反证法考试题及答案

反证法考试题及答案

单项选择题（每题2分，共10题）1.用反证法证明命题“三角形内角中至少有一个大于60°”时，反设正确的是（）A.假设三内角都大于60°B.假设三内角都不大于60°C.假设三内角至多有一个大于60°D.假设三内角至多有两个大于60°2.用反证法证明“若a+b+c＞3，则a，b，c中至少有一个大于1”时，应假设（）A.a，b，c都大于1B.a，b，c都不大于1C.a，b，c中至多有一个大于1D.a，b，c中至多有两个大于13.用反证法证明命题“若整系数一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）有有理根，那么a，b，c中至少有一个是偶数”时，下列假设正确的是（）A.假设a，b，c都是偶数B.假设a，b，c都不是偶数C.假设a，b，c至多有一个是偶数D.假设a，b，c至多有两个是偶数4.用反证法证明“自然数a，b，c中恰有一个偶数”时，正确的反设为（）A.a，b，c都是偶数B.a，b，c都是奇数C.a，b，c中至少有两个偶数D.a，b，c中都是奇数或至少有两个偶数5.用反证法证明命题“若直线AB、CD是异面直线，则直线AC、BD也是异面直线”的过程归纳为以下三个步骤：①则A、B、C、D四点共面，所以AB、CD共面，这与AB、CD是异面直线矛盾；②所以假设错误，即直线AC、BD也是异面直线；③假设直线AC、BD是共面直线。则正确的序号顺序为（）A.①②③B.③①②C.①③②D.②③①6.用反证法证明命题“设a，b为实数，则方程x³+ax+b=0至少有一个实根”时，要做的假设是（）A.方程x³+ax+b=0没有实根B.方程x³+ax+b=0至多有一个实根C.方程x³+ax+b=0至多有两个实根D.方程x³+ax+b=0恰好有两个实根7.用反证法证明命题“三角形的内角至多有一个钝角”时，假设正确的是（）A.假设至少有一个钝角B.假设至少有两个钝角C.假设没有一个钝角D.假设没有一个钝角或至少有两个钝角8.用反证法证明命题“a，b∈N，ab可被5整除，那么a，b中至少有一个能被5整除”时，假设的内容应为（）A.a和b都能被5整除B.a和b都不能被5整除C.a和b不都能被5整除D.a不能被5整除9.用反证法证明命题“一个三角形中不能有两个直角”的过程归纳为以下三个步骤：①∠A+∠B+∠C=90°+90°+∠C＞180°，这与三角形内角和为180°相矛盾，∠A=∠B=90°不成立；②所以一个三角形中不能有两个直角；③假设三角形的三个内角∠A、∠B、∠C中有两个直角，不妨设∠A=∠B=90°。正确顺序的序号为（）A.①②③B.③①②C.①③②D.②③①10.用反证法证明命题“若a²+b²=0，则a，b全为0（a，b∈R）”，其反设正确的是（）A.a，b至少有一个不为0B.a，b至少有一个为0C.a，b全不为0D.a，b中只有一个为0答案：1.B2.B3.B4.D5.B6.A7.B8.B9.B10.A多项选择题（每题2分，共10题）1.用反证法证明命题“若a²+b²=0，则a，b全为0”时，下列假设正确的是（）A.假设a，b至少有一个不为0B.假设a，b至多有一个不为0C.假设a，b不全为0D.假设a，b全不为02.用反证法证明命题“三角形的内角中至少有一个不大于60°”时，反设正确的是（）A.假设三内角都大于60°B.假设三内角都不大于60°C.假设三内角至多有一个大于60°D.假设三内角至多有两个大于60°3.用反证法证明命题“若x²-(a+b)x+ab≠0，则x≠a且x≠b”时，假设正确的是（）A.假设x=a且x=bB.假设x=a或x=bC.假设x=a且x≠bD.假设x≠a且x=b4.用反证法证明命题“若整数n的立方是偶数，则n也是偶数”时，假设正确的是（）A.假设n是奇数B.假设n是奇数且n³是偶数C.假设n是偶数D.假设n是偶数且n³是奇数5.用反证法证明命题“若函数f(x)在区间[a，b]上是增函数，那么方程f(x)=0在区间[a，b]上至多有一个实根”时，假设正确的是（）A.