（人教A版）必修第一册高一数学上册期末考点提升练习19 零点与方程的问题（解析版）

19零点与方程的问题【方法技巧与总结】1、函数在区间上的图象是一条连续不断的曲线，，且具有单调性，则函数在区间内只有一个零点.2、函数在区间上的图象是一条连续不断的曲线，函数在区间内有零点，且函数具有单调性，则3、零点个数的判断方法（1）直接法：直接求零点，令，如果能求出解，则有几个不同的解就有几个零点.（2）定理法：利用零点存在定理，函数的图象在区间上是连续不断的曲线，且，结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点.（3）数形结合法：①单个函数图象：利用图象交点的个数，画出函数的图象，函数的图象与轴交点的个数就是函数的零点个数；②两个函数图象：将函数拆成两个函数和的差，根据，则函数的零点个数就是函数和的图象的交点个数.4、判断函数零点所在区间（1）将区间端点代入函数求函数的值；（2）将所得函数值相乘，并进行符号判断；（3）若符号为正且在该区间内是递增或递减，则函数在该区间内无零点；若符号为负且函数图象连续，则函数在该区间内至少一个零点。5、已知函数零点个数，求参数取值范围的方法（1）直接法：利用零点存在的判定定理建立不等式；（2）数形结合法：转化为两个函数图象的交点问题，再结合图象求参数的取值范围；（3）分离参数法：分离参数后转化为求函数的值域问题．【题型归纳目录】题型一：零点存在性定理与根的分布题型二：零点个数问题题型三：零点关系题型四：零点大小与整数零点问题【典型例题】题型一：零点存在性定理与根的分布例1．函数的零点所在区间是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由在上单调递减，在上单调递增，所以函数在上单调递减，又，所以由零点存在定理可得函数在(3，4)之间存在零点，故选：C例2．方程的根所在的区间是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】令，显然单调递增，又因为，，由零点存在性定理可知：的零点所在区间为，所以的根所在区间为.故选：B例3．函数的零点所在区间为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因为与在定义域上单调递增，所以在定义域上单调递增，又，，，即，所以的零点位于内；故选：C变式1．已知实数，关于x的方程有两个实根，，且，则实数a，b，，的大小关系为（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】由，令，，则，所以，为与x轴交点横坐标，且，将向下移动1个单位得到，且与x轴交点横坐标且，所以.故选：C变式2．已知一元二次方程有两个实数根，，且，则m的值为（

）A．-4 B．-5 C．-6 D．-7【答案】A【解析】因为元二次方程有两个实数根，，且，令，则由题意可得，即解得，又，可得.故选：A.变式3．已知函数的零点至少有一个大于0，则实数的取值范围为（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】①当时，由，得，符合题意．②当时，由，得，此时，解得，符合题意；由，得，此时设的两根分别为，，且，若，则，，即，，符合题意，若，则，，即，，符合题意．综上，，即实数的取值范围为．故选：B变式4．已知函数在区间上存在零点，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】因为函数为一次函数，要使其在区间上存在零点，要保证其两端点分别在轴的两侧，所以即，解得或，故选项.变式5．函数在上存在零点，则实数a的取值范围是（

）A． B．或 C． D．或【答案】B【解析】令，因为，所以函数图象与轴有两个交点，因为函数在上存在零点，且函数图象连续，所以，或，所以，或，解得或故选：B变式6．已知定义在上的函数的图像连续不断，若存在常数，使得对于任意的实数恒成立，则称是“回旋函数”．若函数是“回旋函数”，且，则在上（

