第25讲 人造卫星 宇宙速度（解析版）

第第页第25讲人造卫星宇宙速度核心考点考点一卫星运行参量的分析 1考点二宇宙速度 3考点三天体的“追及”共线问题 4考点四绳(杆)连接物的关联速度 5考点一卫星运行参量的分析基础过关基础过关1.基本公式(1)线速度大小：由GMmr2＝mv2r得(2)角速度：由GMmr2＝mω2r得ω＝(3)周期：由GMmr2＝m(2πT)2r得T＝(4)向心加速度：由GMmr2＝man得an＝结论：同一中心天体的不同卫星，轨道半径r越大，v、ω、an越小，T越大，即越高越慢。2.“黄金代换式”的应用忽略中心天体自转影响，则有mg＝GMmR2，整理可得GM＝gR2。在引力常量G和中心天体质量M未知时，可用gR2替换3.人造卫星卫星运行的轨道平面一定通过地心，一般分为赤道轨道、极地轨道和其他轨道，同步卫星中的静止卫星的轨道是赤道轨道。(1)极地卫星运行时每圈都经过南北两极，由于地球自转，极地卫星可以实现全球覆盖。(2)同步卫星①静止卫星的轨道平面与赤道平面共面，且与地球自转的方向相同。②周期与地球自转周期相等，T＝24h。

③高度固定不变，h＝3.6×107m。④运行速率约为v＝3.1km/s。(3)近地卫星：轨道在地球表面附近的卫星，其轨道半径r＝R(地球半径)，运行速度等于第一宇宙速度v＝7.9km/s(人造地球卫星做匀速圆周运动的最大运行速度)。注意：近地卫星可能为极地卫星，也可能为赤道卫星。【例1】（2025·江苏扬州·模拟预测）2011年11月3日1时43分，中国自行研制的“神舟八号”飞船与“天宫一号”目标飞行器在距离地球343km的轨道上实现自动对接，为未来空间站建设迈出了关键一步。假如“神舟八号”与“天宫一号”的质量相等，对接前它们环绕地球分别做匀速圆周运动的运行轨道如右图所示，则以下说法中正确的是（）A．对接前的向心加速度，“天宫一号”比“神舟八号”大B．对接前的运行周期，“天宫一号”比“神舟八号”小C．对接前的机械能，“天宫一号”比“神舟八号”小D．“神舟八号”需先点火加速才有可能与“天宫一号”实现对接【答案】D【详解】A．根据万有引力提供向心力有可知，半径越大向心加速度越小，故A错误；B．根据万有引力提供向心力有可知，半径越大周期越大，故B错误；C．向更高轨道发射相同质量的卫星，轨道越高克服地球做功越多，卫星的机械能越大，因为天宫一号轨道高度大，故其机械能大于神舟八号飞船的机械能，故C错误；D．神舟八号轨道半径比天宫一号低，在轨道上点火加速，使神舟八号做离心运动而抬升轨道完成与天宫一号对接，故D正确。故选D。【例2】（2025届湖北省襄阳随州八校联考高三下学期三模物理试题）天舟八号货运飞船入轨后顺利完成状态设置，于北京时间2024年11月16日2时32分，成功对接于空间站天和核心舱后向端口。对接后的“结合体”仍在空间站原轨道运行。对接前“天宫空间站”与“天舟八号”的轨道如图所示，则（）A．对接前，“天宫空间站”的线速度大于“天舟八号”的线速度B．为实现对接，“天舟八号”需要太空刹车，减速与“天宫空间站”对接C．对接前，“天宫空间站”的向心加速度小于“天舟八号”的向心加速度D．对接后，“结合体”绕地球公转周期小于对接前“天宫空间站”的公转周期【答案】C【详解】ACD．“天舟八号”与“天宫空间站”对接前绕地球做匀速圆周运动，万有引力提供向心力有解得“天舟八号”的轨道半径小于“天宫空间站”的轨道半径，则“天宫空间站”的线速度小于“天舟八号”的线速度，“天宫空间站”的向心加速度小于“天舟八号”的向心加速度，对接后“结合体”绕地球公转周期等于对接前“天宫空间站”的公转周期，故AD错误，C正确；B．