9.2.4总体离散程度的估计 教案

第九章统计9.2.4用样本估计总体总体离散程度的估计

一、教学目标1.熟悉极差、方差、标准差的计算公式，并理解极差、方差、标准差等离散程度参数的统计意义．2.会求解极差、方差、标准差，并会用平均数、中位数、众数和极差、方差、标准差对数据进行比较、分析和评价．3.掌握用样本的离散程度参数估计总体的离散程度的方法，体会样本估计总体的思想，发展数据分析素养.

二、教学重难点重点：极差、方差、标准差等离散程度参数的统计意义的理解和计算，应用平均数、中位数、众数和极差、方差、标准差对数据进行分析．难点：已知每组数据个数、平均数和方差，获得各组数据合并后全部数据的方法的计算方法，及计算中的递推思想．

三、教学过程（一）创设情境假设你是一名质量控制分析师，工作于一个生产陶瓷餐具的公司。公司最近推出了一款新的餐盘系列，并希望确保它们在生产过程中的尺寸保持一致性，因为每个餐盘直径越接近，则餐盘的整体美观和功能性更好，你被要求分析餐盘直径的数据集，并确定生产过程是否一致.那么，如何刻画餐盘直径的离散程度呢？设计意图：通过案例，给出生活中应用方差解决实际问题的例子，培养学生的学习兴趣，让学生从生活中去感知数学.（二）探究新知任务1：回忆和巩固方差的概念和统计意义.例：有两位射击运动员在一次射击测试中各射靶10次，每次命中的环数如下：甲78795491074乙9578768677想一想：如果你是教练，你如何对两位运动员的射击情况作出评价？如果这是一次选拔性考核，你应当如何作出选择？师生活动：学生提出评价标准，教师利用电子表格软件进行计算.预设答案：学生可能先提出比较甲和乙10次射击的平均数、中位数和众数（通过计算会发现甲、乙两名运动员射击成绩的平均数、中位数和众数均为7）.次数12345678910平均数中位数众数甲78795491074777乙9578768677777在发现甲、乙两名运动员射击成绩的平均数、中位数和众数均为7后，知道从集中位置的角度看，两名运动员之间没有差别.结合初中知识，可能想到用方差进行比较.方差的定义：假设一组数据是x1，x2，···，xn1为这组数据的方差.因为1===所以有时为了计算方差方便，也用上述表达式计算方差.方差刻画了数据的离散程度或波动程度，方差越大，数据的离散程度越大；方差越小，数据的离散程度越小.如果有学生回答用最大值或最小值，那么可以引导学生考虑成绩的稳定性.思考：两名运动员射靶环数的方差分别是多少？为什么可以运用方差分析两个运动员的射击成绩？预设答案：根据方差公式s2=1ni=1n(x设计意图：通过案例，帮助学生回忆方差的概念和统计意义，并掌握应用方差刻画一组数据的离散程度.任务2：探究其他刻画一组数据的离散程度的统计量.思考：除了方差，你还能想到其他刻画一组数据的离散程度的统计量？师生活动：学生思考、讨论并分享，教师引导学生解释这些量的合理性.预设答案：（1）极差.极差是数据的最大值与最小值的差，即xmax评价：极差是一种简单的度量数据离散程度的方法.但因为极差只用到了数据中的最大值和最小值，对其他数据没有涉及，所以极差包含的信息量很少.平均偏差.平均偏差是每个数据与其平均数的差的绝对值的平均数，假设一组数据是x1，x2，···，xn，用|为这组数据的平均偏差.评价：平均偏差与方差产生的思想一样，都是运用平均距离刻画数据的离散程度.但平均偏差计算公式中含绝对值，计算不方便.设计意图：让学生主动探索多个统计量刻画数据的离散程度，并认识到每个统计量的优缺点.任务3：探究标准差的概念和统计意义.思考：任务1中计算的两名运动员的方差，其单位是什么？是否与原始数据的单位一致呢？如果不一致，又可以用什么来刻画一组数据的离散程度呢？预设答案：方差的单位是原始数据单位的平方.，与原始数据的单位不一致.如果对方差求算术平方根，则单位和原始数据的单位一致.因此用方差的算术平方根，即1我们称之为这组数据的标准差，来刻画一组数据的离散程度.标准差刻画了数据的离散程度或波动程度，标准差越大，数据的离散程度越大；标准差越小，数据的离散程度越小.显然，在刻画数据的分散程度上，方差和标准差是一样的.但在解决实际问题中，一般多采用标准差.如果总体中所有个体的变量值分别为Y1，Y2，···，YNS为总体方差，S为总体标准差.与总体均值类似，总体方差也可以写成加权的形式.如果总体的N个变量值中，不同的值共有k（k≤N）个，不妨记为Y1，Y2，···，Yk，其中Yi出现的频数为fi（i=1，2S追问：方差和标准差的取值范围是什么？如果方差和标准差为0，这组数据有什么特征？预设答案：方差和标准差的取值范围为[0,+∞).标准差和方差为0时，样本各数据全相等，都等于样本的平均数，表明数据没有波动幅度，数据没有离散性.设计意图：巩固对方差和标准差的理解.任务4：探究分层随机抽样样本方差的计算，并估计总体的方差.在实际问题中，如果能获得总体中所有个体的观测值，可以用方差的公式直接计算总体的方差.比如，要了解某中学教师年工资差别，可以直接从学校财务出获得所有教师的年工资收入数据，计算其方差即可判断.如果要了解某市中学生教师年工资的差别，获取所有教师的年工资数据就比较困难，可以用简单随机抽样或分层随机抽样方法抽取样本，取到样本中所有个体的年工资数据，然后计算其方差，该方差是样本的方差，利用样本估计总体的思想，可以用样本方差估计总体方差.思考：在对树人中学高一年级学生身高的调查中，采用样本量比例分配的分层随机抽样，如果不知道样本数据，只知道抽取了男生23人，样本的平均数和方差分别为170.6和12.59，抽取了女生27人，样本的平均数和方差分别为160.6和38.62.你能由这些数据计算出样本的方差吗？并对高一年级全体学生的身高方差作出估计吗？师生活动：教师引导学生明确题目的条件和结论，引导学生独立计算多组数据汇总后的方差.分析：把男生样本记为x1，x2，⋯，x23，其平均数记为x，方差记为sx2；把女生样本记为y1，y2，⋯，y27，其平均数记为y，方差记为sy2；把总样本数据的平均数记为z，方差记为s2．

