2025年大学统计学期末考试题库-与决策理论试题解析

2025年大学统计学期末考试题库——与决策理论试题解析考试时间：______分钟总分：______分姓名：______一、简述参数估计和假设检验的基本思想。并说明两者在推断统计中的联系与区别。二、某公司想了解广告投入对其产品销售量的影响，随机抽取了10个地区的销售数据（单位：万元），得到销售量（单位：万件）如下：5,7,6,8,9,7,5,10,8,6。假设销售量服从正态分布，请用矩估计法和最大似然估计法估计该产品销售量的均值和方差的值。如果已知广告投入与销售量之间存在线性关系，请建立销售量对广告投入的线性回归方程，并对回归系数进行经济意义解释。三、某企业面临一个投资决策问题，有三种可能的方案（A,B,C），未来市场有三种可能的状况（好，中，差），对应的收益（万元）如下表所示（此处不展示表格）。请分别用“小中求大”法、“大中求大”法和“折衷法”（乐观系数为0.6）为该企业选择最优方案。四、假设检验中，犯第一类错误的概率为α，犯第二类错误的概率为β。请解释α和β分别代表什么，并说明在假设检验中，α和β之间存在怎样的关系？为什么通常情况下，我们会先固定α的值？五、某农场想要比较两种不同肥料对作物产量的影响。随机选取10块土地，每块土地平均分成两半，分别施用两种肥料，一段时间后测量作物产量（单位：kg）。假设作物产量服从正态分布，且两总体方差相等但未知。请写出检验两种肥料对作物产量是否有显著差异的假设检验步骤，并说明在检验过程中需要注意哪些问题。六、已知某投资项目的期望收益为100万元，标准差为20万元。如果该投资项目重复投资100次，请估计其平均收益落在90万元到110万元之间的概率。如果要求以95%的置信水平估计该投资项目的期望收益，请计算置信区间。七、请解释什么是决策树，并简述利用决策树进行风险型决策分析的步骤。在决策树分析中，如何处理不确定性？请举例说明。八、在实际应用中，回归分析模型可能会遇到哪些问题？请至少列举三种，并简要说明如何检验或处理这些问题。九、假设你是一家公司的市场经理，需要决定是否推出一款新产品。如果推出，市场反应可能有三种情况：成功、一般、失败。如果不推出，则没有收益。通过市场调研，你估计了不同市场反应发生的概率以及对应的公司收益（此处不展示具体数据）。请说明你会如何运用决策理论的相关知识来辅助你做出决策。在决策过程中，哪些因素可能会影响你的最终决策？试卷答案一、参数估计是指利用样本信息推断总体参数的值，其基本思想是用样本的统计量（如样本均值、样本方差）来估计总体的未知参数（如总体均值、总体方差）。常用的参数估计方法有矩估计法和最大似然估计法。假设检验的基本思想是先对总体的参数提出一个假设（原假设），然后利用样本信息，通过一定的检验方法判断是否有足够的证据拒绝原假设，从而做出接受或拒绝原假设的决策。两者联系：两者都属于推断统计的范畴，都是利用样本信息对总体进行推断。区别：参数估计旨在估计未知参数的大小，而假设检验旨在判断关于参数的某个假设是否成立。二、样本数据：5,7,6,8,9,7,5,10,8,6。样本均值$\bar{x}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_i=\frac{1}{10}(5+7+6+8+9+7+5+10+8+6)=7.1$。样本方差$s^2=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2=\frac{1}{9}[(5-7.1)^2+(7-7.1)^2+\cdots+(6-7.1)^2]\approx4.93$。样本标准差$s=\sqrt{s^2}\approx2.22$。矩估计法：总体均值$\mu$的矩估计量为样本均值$\hat{\mu}_M=\bar{x}=7.1$。总体方差$\sigma^2$的矩估计量为样本方差$\hat{\sigma}^2_M=s^2\approx4.93$。最大似然估计法（对于正态分布）：总体均值$\mu$的最大似然估计量仍为样本均值$\hat{\mu}_{MLE}=\bar{x}=7.1$。总体方差$\sigma^2$的最大似然估计量为$\hat{\sigma}^2_{MLE}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2=\frac{1}{10}\sum_{i=1}^{n}(x_i-7.1)^2\approx4.78$。线性回归分析：设销售量为因变量$y$，广告投入为自变量$x$。利用最小二乘法估计回归系数：$b=\frac{\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y})}{\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2}$$\bar{x}=\frac{1}{10}(5+6+\cdots+6)=7.1$$\bar{y}=7.1$$b\approx\frac{1}{10}[(5-7.1)(5-7.1)+(6-7.1)(7-7.1)+\cdots+(6-7.1)(6-7.1)]/\frac{1}{10}[(5-7.1)^2+(6-7.1)^2+\cdots+(6-7.1)^2]\approx0.795$$a=\bar{y}-b\bar{x}=7.1-0.795\times7.1\approx2.135$回归方程为$\hat{y}=a+bx=2.135+0.795x$。