设M，N分别为的中点．(1)证明：；(2)求直线与平面所成角的正弦值．15．（2022·全国甲卷·高考真题）在四棱锥中，底面．(1)证明：；(2)求PD与平面所成的角的正弦值．16．（2022·全国乙卷·高考真题）如图，四面体中，，E为的中点．(1)证明：平面平面；(2)设，点F在上，当的面积最小时，求与平面所成的角的正弦值．17．（2022·北京·高考真题）如图，在三棱柱中，侧面为正方形，平面平面，，M，N分别为，AC的中点．(1)求证：平面；(2)再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求直线AB与平面BMN所成角的正弦值．条件①：；条件②：．注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．18．（2021·浙江·高考真题）如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，，M，N分别为的中点，.（1）证明：；（2）求直线与平面所成角的正弦值.考点05求面面角或二面角19．（2021·全国乙卷·高考真题）如图，四棱锥的底面是矩形，底面，，为的中点，且．（1）求；（2）求二面角的正弦值．20．（2023·北京·高考真题）如图，在三棱锥中，平面，．

(1)求证：平面PAB；(2)求二面角的大小．21．（2025·全国二卷·高考真题）如图，在四边形中，，F为CD的中点，点E在AB上，，，将四边形沿翻折至四边形，使得面与面EFCB所成的二面角为．(1)证明:平面；(2)求面与面所成的二面角的正弦值．22．（2025·天津·高考真题）正方体的棱长为4，分别为中点，．(1)求证：平面；(2)求平面与平面夹角的余弦值；(3)求三棱锥的体积．23．（2024·全国甲卷·高考真题）如图，在以A，B，C，D，E，F为顶点的五面体中，四边形ABCD与四边形ADEF均为等腰梯形，，，，为的中点．(1)证明：平面；(2)求二面角的正弦值．24．（2024·北京·高考真题）如图，在四棱锥中，，，,点在上，且，．(1)若为线段中点，求证：平面．(2)若平面，求平面与平面夹角的余弦值．25．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）如图，平面四边形ABCD中，，，，，，点E，F满足，，将沿EF翻折至，使得．(1)证明：；(2)求平面PCD与平面PBF所成的二面角的正弦值．26．（2023·上海·高考真题）在直四棱柱中，，，，，(1)求证：平面；(2)若四棱柱体积为36，求二面角大小.27．（2023·全国乙卷·高考真题）如图，在三棱锥中，，，，，BP，AP，BC的中点分别为D，E，O，，点F在AC上，.

(1)证明：平面；(2)证明：平面平面BEF；(3)求二面角的正弦值.28．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）如图，三棱锥中，，，，E为BC的中点．(1)证明：；(2)点F满足，求二面角的正弦值．29．（2022·天津·高考真题）如图，在直三棱柱中，，点D、E、F分别为的中点，.(1)求证：平面；(2)求直线与平面所成角的正弦值；(3)求平面与平面夹角的余弦值．30．（2022·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）如图，是三棱锥的高，，，E是的中点．

(1)证明：平面；(2)若，，，求二面角的正弦值．31．（2022·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）如图，直三棱柱的体积为4，的面积为．(1)求A到平面的距离；(2)设D为的中点，，平面平面，求二面角的正弦值．32．（2021·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）在四棱锥中，底面是正方形，若．（1）证明：平面平面；（2）求二面角的平面角的余弦值．33．（2021·天津·高考真题）如图，在棱长为2的正方体中，E为棱BC的中点，F为棱CD的中点．（I）求证：平面；（II）求直线与平面所成角的正弦值．（III）求二面角的正弦值．34．（2021·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）如图，在三棱锥中，平面平面，，为的中点.（1）证明：；（2）若是边长为1的等边三角形，点在棱上，，且二面角的大小为，求三棱锥的体积.35．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）如图，在正四棱柱中，．点分别在棱,上，．

(1)证明：；(2)点在棱上，当二面角为时，求．36．（2021·北京·高考真题）如图：在正方体中，为中点，与平面交于点．（1）求证：为的中点；（2）点是棱上一点，且二面角的余弦值为，求的值．37．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）如图，四棱锥中，底面ABCD，，．(1)若，证明：平面；(2)若，且二面角的正弦值为，求．38．（2021·全国甲卷·高考真题）已知直三棱柱中，侧面为正方形，，E，F分别为和的中点，D为棱上的点．（1）证明：；（2）当为何值时，面与面所成的二面角的正弦值最小?考点06求点到面的距离39．（2024·全国甲卷·高考真题）如图，，，，,为的中点.(1)证明：平面；(2)求点到的距离.40．（2024·天津·高考真题）如图，在四棱柱中，平面，，．分别为的中点，(1)求证：平面；(2)求平面与平面夹角余弦值；(3)求点到平面的距离．41．（2023·天津·高考真题）如图，在三棱台中，平面，为中点.，N为AB的中点，