“天舟八号”需要经过点火加速才能从低轨道变轨进入高轨道，实现对接，故B错误。故选C。【例3】（2025·山西·模拟预测）我国计划于2026年发射嫦娥七号，主要任务是前往月球南极寻找水冰存在的证据．未来，嫦娥七号发射后到达月球引力范围，先进入环月圆轨道1，在该轨道上运行的线速度大小为、周期为；变轨后进入环月圆轨道2，在该轨道上运行的线速度大小为、周期为，则下列关系正确的是（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】万有引力提供向心力，则又解得则故选C。【例4】（24-25高一下·四川凉山·期中）2024年6月25日，嫦娥六号返回器准确着陆于内蒙古四子王旗预定区域，标志着探月工程嫦娥六号任务取得圆满成功，成功实现世界首次月球背面采样返回。嫦娥六号采样返回地球，需要经过月面起飞、环月飞行、月地转移等过程。下列说法正确的是（）A．发射嫦娥六号的速度大于第二宇宙速度B．飞船在轨道1上运动的周期小于在轨道3上运动的周期C．飞船在轨道1上经过A点时的速度大于在轨道2上经过A点时的速度D．载有月壤样本的返回器在变轨进入月地转移轨道时需要点火减速【答案】B【详解】A．嫦娥六号没有脱离地球的引力范围，则发射嫦娥六号的速度小于第二宇宙速度，选项A错误；B．根据开普勒第三定律可知，飞船在轨道1上运动的半长轴小于在轨道3上运动的半长轴，可知飞船在轨道1上运动的周期小于在轨道3上运动的周期，选项B正确；C．飞船从轨道1进入轨道2要在A点加速，可知飞船在轨道1上经过A点时的速度小于在轨道2上经过A点时的速度，选项C错误；D．载有月壤样本的返回器在变轨进入月地转移轨道时需要点火加速做离心运动，选项D错误。故选B。【例5】（2025·浙江绍兴·二模）将于近期择机发射的“天问二号”探测器计划对小行星2016HO3进行伴飞、采样并返回。2016HO3是一颗直径约40-100米的近地小行星，距离地球最近约1400万公里，最远约4000多万公里，因其运行周期与地球高度同步，被称为“地球准卫星”。如图所示，地球绕太阳公转可视作圆轨道，小行星2016HO3绕太阳运行轨道为椭圆，它的近日点位于地球圆轨道内侧。下列说法正确的是（）A．探测器的发射速度大于第三宇宙速度B．探测器在采样时能实时接收地面控制中心的指令C．小行星在近日点的速度大于地球做圆周运动的速度D．小行星在远离太阳过程中引力做负功，机械能不断减小【答案】C【详解】A．探测器未能脱离太阳系飞出去，所以探测器的发射速度小于第三宇宙速度，故A错误；B．即使在最近约1400 万公里处，电磁信号往返也会有数十秒以上的延迟，无法实现“实时”操控，故B错误；C．小行星近日点比地球轨道更靠近太阳，根据开普勒定律，“行星越靠近太阳，线速度越大”，因此其近日点处速率比地球公转速率大，故C正确；D．太阳引力是保守力，小行星在椭圆轨道上机械能守恒，不随小行星远离太阳而不断减小，故D错误。故选C。精讲考点精讲考点1．地球静止卫星的特点相对于地面静止且与地球自转具有相同周期的卫星叫地球静止卫星。静止卫星有以下“七个一定”的特点：(1)轨道平面一定：轨道平面与赤道平面共面。(2)周期一定：与地球自转周期相同，即T＝24h。(3)角速度一定：与地球自转的角速度相同。(4)高度一定：由Geq\f(Mm,R＋h2)＝meq\f(4π2,T2)(R＋h)得地球静止卫星离地面的高度h＝eq\r(3,\f(GMT2,4π2))－R≈3.6×107m。(5)速率一定：v＝eq\r(\f(GM,R＋h))≈3.1×103m/s。