根据方差的定义，总样本方差为

s2=150[i=123(xi−z)2+i=127(yj−z)2]

=150[i=1追问：比较总体样本方差与男生组及女生组的方差，你能发现什么？你能解释在估计全体学生平均身高时，按性别分层随机抽样的理由吗？师生活动：学生可以看到总样本方差既大于男生组的方差，也大于女生组的方差，教师解释相同样本量的条件下，总样本方差越小，样本均值估计总体均值效果越好.男、女生的均值相差越大，即两组差别越大，总样本方差比男、女生的方差均大得越多，分层随机抽样的效果越好.设计意图：引导学生对统计结果进行解释，进而更好地理解分层随机抽样的适用范围.思考：一般地，如果知道两组数据各自的数据个数、平均数和方差，如何计算全部数据的平均数和方差呢？师生活动：教师引导学生由具体例子进行一般化归纳.分析：一般地，如果已知第一组数据的个数是m，平均数和方差分别是x和sx2，第二组数据的个数是n，平均数和方差分别是y和z总样本方差为s如果两组数据的平均数相等，那么总样本均值与两组数据的均值相同，总样本方差计算公式中的(x−z)2设计意图：将总样本均值和总样本方差的计算公式在问题的推广到一般，让学生体会由具体到一般的思想.拓展：平均数反映数据的集中趋势，标准差刻画了数据离平均数的波动大小，那么将平均数和标准差综合在一起呢?如：课本9.2.1节中100户居民用户的月均用水量数据，可以计算出样本平均数x=8.79，样本标准差sx−s=2.59，xx−2s=−3.61，x如图可以发现，这100个数据中大部分落在区间[x−s，x+s]=[2.59，14.99]内，在区间通过平均数和标准差两个统计量，就可以得到大部分数据的取值范围.方差越大，则这个区间越大；方差越小，则这个区间也越小.设计意图：让学生认识到利用平均数和标准差也可以部分反映数据的取值规律.（三）应用举例例1小明和小红5次考试数学成绩统计如表：姓名第一次第二次第三次第四次第五次小明107111110109113小红99110111108112则成绩较为稳定的那个同学成绩的方差为(