）A．至多有2022个零点 B．至多有1011个零点C．至少有2022个零点 D．至少有1011个零点【答案】D【解析】因为对任意的实数恒成立，令，得．若，则与异号，即，由零点存在定理得在上至少存在一个零点．由于，得到，进而，所以在区间，，…，内均至少有一个零点，所以在上至少有1011个零点．构造函数，满足对任意的实数恒成立，是“回旋函数”，在上恰好有1011个零点.若，则，此时在上至少有1012个零点．综上所述，在上至少有1011个零点，且可能有1011个零点，故C错误，D正确；可能零点各数个数至少1012，大于1011，故B错误；对于A,[解法一]取函数，满足，但在上处处是零点，故A错误.[解法二]构造函数，满足对任意的实数恒成立，是“回旋函数”，在上恰好有2023个零点，故A错误.故选：D．变式7．已知函数，，的零点分别为，，，以下说法正确的是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由题设，，，，所以问题可转化为直线与，，的图象的交点问题，函数图象如下．由图知．故选：A．变式8．方程的根，，则=___________【答案】2【解析】令，易知函数单调递增，且.所以的唯一零点所以方程的根，故.故答案为：2题型二：零点个数问题例4．已知函数，若在上单调递增，且有两个零点，则满足题意的一个实数的值可以为______．【答案】（答案不唯一）【解析】由于函数，若在上单调递增，则，故，由于，整理得，解得或，故满足的条件的取值范围为，故的值可以为：（答案不唯一）．故答案为：（答案不唯一）．例5．函数的零点个数为________．【答案】1【解析】解法一：令，可得方程，即，故原函数的零点个数即为函数与图象的交点个数．在同一平面直角坐标系中作出两个函数的大致图象（如图）．由图可知，函数与的图象只有一个交点，故函数只有一个零点，故答案为：1解法二：∵，，∴，又的图象在上是不间断的，∴在上必有零点，又在上是单调递增的，∴函数的零点有且只有一个，故答案为：1例6．已知函数定义城为，恒有，时；若函数有4个零点，则t的取值范围为______．【答案】【解析】设，则，则，设，则，则，则，则，函数图象如下：由，可得，或，由，可得，或，或，则仅有一根，又，，则，解之得，故答案为：.变式9．已知函数(1)求和的值(2)若函数，试讨论函数的零点个数.【解析】（1）因为，所以，，（2）根据题意零点的个数，即为的图象与直线交点的个数，函数的图象如图所示，由图象可知，当或时，的图象与直线有2个交点，即有2个零点，当时，的图象与直线有3个交点，即有3个零点，当时，的图象与直线有1个交点，即有1个零点，综上，当或时，有2个零点；当时，有3个零点；当时，有1个零点.变式10．已知函数是定义域为的偶函数，当时，.(1)求函数的解析式.(2)讨论直线与曲线的交点个数.【解析】（1）当时，.所以又因为为偶函数，所以所以，函数的解析式为.（2）画出的图像如上图所示，当时，二次函数开口向上，对称轴为，取得最小值，当时，直线与曲线无交点；当或时，直线与曲线有2个交点；当时，直线与曲线有3个交点；当时，直线与曲线有4个交点.变式11．已知“不小于的最小的整数”所确定的函数通常记为，例如：，则方程的正实数根的个数是（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．无数个【答案】B【解析】因为，作出函数的图象，（红色点表示不包括端点）其与直线的交点在轴右侧的个数即为正实根的个数，观察图象有，共2个交点，所以方程的正实数根的个数是2个.故选：B.变式12．定义在R上的函数满足，且当时，，若在区间上函数恰有4个不同的零点，则实数m的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因为定义在R上的函数满足，所以，即是周期为2的函数，由，可得，因为在区间上函数恰有4个不同的零点，所以函数与的图象在区间上有4个交点，作出函数与的大致图象，由图象可知，解得，即实数m的取值范围为.故选：D.变式13．已知函数，若函数有四个不同的零点，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】由得：或，因函数，由解得，因此函数有四个不同的零点，当且仅当方程有三个不同的根，函数在上递减，函数值集合为，在上递增，函数值集合为，函数在上递减，函数值集合为，在上递增，函数值集合为，在同一坐标系内作出直线与函数的图象，如图，方程有3个不同的根，当且仅当直线与函数的图象有3个公共点，观察图象知，当或，即或时，直线与函数的图象有3个公共点，所以实数的取值范围是.故选：A题型三：零点关系例7．已知函数有两个零点，，则有A． B． C． D．【解析】解：有两个零点，即与有两个交点由题意，分别画和的图象，发现在和有两个交点不妨设在里在里，那么在上有，即①在有②，①②相加有，即故选：．例8．已知函数有两个零点，，则有A． B． C． D．【解析】解：有两个零点，即与有两个交点由题意，分别画和的图象发现在和有两个交点不妨设在里，在里那么在上有即①在有②①②相加有，，即故选：．例9．设定义域为的函数，若关于的方程有三个不同的解，，，则的值是A．1 B．3 C．5 D．