(6)向心加速度一定：由Geq\f(Mm,R＋h2)＝man得an＝eq\f(GM,R＋h2)＝gh＝0.23m/s2，即静止卫星的向心加速度等于轨道处的重力加速度。(7)绕行方向一定：运行方向与地球自转方向一致。2．赤道上的物体、近地卫星和静止卫星做圆周运动的异同点 比较内容赤道上的物体近地卫星静止卫星向心力来源万有引力的分力万有引力向心力方向指向地心重力与万有引力的关系重力略小于万有引力重力等于万有引力轨道半径地球半径R地球半径R地球半径R与卫星离地面高度h之和周期T1＝24hT2＝85minT3＝24h角速度ω1＝ω自ω2＝eq\r(\f(GM,R3))ω3＝ω自＝eq\r(\f(GM,R＋h3))ω1＝ω3<ω2线速度v1＝ω1Rv2＝eq\r(\f(GM,R))v3＝ω3(R＋h)＝eq\r(\f(GM,R＋h))v1<v3<v2(v2为第一宇宙速度)向心加速度a1＝ωeq\o\al(2,1)Ra2＝ωeq\o\al(2,2)R＝eq\f(GM,R2)a3＝ωeq\o\al(2,3)(R＋h)＝eq\f(GM,R＋h2)a1<a3<a2考点二宇宙速度基础过关基础过关1.三个宇宙速度第一宇宙速度(环绕速度)v1＝7.9km/s，是人造地球卫星的最小发射速度，这也是地球卫星的最大环绕速度第二宇宙速度v2＝11.2km/s，是物体挣脱地球引力束缚的最小发射速度第三宇宙速度v3＝16.7km/s，是物体挣脱太阳引力束缚的最小发射速度【例6】（24-25高一下·安徽·阶段练习）中国天宫空间站运行轨道高度距地球表面约400千米，而地球静止卫星离地高度约为36000千米。如图所示，a为静止在地球赤道上的物体，b为天宫空间站，c为地球静止卫星，则下列说法正确的是（）A．线速度的大小关系为B．在相等时间内，b、c与地心的连线扫过的面积相等C．地球对a的引力大于a绕地轴做圆周运动所需的向心力D．地球静止卫星c的发射速度大于【答案】AC【详解】A．a和c角速度和周期相同，根据可知对b和c，万有引力提供向心力可得可知线速度的大小关系为联立得，，故A错误；B．根据开普勒第二定律知同一个行星在相等的时间内，与地心连线扫过的面积相等，但不同天体在相等时间内与地心连线扫过的面积不相等，故B错误；C．对a受力分析，根据牛顿第二定律，有，故C正确；D．地球静止卫星的发射速度应在之间，大于会脱离地球的引力束缚逃逸出去，故D错误。故选AC。【例7】（24-25高一下·山东潍坊·期中）如图所示，两颗卫星绕某行星做圆周运动。已知行星的半径为R，卫星1运行的周期为T0，卫星1和卫星2到行星中心的距离分别为2R、8R。下列判断正确的是（）A．卫星1线速度大小为B．卫星2线速度大小为C．行星的第一宇宙速度为D．行星表面的重力加速度为【答案】AD【详解】A．卫星1线速度大小为，故A正确；B．设卫星2的周期为T，根据开普勒第三定律有解得卫星2线速度大小为，故B错误；C．根据万有引力提供向心力有解得设行星的第一宇宙速度为v0，则即，故C错误；D．行星表面的重力加速度就等于行星的近地卫星的向心加速度，即，故D正确。故选AD。【例8】（24-25高一下·四川遂宁·期中）小明同学在地面上用弹簧测力计测得质量为的物体的重力为，该同学上网查得地球的半径为，万有引力常量为，地球同步通讯卫星的轨道离地面的高度为。试求：(1)地球的质量；(2)地球的第一宇宙速度；(3)地球的自转周期。【答案】(1)(2)(3)【详解】（1）由和可解得（2）根据解得（3）对同步卫星解得可知地球自转周期为【例9】（24-25高一下·四川遂宁·期中）已知某天体的第一宇宙速度为，则高度为该天体半径四分之一的宇宙飞船绕该天体做匀速圆周运动的运行速度大小为（）A． B． C． D．