)A.110 B.108 C.22 D.4提示：根据已知条件，结合平均数x=1n(解：观察两组数据可知，小明的成绩较稳定，

小明成绩的平均数x−=15×(107+111+110+109+113)=110，

小明成绩的方差s例2现有A，B两组数据，其中A组有4个数据，平均数为2，方差为6，B组有6个数据，平均数为7，方差为1.若将这两组数据混合成一组，则新的一组数据的方差为

．提示：根据题意，由分层随机抽样的样本平均数的计算公式z和方差的计算公式s2=解：

A组有4个数据，平均数为2，方差为6，B组有6个数据，平均数为7，方差为1，

则两组数据混合后，新数据的平均数x=4×2+6×74+6=5，

新数据的方差s2=例3有一组样本数据x1，x2，…，xn，由这组数据得到新样本数据y1，y2，…，yn，其中yA.两组样本数据的样本平均数相同 B.两组样本数据的样本中位数相同

C.两组样本数据的样本标准差相同 D.两组样本数据的样本极差相同解：对于A，∵x=1ni=1nxi，

y=1ni=1n(xi+c)=1ni=1nxi+c=x+c，

∴A错；

对于B，设第一组中位数为xk，

则第二组中位数为yk=xk+c，

∴B错；

对于C，∵第一组标准差s=1ni=1n(xi−x)2，

第二组标准差【反思感悟】设一组样本数据x1，x2，…，xn，其方差为s由这组数据得到新样本数据x1+c，x2+c，…，xn+c，其中由这组数据得到新样本数据mx1，mx2，…，mxn，，其中m为非零常数，则该组数据的方差为m由这组数据得到新样本数据mx1+c，mx2+c，…，mxn例4在一组样本数据中，1，2，3，4出现的频率分别为p1，p2，p3，p4，且i=14A.，==0.1，==0.4 B.==0.4，==0.1

C.，==0.2，==0.3 D.==0.3，==0.2提示：根据方差的加权公式s2解：A中，平均数为1×0.1+2×0.4+3×0.4+4×0.1=2.5，标准差为(1−2.5同理可得B中，平均数为2.5，标准差为1.85，

C中，平均数为2.5，标准差为1.05，

D中，平均数为2.5，标准差为1.45，

故选设计意图：通过例题，熟悉极差、方差和标准差的公式，并增强对极差、方差和标准差及其统计意义的理解，掌握分层随机抽样样本方差的计算．（四）课堂练习1.为评估一种农作物的种植效果，选了n块地作试验田．这n块地的亩产量(单位：kg)分别为x1，x2，…，xn，下面给出的指标中可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度的是A.x1，x2，…，xn的平均数 B.x1，x2，…，xn的标准差

C.x1，x2，…，xn的最大值 解：评估这种农作物亩产量稳定程度的指标是标准差或方差

故选B．2.已知一组数据4.7，4.8，5.1，5.4，5.5，则该组数据的方差是

．解：∵数据4.7，4.8，5.1，5.4，5.5的平均数为：

x=15×(4.7+4.8+5.1+5.4+5.5)=5.1，

∴该组数据的方差：

S2已知一组样本数据x1，x2，…，x10，且x12+x解：一组样本数据x1，x2，…，x10，且x12+x22+…+x102=2020，平均数x−=9，

4.

若样本数据x1,x2,⋯,x10的标准差为8，则数据A.8 B.15 C.16 D.32解：设样本数据x1,x2,⋯,x10的标准差为D(X)，则