2024-2025学年北京市通州区高二上学期期中质量检测数学试卷（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1北京市通州区2024-2025学年高二上学期期中质量检测数学试卷第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.若直线与直线平行，则（）A.2 B. C. D.【答案】A【解析】直线与直线平行，所以.故选：A.2.若向量，，满足条件，则（）A. B. C.0 D.2【答案】D【解析】因为向量，，，所以，又，即，即，解得.故选：D.3.在空间直角坐标系中，点关于坐标平面的对称点坐标为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】点关于坐标平面的对称点坐标为，故选：B4.已知直线的方向向量与平面的法向量分别为，，则（）A.∥ B.C.∥或 D.，相交但不垂直【答案】C【解析】因为，所以，所以∥或，故选：C.5.法向量为的平面内有一点，则平面外点到平面的距离为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】依题意，，所以点到平面的距离为.故选：D.6.过点作圆的两条切线，则这两条切线的夹角为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】过点作圆的两条切线，设切点为、，而圆，即，则圆的半径为2，圆心C-2,0,,故，故，进而可得，故选：C．7.圆O1：和圆O2：的位置关系是（）A.相离 B.相交 C.外切 D.内切【答案】B【解析】由题意可知圆的圆心，半径，圆的圆心，半径，又，所以圆和圆的位置关系是相交，故选B．8.如图，在平行六面体中，与的交点为，若，则（）A. B. C. D.2【答案】D【解析】由已知，在平行六面体中，，又因为，所以，，，所以.故选：D.9.如果，那么“”是“直线不通过第三象限”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】因为，所以，，，由得，取，，，满足，此时直线方程为，且通过第三象限；反之，若直线不通过第三象限，即直线不通过第三象限，所以，得，所以“”是“直线不通过第三象限”的必要不充分条件，故选：B.10.如图，空间直角坐标系中，点，，定义.正方体的棱长为3，E为棱的中点，平面内两个动点P，M，分别满足，，则的取值范围是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】根据正方体的特征易知平面，平面，平面，所以，又，则，如图建立平面直角坐标系，设，则，整理得，即M轨迹为平面上的圆，以为圆心，2为半径；因为，则P轨迹为以为中心，一条对角线长4且在纵轴上的正方形，如上图所示，，易得，过圆心作的垂线，可知垂线方程为易得上的垂足，显然在线段上，而上的垂足，显然H距N远，则圆心到的距离为，圆心到H的距离.故选：A.第二部分（非选择题共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.11.已知向量，分别是直线，的一个方向向量，若，则______.【答案】6【解析】因为，所以∥，故存在实数使得，则，解得，，所以.12.过点的直线平分圆，则这条直线的倾斜角为________.【答案】【解析】因为过点的直线平分圆，所以圆心在所求直线上，因此直线的斜率，所以，因为，所以.13.直线与圆相交于A、B两点，当弦AB最短时，________.【答案】0【解析】由题得，直线，即，，解得：，所以直线过定点，圆的圆心为，半径为2，当垂直直线时，弦最短，此时直线为，则.14.已知两点，和圆，则直线与圆的位置关系为________.若点在圆上，且，则满足条件的点共有________个.【答案】相交4【解析】由题得，所以直线的方程为，所以直线的方程为，由可知，圆的圆心为，半径为，又圆心到直线的距离，所以直线与圆相交，又，设点到直线的距离为，则，解得，又圆心到直线的距离为，圆的半径为，所以圆上有个满足条件的点.15.直三棱柱中，，，，，使棱上存在点P，满足，则下列正确结论的序号是________.①满足条件的点一定有两个；②三棱锥的体积是三棱柱体积的；③三棱锥的体积存在最小值；④当的面积取最小值时，异面直线与所成的角的余弦值为.【答案】②③④【解析】设，则，根据可得，化简可得，当时，只有唯一的一个实数根，此时符合的点只有一个，故①错误，由于平面，故，②正确，由②可知，由①可知有实数根，故，故，因此，当时，体积有最小值16，③正确，由可得，过作于点，再过点作为于点，则，即为的边上的高，在中，，，，，把代入上式，化简得，当且仅当，即，时，等号成立，此时的面积取得最小值，．，即为异面直线与所成的角，，，即异面直线与所成的角的余弦值为，故④正确，故答案为：②③④.三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16.