【答案】B【详解】根据解得宇宙飞船的速度与第一宇宙速度之比解得故选B。【例10】（24-25高一下·江苏南京·期中）我国发射的“天问一号”火星探测器着陆火星表面。假设“天问一号”着陆前曾绕火星做匀速圆周运动，其周期为T，轨道半径为r。已知火星的半径为R，引力常量为G，不考虑火星自转的影响。求：(1)火星的质量M；(2)火星的第一宇宙速度大小v．【答案】(1)(2)【详解】（1）由万有引力提供向心力，根据牛顿第二定律可得解得（2）探测器在火星表面飞行时万有引力提供向心力，由牛顿第二定律可得

联立解得精讲考点精讲考点宇宙速度与运动轨迹的关系1.v发＝7.9km/s时，卫星绕地球表面做匀速圆周运动。2.7.9km/s<v发<11.2km/s时，卫星绕地球运动的轨迹为椭圆。3.11.2km/s≤v发<16.7km/s时，卫星绕太阳运动的轨迹为椭圆。4.v发≥16.7km/s时，卫星将挣脱太阳引力的束缚，飞到太阳系以外的空间。考点三天体的“追及”共线问题基础过关基础过关天体“追及”问题的处理方法1.相距最近：两同心转动的卫星(rA<rB)同向转动时，位于同一直径上且在圆心的同侧时，相距最近。从相距最近到再次相距最近，两卫星的运动关系满足：(ωA－ωB)t＝2π或tTA2.相距最远：两同心转动的卫星(rA<rB)同向转动时，位于同一直径上且在圆心的异侧时，相距最远。从相距最近到第一次相距最远，两卫星的运动关系满足：(ωA－ωB)t'＝π或t'T3.若两同心转动的卫星初始位置不在同一直径上时，找两卫星的运动关系时需注意初始时刻两卫星与地心连线之间的夹角。【例11】（2025·山东德州·三模）《诗经·大东》中写道：“东有启明，西有长庚”，这里指的是“金星”在清晨出现时称为“启明”，在傍晚出现时称为“长庚”。已知地球绕太阳公转的周期为T，金星绕太阳公转的周期为0.6T，下列说法正确的是（）A．地球与金星的动能之比为B．地球与金星每隔1.5T会相距最近一次C．地球与金星的公转轨道半径之比为D．地球与金星表面的重力加速度大小之比为【答案】B【详解】A．根据，地球与金星的质量之比未知，无法求出动能之比，A错误；B．根据题意得，解得，地球与金星每隔1.5T会相距最近一次，B正确；C．根据开普勒第三定律得，解得地球与金星的公转轨道半径之比为，C错误；D．根据，地球与金星的质量比未知，半径比未知，无法求出表面的重力加速度大小之比，D错误。故选B。【例12】（2025·河南·三模）2025年2月28日，太阳系的七大行星上演“七星连珠”的天文现象。已知太阳系的八大行星基本运行在同一平面上，地球绕太阳运行的公转轨道半径是火星公转轨道半径的倍，则火星与地球相邻两次相距最近大约需要（）A．1.2年 B．1.8年 C．2.2年 D．3.7年【答案】C【详解】根据开普勒第三定律可得解得设经过t时间火星与地球相距最近，则有整理可得故选C。【例13】（2025·山东聊城·二模）如图所示，某卫星绕地心做匀速圆周运动，运行的轨道与地球赤道不共面，其周期为地球自转周期T的。地球的质量为M，半径为R，引力常量为G。t0时刻，卫星恰好经过地球赤道上P点正上方。下列说法正确的是（）A．卫星距地面的高度为B．位于P点处的物体随地球自转的向心加速度大于卫星的向心加速度C．每次经最短时间实现卫星距P点最近到最远的行程，卫星绕地心转过的角度比地球的多πD．每次经最短时间实现卫星距P点最近到最远的行程，卫星绕地心转过的角度比地球的多3π【答案】AD【详解】A．根据万有引力提供向心