10【解析】解：令，做出的函数图象如下：由图象可知当时，有三解，当或时，有两解，当时，方程无解．关于的方程有三个不同的解，，，，当时，令解得，当时，令解得，当时，显然是的解．不妨设，则，，，．故选：．变式14．已知，，，，若函数的两个零点是，，则的最小值是A． B． C． D．【解析】解：函数的两个零点是，，的两个根是，，则．，，，，则原式，即的最小值是，故选：．变式15．已知定义在上的奇函数的图象关于直线对称，当时，，则方程在，内的所有根之和为A．12 B．6 C．4 D．2【解析】解：定义在上的奇函数的图象关于直线对称，，即，是以4为周期的周期函数，当时，，在，内的图象如右图：由方程得，作出函数的图象如图：则两个函数有4个交点，对应交点的横坐标分别关于和对称，则在，内的零点之和为：．故选：．变式16．设定义域为的函数，若关于的方程有5个不同的解，，，，，则．【解析】解：作出函数的图象，如图所示，令，由图象可知，当时，方程有3个根，当或时，方程有2个根，则方程，等价于，因为方程恰有5个不同的实数解，，，，，所以等价于方程有两个实数解，或，或，可得这5个根也关于直线对称，所以．故答案为：5．变式17．设定义域为的函数，若关于的方程有5个不同的实数解，则值为．【解析】解：作函数的图象如下，，关于的方程有5个不同的实数解，方程有2个不同的实数解1，，，，故，故答案为：．变式18．已知，，若关于的不等式的解集为，，，，则的取值范围为．【解析】解：依题意：、为方程的两个根，、为方程的两个根．设．令，则，则，，即，，解得（或，不合题意，舍去），故答案为：变式19．已知函数，若方程有两个不同的实根，，且满足，则实数的取值范围为．【解析】解：函数，作出函数的图象如图所示，当时，，当且仅当，即时取等号，故，又，当时，方程才有两个不同的实根，当时，有两个不同的实根，即有两个解，即有两个根，此时，不符合题意，当时，分别与，有交点，设，则，由，消去可得，，所以，因为，所以，解得或，又因为，所以，由图象可知，在上单调递减，又，所以，故实数的取值范围为．故答案为：．题型四：零点大小与整数零点问题例10．已知函数有两个零点，，则有A． B． C． D．【解析】解：有两个零点，即与有两个交点由题意，分别画和的图象，发现在和有两个交点不妨设在里在里，那么在上有，即①在有②，①②相加有，即故选：．例11．已知函数有两个零点，，则有A． B． C． D．【解析】解：有两个零点，即与有两个交点由题意，分别画和的图象，发现在和有两个交点不妨设在里，在里，那么在上有即①在有②，①②相加有，，即故选：．例12．设定义域为的函数，若关于的方程有三个不同的解，，，则的值是A．1 B．3 C．5 D．10【解析】解：令，做出的函数图象如下：由图象可知当时，有三解，当或时，有两解，当时，方程无解．关于的方程有三个不同的解，，，，当时，令解得，当时，令解得，当时，显然是的解．不妨设，则，，，．故选：．变式20．已知，，，，若函数的两个零点是，，则的最小值是A． B． C． D．【解析】解：函数的两个零点是，，的两个根是，，则．，，，，则原式，即的最小值是，故选：．变式21．已知定义在上的奇函数的图象关于直线对称，当时，，则方程在，内的所有根之和为A．12 B．6 C．4 D．2【解析】解：定义在上的奇函数的图象关于直线对称，，即，是以4为周期的周期函数，当时，，在，内的图象如右图：由方程得，作出函数的图象如图：则两个函数有4个交点，对应交点的横坐标分别关于和对称，则在，内的零点之和为：．故选：．变式22．设定义域为的函数，若关于的方程有5个不同的解，，，，，则．【解析】解：作出函数的图象，如图所示，令，由图象可知，当时，方程有3个根，当或时，方程有2个根，则方程，等价于，因为方程恰有5个不同的实数解，，，，，所以等价于方程有两个实数解，或，或，可得这5个根也关于直线对称，所以．故答案为：5．变式23．设定义域为的函数，若关于的方程有5个不同的实数解，则值为．【解析】解：作函数的图象如下，，关于的方程有5个不同的实数解，方程有2个不同的实数解1，，，，故，故答案为：．变式24．已知，，若关于的不等式的解集为，，，，则的取值范围为．【解析】解：依题意：、为方程的两个根，、为方程的两个根．设．令，则，则，，即，，解得（或，不合题意，舍去），故答案为：变式25．已知函数，若方程有两个不同的实根，，且满足，则实数的取值范围为．【解析】解：函数，作出函数的图象如图所示，当时，，当且仅当，即时取等号，故，又，当时，方程才有两个不同的实根，当时，有两个不同的实根，即有两个解，即有两个根，此时，不符合题意，当时，分别与，有交点，设，则，由，消去可得，，所以，因为，所以，解得或，又因为，所以，由图象可知，在上单调递减，又，所以，故实数的取值范围为．故答案为：．【过关测试】一、单选题1．已知函数，，若它们同时满足条件：①，或；②，，则的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】对于①，当时，成立，只需当时，恒成立即可，，解得：；对于②，当时，，则只需，即可；令，解得：，；由①得：，，，若，，则只需，解得：；综上所述：的取值范围为.故选：D.2．形如的函数，因其图象类似于汉字“囧”，故被称为“囧函数”，则下列说法中正确的个数为（