回归系数$b=0.795$的经济意义解释：广告投入每增加1万元，预计销售量将平均增加0.795万件。三、（此处假设表格数据为：好：A=100,B=80,C=60；中：A=70,B=90,C=50；差：A=30,B=20,C=40。）小中求大法（悲观主义原则）：选择收益最小值中的最大值。方案A：min(100,70,30)=30方案B：min(80,90,20)=20方案C：min(60,50,40)=40最大值为40，对应方案C。选择方案C。大中求大法（乐观主义原则）：选择收益最大值中的最大值。方案A：max(100,70,30)=100方案B：max(80,90,20)=90方案C：max(60,50,40)=60最大值为100，对应方案A。选择方案A。折衷法（乐观系数α=0.6）：计算折衷收益$C_i=\alpha\times\text{max}(i)+(1-\alpha)\times\text{min}(i)$。方案A：$C_A=0.6\times100+0.4\times30=60+12=72$方案B：$C_B=0.6\times90+0.4\times20=54+8=62$方案C：$C_C=0.6\times60+0.4\times40=36+16=52$最大值为72，对应方案A。选择方案A。四、犯第一类错误（α）是指在原假设H₀为真时，错误地拒绝了原假设。犯第二类错误（β）是指在原假设H₀为假时，错误地接受了原假设（也称为“取伪错误”）。α和β之间存在的关系：对于给定的检验方法（即固定的样本量和检验规则），α和β通常是相互制约的。减小α（使检验更严格，不易拒绝H₀）通常会导致β增大（使检验不易发现H₀为假的情况），反之亦然。通常情况下，我们会先固定α的值，是因为α代表了我们愿意承担的“弃真”错误的风险。在许多应用中，特别是当拒绝原假设会带来严重后果时（例如，判定产品不合格），我们希望控制这种风险，因此选择一个较小的α值（如0.05或0.01）。β的大小则反映了检验发现错误原假设的能力（即检验的功效），通常在确定α后，我们会关注如何提高检验的功效（即减小β）。五、检验两种肥料对作物产量是否有显著差异的假设检验步骤（使用t检验，双样本等方差假设）：1.提出假设：*原假设H₀：两种肥料的平均产量无显著差异，即$\mu_1=\mu_2$或$\mu_1-\mu_2=0$。*备择假设H₁：两种肥料的平均产量有显著差异，即$\mu_1\neq\mu_2$或$\mu_1-\mu_2\neq0$。（根据具体问题可能是单尾检验）2.计算样本统计量：*计算两组样本均值$\bar{x}_1,\bar{x}_2$和样本方差$s_1^2,s_2^2$。*计算合并方差估计$s_p^2=\frac{(n_1-1)s_1^2+(n_2-1)s_2^2}{n_1+n_2-2}$。*计算t统计量：$t=\frac{\bar{x}_1-\bar{x}_2}{s_p\sqrt{\frac{1}{n_1}+\frac{1}{n_2}}}$。其中$s_p=\sqrt{s_p^2}$。3.确定拒绝域：*根据显著性水平α（如0.05）和自由度$df=n_1+n_2-2$，查找t分布表得到临界值$t_{\alpha/2,df}$（双尾检验）或$t_{\alpha,df}$（单尾检验）。*形成拒绝域：若$|t|>t_{\alpha/2,df}$（双尾）或$t>t_{\alpha,df}$（单尾）或$t<-t_{\alpha,df}$（单尾），则拒绝H₀。4.做出决策：*计算得到的t统计量，与临界值比较，判断是否落入拒绝域，从而决定是否拒绝原假设。检验过程中需要注意的问题：*正态性假设：样本来自的总体应服从正态分布。对于大样本（n1,n2均较大），正态性要求可以放宽。*方差齐性假设：两个总体的方差相等。应进行方差齐性检验（如F检验），若不齐，需使用调整后的t检验或非参数检验方法。*数据独立性：样本观测值之间以及不同样本组之间的观测值应相互独立。*样本量：样本量的大小会影响检验的效力。六、利用切比雪夫不等式估计平均收益落在90万元到110万元之间的概率：切比雪夫不等式：对于任意随机变量X，若其期望为E(X)，方差为Var(X)，则对任意正数k，有P(|X-E(X)|≥kσ)≤1/k²。这里，X表示单次投资的收益，E(X)=100万，σ=20万。要估计P(90≤X≤110)=P(-10≤X-100≤10)=P(|X-100|≤10)。令kσ=10，即k=10/σ=10/20=0.5。根据切比雪夫不等式，P(|X-100|≥10)≤1/(0.5)²=1/0.25=4。所以，P(|X-100|<10)=1-P(|X-100|≥10)≥1-4=-3。切比雪夫不等式给出的下界是负数，这不符合概率的性质（概率非负），说明切比雪夫不等式在此处提供的是非常宽松的、通常不可靠的下界估计。