2024-2025学年辽宁沈阳市重点联合体高二上学期期末检测数学试卷（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1辽宁沈阳市重点联合体2024-2025学年高二上学期期末检测数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知椭圆的左顶点为，上顶点为，则（）A. B.1 C.2 D.【答案】D【解析】由椭圆，可得，则，，所以有．故选：D.2.展开式中的常数项为（）A. B. C.20 D.10【答案】B【解析】因展开式的通项为：，使，解得，故展开式的常数项为．故选：B.3.已知双曲线的离心率为，则实数的值为（）A.1 B.2 C. D.【答案】A【解析】由双曲线的方程可知其焦点在轴上，，因，，，，则，解得，符合题意．故选：A.4.已知，，，若，，共面，则为（）A. B.3 C. D.9【答案】C【解析】因，，共面，可设（），即，，解得．故选：C.5.已知圆与圆外切，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由圆与圆外切，可得，即，．故选：C.6.小武是1993年12月18日出生的，他设置家里的电子门锁的时候打算用他的出生年、月、日中的8个数字进行排列得到一个8位数的密码，那么小武同学可以设置的不同密码的个数为（）A.2760 B.3180 C.3200 D.3360【答案】D【解析】先将这8个数字进行全排列，有种情况，而这8个数字中有三个1和两个9，可将这三个1和两个9看作是顺序固定的排列方法，所以一共可以组成个六位数，即可以设置的不同密码的个数为．故选：D．7.在长方体中，，，，点为的中点，则平面与平面所成的锐二面角的余弦值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】以为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，故，，设平面的一个法向量为，所以有，即，取故，平面的一个法向量为，，故平面与平面所成的锐二面角的余弦值为.故选：D.8.设椭圆的左焦点为，上下顶点分别为，，直线的斜率为，并交椭圆于另一点，则直线的斜率为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】，则，，即椭圆方程为，设，，，且，即，，.故选：C.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知直线，直线，若，则实数可能取值为（）A. B.0 C.1 D.2【答案】BC【解析】由，可得，解得或1．故选：BC.10.已知向量，，则（）A.B.C.向量的夹角的余弦值为D.若向量（为实数），则【答案】BC【解析】对于A，由，可知与不共线，故A错误；对于B，由，，可得，故B正确；对于C，因，故，故C正确；对于D，由且，可得，，故,故D错误．故选：BC.11.设为双曲线的右焦点，为坐标原点，以为直径的圆M与圆O：交于，两点，若，则下列选项正确的是（）A.曲线的离心率为B.圆心到双曲线的渐近线的距离为C.所在直线方程为D.直线被双曲线的渐近线截得的线段长为【答案】ACD【解析】依题意，以为直径的圆M：，与圆O：联立得，，故由知，垂直x轴，也是圆M的一条直径，过圆心，即，故，即，故A正确；由知，双曲线的渐近线为，圆心到双曲线的渐近线的距离为，故B错误；，垂直x轴，故所在直线方程为，故C正确；由代入双曲线的渐近线得，故截得的线段长为，故D正确.故选：ACD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.二项式的展开式的二项式系数和为256，则等于______．【答案】8【解析】依题意，解得．13.如图，平行六面体中，，，，，则的长为______．【答案】【解析】平行六面体中，，，，，如图，，则．．14.近年来，各地着力打造“美丽乡村”，彩色田野成为美丽乡村的特色风景，某乡村设计一块类似于赵爽弦图的巨型创意农田（如图所示），计划从黄、白、紫、黑、绿五种颜色的农作物选种几种种在图中区域，并且每个区域种且只种一种颜色的农作物，相邻区域所种的农作物颜色不同，则共有______种不同的种法．（用数字作答）【答案】【解析】区域有种选择，区域有种选择，区域有种选择.①若区域和区域所种的农作物颜色相同，则区域有种选择；②若区域和区域所种的农作物颜色不同，则区域有种选择，区域有种选择.