(1)求证：//平面；(2)求平面与平面所成夹角的余弦值；(3)求点到平面的距离．专题14空间向量与立体几何（解答题）6种常见考法归类知识五年考情（2021-2025）命题趋势知识1线面关系的证明（5年4考）考点01平行关系的判定2025·上海2023·全国乙卷2022·全国甲卷1.线面关系证明是基础必考题

平行关系（如线面平行、面面平行）和垂直关系（线面垂直、面面垂直）的判定是解答题的“保底”考点，题目通常以常见几何体（棱柱、棱锥、棱台等）为载体，要求结合几何定义、判定定理进行逻辑推理，强调对空间线面位置关系的直观感知与严谨论证能力，难度中等，是得分的关键环节。2.空间角的计算是高频重难点

空间角（异面直线所成角、直线与平面所成角、二面角）的求解在近5年保持“5年5考”的高频态势，其中二面角是绝对核心（几乎每年必考，覆盖全国卷、地方卷多个地区），其次是直线与平面所成角，异面直线所成角偶有涉及。题目通常需要结合空间向量法（建系、求法向量）或几何法（作辅助线、找角）求解，既考查空间想象能力，也注重运算准确性，是区分度的重要体现。3.空间距离的考查聚焦点到面距离

空间距离的考查以“点到面的距离”为核心（近5年多次出现），常与体积计算、空间角综合命题，需要借助等体积法或空间向量的投影公式求解，体现“空间度量”的统一性，难度中等偏上。考点02垂直关系的判定2023·全国甲卷2022·全国乙卷2021·全国甲卷2021·全国乙卷知识2空间角（5年5考）考点03求异面直线所成的角2025·全国一卷2021·上海考点04求直线与平面所成的角2025·北京2024·上海2023·全国甲卷2022·上海2022·浙江2022·全国甲卷2022·全国乙卷2022·北京2021·浙江考点05求面面角或二面角2025·全国二卷2025·天津2024·新课标Ⅰ卷2024·新课标Ⅱ卷2024·全国甲卷2024·北京2023·新课标Ⅰ卷2023·新课标Ⅱ卷2023·北京2023·上海2023·全国乙卷2022·新高考全国Ⅰ卷2022·新高考全国Ⅱ卷2022·天津2021·新高考全国Ⅰ卷2021·新高考全国Ⅱ卷2021·全国甲卷2021·全国乙卷2021·天津2021·北京知识3空间距离（5年2考）考点06求点到面的距离2024·全国甲卷2024·天津2023·天津考点01平行关系的判定1．（2025·上海·高考真题）如图，P是圆锥的顶点，O是底面圆心，AB是底面直径，且．

(1)若直线PA与圆锥底面的所成角为，求圆锥的侧面积；(2)已知Q是母线PA的中点，点C、D在底面圆周上，且弧AC的长为，．设点M在线段OC上，证明：直线平面PBD．2．（2023·全国乙卷·高考真题）如图，在三棱锥中，，，，，的中点分别为，点在上，．(1)求证：//平面；(2)若，求三棱锥的体积．3．（2022·全国甲卷·高考真题）小明同学参加综合实践活动，设计了一个封闭的包装盒，包装盒如图所示：底面是边长为8（单位：）的正方形，均为正三角形，且它们所在的平面都与平面垂直．(1)证明：平面；(2)求该包装盒的容积（不计包装盒材料的厚度）．考点02垂直关系的判定4．（2023·全国甲卷·高考真题）如图，在三棱柱中，平面．