在平面直角坐标系xOy中，点，，.（1）求直线BC的方程；（2）求过点A与直线BC垂直的直线l的方程；（3）求直线BC与直线l交点的坐标.解：（1）直线的斜率，故直线的方程为，化简得.（2）因为直线与直线垂直，故，所以，直线的方程为，化简得.（3）联立，解得，即，所以直线BC与直线l交点的坐标为.17.在平面直角坐标系xOy中，点，，且圆是以为直径的圆.（1）求圆M的方程；（2）若直线与圆M相交，求实数k取值范围.解：（1）由已知，，则圆心.半径，所以圆的方程为.（2）由直线，即，又直线与圆相交，设圆心到直线的距离为，可得，整理有：，解得.18.如图，在棱长是2的正方体中，分别为AB，的中点.（1）证明：平面；（2）求异面直线与所成角的大小.（1）证明：以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，，所以，所以.，，所以，所以.，,故平面.（2）解：，，，，所以，所以.故，因此异面直线EF与所成角的大小为19.如图，在四棱锥中，平面，，，，，分别为棱的中点.（1）求线段长；（2）求平面和平面夹角的余弦值；（3）在线段上是否存在点G，使得直线在平面内，若存在，求的值；若不存在，请说明理由.解：（1）因为平面，，平面，则，，且，以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴，建立空间直角坐标系，如图所示，由已知，，，，，，可得，，故线段的长为.（2）由（1）得：，，设平面的法向量为，所以，令，则，.所以平面的一个法向量为，由图知DA=2,0,0为平面所以，所以平面和平面夹角的余弦值为.（3）假设线段上存在点，使得直线在平面内，，因为，所以，即，因为在平面内，故，所以，解得.故线段上存在点，使得直线在平面内，此时.20.如图①，在直角梯形中，，，，点是边的中点，将沿折起至，使平面平面，得到如图②所示的几何体，从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，完成以下问题.条件①：；条件②：.注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分.（1）求证：；（2）求直线与平面所成角的正弦值.（1）证明：若选条件①，取中点，连，OE，，故，，因为平面平面，平面平面，平面，所以平面.因为平面，所以.又因为，且，平面,所以平面，所以.以为坐标原点，，，分别为，，轴非负半轴建立空间直角坐标系如图所示，，，，，，，，，，，，所以，所以.若选条件②，取中点，连，，，故，，，因平面平面，平面平面，平面，所以平面.因为平面，所以，，又因为，所以，所以，所以.以下同条件①.（2）解：，，设平面的法向量为，则，取，，故与平面所成角的正弦值为.21.在平面直角坐标系中，已知圆过点且圆心在轴上，与直线交于不同的两点、，且.（1）求圆的方程；（2）设圆与轴交于，两点，点为直线上动点，直线，与圆的另一个交点分别为，，且，在直线两侧，求证：直线过定点，并求出的值.解：（1）因为圆心在轴上，故可设，由，故点、点都在线段的垂直平分线上，所以，则有，则，解得，则，故圆的方程为：；（2）由圆的方程为：，令，则，则可设，，设，，，则，，设，则，直线的方程为：，代入圆的方程消去得：，，，，直线的方程为：，代入圆的方程消去得：，，则，，设直线过定点，则直线斜率为：，即有，整理得，所以，故直线过定点.北京市通州区2024-2025学年高二上学期期中质量检测数学试卷第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.若直线与直线平行，则（）A.2 B. C. D.【答案】A【解析】直线与直线平行，所以.故选：A.2.若向量，，满足条件，则（）A. B. C.0 D.2【答案】D【解析】因为向量，，，所以，又，即，即，解得.故选：D.3.在空间直角坐标系中，点关于坐标平面的对称点坐标为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】点关于坐标平面的对称点坐标为，故选：B4.已知直线的方向向量与平面的法向量分别为，，则（）A.∥ B.C.∥或 D.，相交但不垂直【答案】C【解析】因为，所以，所以∥或，故选：C.5.法向量为的平面内有一点，则平面外点到平面的距离为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】依题意，，所以点到平面的距离为.故选：D.6.过点作圆的两条切线，则这两条切线的夹角为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】过点作圆的两条切线，设切点为、，而圆，即，则圆的半径为2，圆心C-2,0,,故，故，进而可得，故选：C．7.圆O1：和圆O2：的位置关系是（）A.相离 B.相交 C.外切 D.内切【答案】B【解析】由题意可知圆的圆心，半径，圆的圆心，半径，又，所以圆和圆的位置关系是相交，故选B．