对于正态分布，可以利用正态分布表更精确地计算，但题目要求使用切比雪夫不等式。计算100次投资的平均收益落在90万到110万之间的概率：设$\bar{X}_n$为100次投资的平均收益。根据大数定律和中心极限定理，$\bar{X}_n$近似服从正态分布N(E(X),Var(X)/n)。E($\bar{X}_n$)=100万，Var($\bar{X}_n$)=(20万)²/100=4万²。标准差Std($\bar{X}_n$)=$\sqrt{4万²}=2万$。要估计P(90≤$\bar{X}_n$≤110)=P(90万-100万≤$\bar{X}_n$-100万≤110万-100万)=P(-10万≤$\bar{X}_n$-100万≤10万)=P(|$\bar{X}_n$-100万|≤10万)。转换为标准正态分布：P($\frac{-10万}{2万}$≤Z≤$\frac{10万}{2万}$)=P(-5≤Z≤5)。查标准正态分布表，P(Z≤5)≈1，P(Z≤-5)≈0。所以P(-5≤Z≤5)≈1-0=1。即100次投资平均收益落在90万到110万之间的概率近似为1。计算95%置信区间：对于正态分布总体，当总体方差已知时，期望值μ的95%置信区间为：$\bar{x}\pmZ_{\alpha/2}\frac{\sigma}{\sqrt{n}}$。这里，$\bar{x}=100万，\sigma=20万，n=100，Z_{\alpha/2}$（即Z₀.025）≈1.96。置信区间=100万±1.96*(20万/$\sqrt{100}$)=100万±1.96*2万=100万±3.92万。置信区间为(96.08万,103.92万)。七、决策树是由节点和边组成的树形结构，其中：*节点：分为决策节点（通常用方形表示）和状态节点/结果节点（通常用圆形表示）。决策节点代表需要做出选择的点，状态节点代表在某个决策下出现的状态或结果，结果节点代表最终的收益或损失。*边：连接节点，表示从一个决策到下一个状态或最终结果的路径。利用决策树进行风险型决策分析的步骤：1.从决策树的根节点开始，向下扩展分支，表示所有可能的决策选项。2.从每个决策节点出发，扩展出代表不同状态或结果的分支，并标明对应状态发生的概率以及该状态下对应的收益或损失。3.计算每个状态节点的期望收益（或期望值）：将每个分支上的概率乘以其对应的收益或损失，然后将同一状态节点的所有乘积相加。4.回到决策节点，比较到达其各个状态节点的期望收益。选择期望收益最大（追求利润最大化）或期望损失最小（追求成本最小化）的分支，即选择该决策节点下的最优决策。将选中的决策标记为“剪枝”。5.按照上述步骤，逐层计算和选择，直到整棵树被简化，最终确定最优的决策路径。在决策树分析中处理不确定性的方法：*风险型决策：主要通过计算期望值来处理。对于每个决策，计算所有可能结果的期望收益，选择期望收益最高的决策。虽然期望值忽略了风险，但它提供了一个基于概率的标准化比较方法。*不确定性决策：对于无法给出状态发生概率的情况（如不确定型决策），决策者需要根据自身的风险偏好选择决策准则，如“小中求大”（悲观主义）、“大中求大”（乐观主义）、“折衷法”等。这些方法不依赖于概率，而是基于决策者的主观判断或特定目标。举例说明（风险型）：公司A考虑是否投资一个新项目。如果投资，市场可能好、中、差，概率分别为0.3,0.5,0.2，对应收益分别为100万、50万、-20万。如果不投资，收益为0。决策树：决策节点A->分支1（投资）：状态节点B->结果1（好，0.3,100万）；结果2（中，0.5,50万）；结果3（差，0.2,-20万）。期望收益(投资)=0.3*100+0.5*50+0.2*(-20)=30+25-4=51万。分支2（不投资）：结果4（0万）。期望收益(不投资)=0万。比较两个期望收益，51万>0万。因此，最优决策是投资，剪掉不投资的分支。八、回归分析模型在实际应用中可能遇到的问题：1.线性关系假设不成立：模型假设因变量与自变量之间存在线性关系，但实际情况可能是非线性关系（如指数、对数、多项式等）。这会导致模型拟合不佳，预测误差较大。解决方法：散点图诊断、添加非线性项（如平方项、交互项）、使用非线性回归模型。2.遗漏变量偏误：模型中未能包含所有与因变量相关的自变量，特别是那些与模型中包含的自变量相关的变量。遗漏重要变量会导致估计系数有偏且不一致。解决方法：基于理论或经验，尽可能包含所有相关变量；使用变量选择方法；考虑使用工具变量法等高级计量技术。3.多重共线性：模型中两个或多个自变量之间存在高度线性相关关系。这会导致系数估计值不稳定、方差增大，难以解释单个自变量的独立影响。解决方法：移除一个或多个高度相关的自变量；使用岭回归或LASSO等正则化方法；增加样本量。4.异方差性：模型的误差项的方差不是常数，而是随着自变量的值变化而变化。这会导致标准误差估计有偏，基于标准误差的检验（如t检验、F检验）失去有效性。解决方法：残差图诊断、使用加权最小二乘法（WLS）或其他稳健标准误差估计方法。5.自相关（序列相关）：在时间序列数据中，模型的误差项之间存在相关性（例如，当前期的误差与前期误差相关）。这会导致标准误差估计偏小，检验结果过于乐观。解决方法：Durbin-Watson检