综上所述，共有种不同的种法.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明，证明过程及演算步骤．15.某市教育局决定派出8名心理咨询专家（5男3女）到甲、乙学校进行心理问题调研．（1）每所学校均有4名专家参加调研，有多少种的安排方法？（2）每所学校至少有3人且必须有女专家参加调研，有多少种的安排方法？解：（1）由题知，每所学校均有4名专家参加调研的安排方法有种．（2）分三类：第一类，甲校有3人有种；全是男专家有种；全是女专家有种，则符合题意有；第二类，甲校4人有种，全是男专家有种；3女1男有种，则符合题意的有；第三类，甲校5人，有种；全是男专家有种；3女2男有种，则符合题意的有．故每所学校至少3人且必须有女专家共有150种．16.已知圆的方程为．（1）求实数的取值范围；（2）若圆与直线交于，两点，且，求的值．解：（1）方程可化为，此方程表示圆，，即，故实数的取值范围是；（2）由（1）可得圆心，半径，如图，过点作于点，则，圆心到直线的距离为，由图可得：，即，解得：．即的值为2.17.在的展开式中，求：（1）第3项的二项式系数及系数；（2）奇数项的二项式系数和；（3）求系数绝对值最大的项．解：（1）二项式的通项．第3项的二项式系数为，第3项的系数为；（2）奇数项的二项式系数和；（3）设系数绝对值最大的项为第项，当时，由，解得，又，所以，此时；当时，；当时，；综上可知，系数绝对值最大的项为．18.如图，在长方体中，，，．（1）证明：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值．（1）证明：由长方体可知，，两两垂直，以为坐标原点，向量，，分别为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系，有，，，，，，．因为，，，所以，，所以，，又因为，平面，所以平面；（2）解：设平面法向量为，由，，有取，，，可得平面的一个法向量为，设直线与平面所成的角为，因为，所以，，，所以，所以直线与平面所成的角的正弦值为．19.如图，已知抛物线：（）上的点到焦点的距离的最小值为1，过点作抛物线的两条切线，切点分别为，，为线段上的动点，过点作抛物线的切线，切点为（异于点，），且直线交线段于点．（1）求抛物线的方程；（2）证明：为定值．（1）解：抛物线：（）的焦点坐标为，因为此抛物线上到焦点距离最近的点就是坐标原点，所以，，所以抛物线方程为；（2）证明：设直线：，由可得，则，解得，则，解得，不妨令直线：，直线：，则，，设，，设直线：，由可得，由，可得或（舍），则，直线：．由解得即，故为定值．辽宁沈阳市重点联合体2024-2025学年高二上学期期末检测数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知椭圆的左顶点为，上顶点为，则（）A. B.1 C.2 D.【答案】D【解析】由椭圆，可得，则，，所以有．故选：D.2.展开式中的常数项为（）A. B. C.20 D.10【答案】B【解析】因展开式的通项为：，使，解得，故展开式的常数项为．故选：B.3.已知双曲线的离心率为，则实数的值为（）A.1 B.2 C. D.【答案】A【解析】由双曲线的方程可知其焦点在轴上，，因，，，，则，解得，符合题意．故选：A.4.已知，，，若，，共面，则为（）A. B.3 C. D.9【答案】C【解析】因，，共面，可设（），即，，解得．故选：C.5.已知圆与圆外切，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由圆与圆外切，可得，即，．故选：C.6.小武是1993年12月18日出生的，他设置家里的电子门锁的时候打算用他的出生年、月、日中的8个数字进行排列得到一个8位数的密码，那么小武同学可以设置的不同密码的个数为（）A.2760 B.3180 C.3200 D.3360【答案】D【解析】先将这8个数字进行全排列，有种情况，而这8个数字中有三个1和两个9，可将这三个1和两个9看作是顺序固定的排列方法，所以一共可以组成个六位数，即可以设置的不同密码的个数为．故选：D．7.在长方体中，，，，点为的中点，则平面与平面所成的锐二面角的余弦值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】以为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，故，，设平面的一个法向量为，所以有，即，取故，平面的一个法向量为，，故平面与平面所成的锐二面角的余弦值为.