假设方程f(x)=0在区间[a，b]上至少有一个实根B.假设方程f(x)=0在区间[a，b]上有两个实根C.假设方程f(x)=0在区间[a，b]上有三个实根D.假设方程f(x)=0在区间[a，b]上有无数个实根6.用反证法证明命题“若a，b，c成等比数列，则b²≠ac”时，假设正确的是（）A.假设b²=acB.假设b²＞acC.假设b²＜acD.假设b²≥ac7.用反证法证明命题“若平面α∥平面β，直线a⊂α，直线b⊂β，则a，b是异面直线”时，假设正确的是（）A.假设a，b是共面直线B.假设a，b是平行直线C.假设a，b是相交直线D.假设a，b是异面直线8.用反证法证明命题“若a，b，c都是正数，则三个数a+1/b，b+1/c，c+1/a中至少有一个不小于2”时，假设正确的是（）A.假设a+1/b＜2，b+1/c＜2，c+1/a＜2B.假设a+1/b≤2，b+1/c≤2，c+1/a≤2C.假设a+1/b＞2，b+1/c＞2，c+1/a＞2D.假设a+1/b≥2，b+1/c≥2，c+1/a≥29.用反证法证明命题“若a，b，c都是奇数，则方程ax²+bx+c=0没有有理根”时，假设正确的是（）A.假设方程ax²+bx+c=0有有理根B.假设方程ax²+bx+c=0有整数根C.假设方程ax²+bx+c=0有分数根D.假设方程ax²+bx+c=0有非整数根10.用反证法证明命题“若a，b，c满足a²+b²=c²，则a，b，c不可能都是奇数”时，假设正确的是（）A.假设a，b，c都是奇数B.假设a，b，c中至少有一个奇数C.假设a，b，c中至多有一个奇数D.假设a，b，c中至多有两个奇数答案：1.AC2.A3.B4.A5.BCD6.A7.ABC8.A9.A10.A判断题（每题2分，共10题）1.用反证法证明命题时，“反设”不能作为推理的条件应用。（）2.反证法就是通过证明逆命题来证明原命题。（）3.用反证法证明“若a＞b＞0，则a²＞b²”时应假设a²≤b²。（）4.用反证法证明命题“若a+b+c＞3，则a，b,c中至少有一个大于1”时，假设a，b，c都不大于1。（）5.反证法的第一步是提出原命题的否定。（）6.用反证法证明“三角形的内角中至少有一个大于60°”时，假设三角形的内角都小于60°。（）7.用反证法证明命题“若a，b是整数，且ab能被5整除，那么a，b中至少有一个能被5整除”时，假设a，b都不能被5整除。（）8.用反证法证明命题“若a，b，c成等差数列，则2b=a+c”时，假设2b≠a+c。（）9.用反证法证明命题“若函数f(x)在区间[a，b]上单调递增，则方程f(x)=0在区间[a，b]上至多有一个实根”时，假设方程f(x)=0在区间[a，b]上至少有两个实根。（）10.用反证法证明命题“若a，b，c满足a²+b²=c²，则a，b，c不可能都是偶数”时，假设a，b，c都是偶数。（）答案：1.×2.×3.√4.√5.√6.×7.√8.√9.√10.×简答题（总4题，每题5分）1.简述反证法的步骤。先提出与命题结论相反的假设，然后依据假设进行推理，推出矛盾，从而证明原命题成立。2.用反证法证明“一个三角形中不能有两个直角”。假设三角形有两个直角，设∠A=∠B=90°，则∠A+∠B+∠C＞180°，与三角形内角和为180°矛盾，所以一个三角形中不能有两个直角。3.用反证法证明“若a＞b＞0，则√a＞√b”。假设√a≤√b，因为a＞b＞0，两边平方得a≤b，与已知矛盾，所以√a＞√b。4.用反证法证明“若a，b，c成等差数列，则2b=a+c”。假设2b≠a+c，这与等差数列的性质矛盾，所以若a，b，c成等差数列，则2b=a+c。讨论题（总4题，每题5分）1.讨论反证法在数学证明中的作用。反证法可通过假设与结论相悖的情况，推出矛盾来证明原命题，能解决一些直接证明困难的问题，拓宽证明思路，在数学各领域有广泛应用。2.举例说明哪些类型的命题适合用反证法证明。如证明唯一性命题，像两条相交直线只有一个交点；否定性命