8.如图，在平行六面体中，与的交点为，若，则（）A. B. C. D.2【答案】D【解析】由已知，在平行六面体中，，又因为，所以，，，所以.故选：D.9.如果，那么“”是“直线不通过第三象限”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】因为，所以，，，由得，取，，，满足，此时直线方程为，且通过第三象限；反之，若直线不通过第三象限，即直线不通过第三象限，所以，得，所以“”是“直线不通过第三象限”的必要不充分条件，故选：B.10.如图，空间直角坐标系中，点，，定义.正方体的棱长为3，E为棱的中点，平面内两个动点P，M，分别满足，，则的取值范围是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】根据正方体的特征易知平面，平面，平面，所以，又，则，如图建立平面直角坐标系，设，则，整理得，即M轨迹为平面上的圆，以为圆心，2为半径；因为，则P轨迹为以为中心，一条对角线长4且在纵轴上的正方形，如上图所示，，易得，过圆心作的垂线，可知垂线方程为易得上的垂足，显然在线段上，而上的垂足，显然H距N远，则圆心到的距离为，圆心到H的距离.故选：A.第二部分（非选择题共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.11.已知向量，分别是直线，的一个方向向量，若，则______.【答案】6【解析】因为，所以∥，故存在实数使得，则，解得，，所以.12.过点的直线平分圆，则这条直线的倾斜角为________.【答案】【解析】因为过点的直线平分圆，所以圆心在所求直线上，因此直线的斜率，所以，因为，所以.13.直线与圆相交于A、B两点，当弦AB最短时，________.【答案】0【解析】由题得，直线，即，，解得：，所以直线过定点，圆的圆心为，半径为2，当垂直直线时，弦最短，此时直线为，则.14.已知两点，和圆，则直线与圆的位置关系为________.若点在圆上，且，则满足条件的点共有________个.【答案】相交4【解析】由题得，所以直线的方程为，所以直线的方程为，由可知，圆的圆心为，半径为，又圆心到直线的距离，所以直线与圆相交，又，设点到直线的距离为，则，解得，又圆心到直线的距离为，圆的半径为，所以圆上有个满足条件的点.15.直三棱柱中，，，，，使棱上存在点P，满足，则下列正确结论的序号是________.①满足条件的点一定有两个；②三棱锥的体积是三棱柱体积的；③三棱锥的体积存在最小值；④当的面积取最小值时，异面直线与所成的角的余弦值为.【答案】②③④【解析】设，则，根据可得，化简可得，当时，只有唯一的一个实数根，此时符合的点只有一个，故①错误，由于平面，故，②正确，由②可知，由①可知有实数根，故，故，因此，当时，体积有最小值16，③正确，由可得，过作于点，再过点作为于点，则，即为的边上的高，在中，，，，，把代入上式，化简得，当且仅当，即，时，等号成立，此时的面积取得最小值，．，即为异面直线与所成的角，，，即异面直线与所成的角的余弦值为，故④正确，故答案为：②③④.三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16.在平面直角坐标系xOy中，点，，.（1）求直线BC的方程；（2）求过点A与直线BC垂直的直线l的方程；（3）求直线BC与直线l交点的坐标.解：（1）直线的斜率，故直线的方程为，化简得.（2）因为直线与直线垂直，故，所以，直线的方程为，化简得.（3）联立，解得，即，所以直线BC与直线l交点的坐标为.17.在平面直角坐标系xOy中，点，，且圆是以为直径的圆.（1）求圆M的方程；（2）若直线与圆M相交，求实数k取值范围.解：（1）由已知，，则圆心.半径，所以圆的方程为.（2）由直线，即，又直线与圆相交，设圆心到直线的距离为，可得，整理有：，解得.18.如图，在棱长是2的正方体中，分别为AB，的中点.（1）证明：平面；（2）求异面直线与所成角的大小.（1）证明：以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，，所以，所以.，，所以，所以.，,故平面.（2）解：，，，，所以，所以.故，因此异面直线EF与所成角的大小为19.如图，在四棱锥中，平面，，，，，分别为棱的中点.（1）求线段长；（2）求平面和平面夹角的余弦值；（3）在线段上是否存在点G，使得直线在平面内，若存在，求的值；若不存在，请说明理由.解：（1）因为平面，，平面，则，，且，以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴，建立空间直角坐标系，如图所示，由已知，，，，，，可得，，故线段的长为.（2）由（1）得：，，设平面的法向量为，所以，令，则，.所以平面的一个法向量为，由图知DA=2,0,0为平面所以，所以平面和平面夹角的余弦值为.（3）假设线段上存在点，使得直线在平面内，，因为，