故选：D.8.设椭圆的左焦点为，上下顶点分别为，，直线的斜率为，并交椭圆于另一点，则直线的斜率为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】，则，，即椭圆方程为，设，，，且，即，，.故选：C.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知直线，直线，若，则实数可能取值为（）A. B.0 C.1 D.2【答案】BC【解析】由，可得，解得或1．故选：BC.10.已知向量，，则（）A.B.C.向量的夹角的余弦值为D.若向量（为实数），则【答案】BC【解析】对于A，由，可知与不共线，故A错误；对于B，由，，可得，故B正确；对于C，因，故，故C正确；对于D，由且，可得，，故,故D错误．故选：BC.11.设为双曲线的右焦点，为坐标原点，以为直径的圆M与圆O：交于，两点，若，则下列选项正确的是（）A.曲线的离心率为B.圆心到双曲线的渐近线的距离为C.所在直线方程为D.直线被双曲线的渐近线截得的线段长为【答案】ACD【解析】依题意，以为直径的圆M：，与圆O：联立得，，故由知，垂直x轴，也是圆M的一条直径，过圆心，即，故，即，故A正确；由知，双曲线的渐近线为，圆心到双曲线的渐近线的距离为，故B错误；，垂直x轴，故所在直线方程为，故C正确；由代入双曲线的渐近线得，故截得的线段长为，故D正确.故选：ACD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.二项式的展开式的二项式系数和为256，则等于______．【答案】8【解析】依题意，解得．13.如图，平行六面体中，，，，，则的长为______．【答案】【解析】平行六面体中，，，，，如图，，则．．14.近年来，各地着力打造“美丽乡村”，彩色田野成为美丽乡村的特色风景，某乡村设计一块类似于赵爽弦图的巨型创意农田（如图所示），计划从黄、白、紫、黑、绿五种颜色的农作物选种几种种在图中区域，并且每个区域种且只种一种颜色的农作物，相邻区域所种的农作物颜色不同，则共有______种不同的种法．（用数字作答）【答案】【解析】区域有种选择，区域有种选择，区域有种选择.①若区域和区域所种的农作物颜色相同，则区域有种选择；②若区域和区域所种的农作物颜色不同，则区域有种选择，区域有种选择.综上所述，共有种不同的种法.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明，证明过程及演算步骤．15.某市教育局决定派出8名心理咨询专家（5男3女）到甲、乙学校进行心理问题调研．（1）每所学校均有4名专家参加调研，有多少种的安排方法？（2）每所学校至少有3人且必须有女专家参加调研，有多少种的安排方法？解：（1）由题知，每所学校均有4名专家参加调研的安排方法有种．（2）分三类：第一类，甲校有3人有种；全是男专家有种；全是女专家有种，则符合题意有；第二类，甲校4人有种，全是男专家有种；3女1男有种，则符合题意的有；第三类，甲校5人，有种；全是男专家有种；3女2男有种，则符合题意的有．故每所学校至少3人且必须有女专家共有150种．16.已知圆的方程为．（1）求实数的取值范围；（2）若圆与直线交于，两点，且，求的值．解：（1）方程可化为，此方程表示圆，，即，故实数的取值范围是；（2）由（1）可得圆心，半径，如图，过点作于点，则，圆心到直线的距离为，由图可得：，即，解得：．即的值为2.17.在的展开式中，求：（1）第3项的二项式系数及系数；（2）奇数项的二项式系数和；（3）求系数绝对值最大的项．解：（1）二项式的通项．第3项的二项式系数为，第3项的系数为；（2）奇数项的二项式系数和；（3）设系数绝对值最大的项为第项，当时，由，解得，又，所以，此时；当时，；当时，；综上可知，系数绝对值最大的项为．18.如图，在长方体中，，，．（1）证明：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值．（1）证明：由长方体可知，，两两垂直，以为坐标原点，向量，，分别为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系，有，，，，，，．因为，，，所以，，所以，，又因为，平面，所以平面；（2）解：设平面法向量为，由，，有取，，，可得平