(1)证明：平面平面；(2)设，求四棱锥的高．5．（2022·全国乙卷·高考真题）如图，四面体中，，E为AC的中点．(1)证明：平面平面ACD；(2)设，点F在BD上，当的面积最小时，求三棱锥的体积．6．（2021·全国甲卷·高考真题）已知直三棱柱中，侧面为正方形，，E，F分别为和的中点，.（1）求三棱锥的体积；（2）已知D为棱上的点，证明：.7．（2021·全国乙卷·高考真题）如图，四棱锥的底面是矩形，底面，M为的中点，且．（1）证明：平面平面；（2）若，求四棱锥的体积．考点03求异面直线所成的角8．（2025·全国一卷·高考真题）如图所示的四棱锥中，平面，．(1)证明：平面平面；(2)，，，，在同一个球面上，设该球面的球心为．（i）证明：在平面上；（ⅱ）求直线与直线所成角的余弦值．9．（2021·上海·高考真题）四棱锥，底面为正方形，边长为4，为中点，平面.（1）若△为等边三角形，求四棱锥的体积；（2）若的中点为，与平面所成角为45°，求与所成角的大小.考点04求直线与平面所成的角10．（2025·北京·高考真题）如图，在四棱锥中，与均为等腰直角三角形，，E为BC的中点．(1)若分别为的中点，求证：平面PAB；(2)若平面ABCD，，求直线AB与平面PCD所成角的正弦值．11．（2024·上海·高考真题）如图为正四棱锥为底面的中心．(1)若，求绕旋转一周形成的几何体的体积；(2)若为的中点，求直线与平面所成角的大小．12．（2023·全国甲卷·高考真题）如图，在三棱柱中，底面ABC，，到平面的距离为1．

(1)证明：；(2)已知与的距离为2，求与平面所成角的正弦值．13．（2022·上海·高考真题）如图所示三棱锥P-ABC，底面为等边三角形ABC，O为AC边中点，且底面ABC，

(1)求三棱锥P-ABC的体积；(2)若M为BC中点，求PM与平面PAC所成角大小（结果用反三角数值表示）.14．（2022·浙江·高考真题）如图，已知和都是直角梯形，，，，，，，二面角的平面角为．设M，N分别为的中点．(1)证明：；(2)求直线与平面所成角的正弦值．15．（2022·全国甲卷·高考真题）在四棱锥中，底面．(1)证明：；(2)求PD与平面所成的角的正弦值．16．（2022·全国乙卷·高考真题）如图，四面体中，，E为的中点．(1)证明：平面平面；(2)设，点F在上，当的面积最小时，求与平面所成的角的正弦值．17．（2022·北京·高考真题）如图，在三棱柱中，侧面为正方形，平面平面，，M，N分别为，AC的中点．(1)求证：平面；(2)再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求直线AB与平面BMN所成角的正弦值．条件①：；条件②：．注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．18．（2021·浙江·高考真题）如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，，M，N分别为的中点，.（1）证明：；（2）求直线与平面所成角的正弦值.考点05求面面角或二面角19．（2021·全国乙卷·高考真题）如图，四棱锥的底面是矩形，底面，，为的中点，且．（1）求；（2）求二面角的正弦值．20．（2023·北京·高考真题）如图，在三棱锥中，平面，．

(1)求证：平面PAB；(2)求二面角的大小．21．（2025·全国二卷·高考真题）如图，在四边形中，，F为CD的中点，点E在AB上，，，将四边形沿翻折至四边形，使得面与面EFCB所成的二面角为．(1)证明:平面；(2)求面与面所成的二面角的正弦值．22．（2025·天津·高考真题）正方体的棱长为4，分别为中点，．(1)求证：平面；(2)求平面与平面夹角的余弦值；(3)求三棱锥的体积．23．（2024·全国甲卷·高考真题）如图，在以A，B，C，D，E，F为顶点的五面体中，四边形ABCD与四边形ADEF均为等腰梯形，，，，为的中点．(1)证明：平面；(2)求二面角的正弦值．24．（2024·北京·高考真题）如图，在四棱锥中，，，,点在上，且，．(1)若为线段中点，求证：平面．(2)若平面，求平面与平面夹角的余弦值．25．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）如图，平面四边形ABCD中，，，，，，点E，F满足，，将沿EF翻折至，使得．(1)证明：；(2)求平面PCD与平面PBF所成的二面角的正弦值．26．（2023·上海·高考真题）在直四棱柱中，，，，，(1)求证：平面；(2)若四棱柱体积为36，求二面角大小.27．（2023·全国乙卷·高考真题）如图，在三棱锥中，，，，，BP，AP，BC的中点分别为D，E，O，，点F在AC上，.

(1)证明：平面；(2)证明：平面平面BEF；(3)求二面角的正弦值.28．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）如图，三棱锥中，，，，E为BC的中点．(1)证明：；(2)点F满足，求二面角的正弦值．29．（2022·天津·高考真题）如图，在直三棱柱中，，点D、E、F分别为的中点，.(1)求证：平面；(2)求直线与平面所成角的正弦值；(3)求平面与平面夹角的余弦值．30．（2022·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）如图，