）①函数的定义域为；②；③函数的图象关于直线对称；④当时，；⑤方程有四个不同的根.A． B． C． D．【答案】B【解析】对于①，由得：，的定义域为，①错误；对于②，，，②正确；对于③，，，，不关于直线对称，③错误；对于④，当时，，此时；当时，，此时；综上所述：当时，，④正确；对于⑤，在平面直角坐标系中，作出与的图象如下图所示，由图象可知：与有四个不同交点，方程有四个不同的根，⑤正确.故选：B.3．设函数是定义在上的奇函数，对任意，都有，且当时，，若函数（且）在上恰有4个不同的零点，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】函数是定义在上的奇函数，当时，，当时，，所以，即当时，又对任意，都有，则关于对称，且，，即函数的周期为，又由函数且在上恰有个不同的零点，得函数与的图像在上有个不同的交点，又，当时，由图可得，解得；当时，由图可得，解得．综上可得.故选：C．4．已知函数和的定义域及值域均为，它们的图像如图所示，则函数的零点的个数为（

）A．2 B．3 C．5 D．6【答案】D【解析】由题意，知函数的零点，即方程根.令，，则.当时，满足方程的有2个，此时有4个不同的实数根；当时，满足方程的有1个，此时有2个不同的实数根.综上可知方程共有6个实数根，即函数共有6个零点.故选：D5．设函数的定义域为R，满足，且当时，．若对任意，都有，则m的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】当时，，则；当时，，则；当时，，则，……由此可得由此作出函数的图象，如图所示．由图可知当时，令，整理，得，解得或，将这两个值标注在图中．要使对任意都有，必有，即实数m的取值范围是.故选：B．6．已知函数（且）在上单调递减，若的图象与直线有两个交点，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因为（且）是上的单调递减函数，所以，即，所以，画出的大致图象和直线，如图所示．由图可知，在上的图象与直线有且仅有一个交点，故在上，的图象与直线同样有且仅有一个交点．联立与得，整理得，则此方程在上有且仅有一个解，设，当时，显然方程在上有且仅有一个解，所以；当时，此时方程在上无解；当时，要使方程在上有且仅有一个解，则且，此时方程组无解．综上所述，实数的取值范围为．故选：B．7．已知，不等式恒成立，实数取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】，，，即，令，若，，等价于，令，，，若，，即，①当，即时，不等式在上恒成立；②当，即或时，要使不等式在上恒成立，则有，解得，，综上所述，实数取值范围是.故选：A.8．已知函数（），．若，在上有三个零点，则a的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】①当时，因为，所以1为一个零点，又，因为，所以，所以，所以1为的一个零点．②当时，，，所以在上无零点．③当时，，在上无零点，所以．在上的零点个数是在上的零点个数，因为，．函数在上有两个零点，即函数在上有两个零点，所以，，又，即时，在上有两个零点；综上，a的取值范围为.故选：A.二、多选题9．表示不超过x的最大整数，定义函数，则下列结论正确的有（

）A．函数的值域为B．方程有无数个解C．函数在区间上单调递增D．若直线与函数的图象恰有三个不同的交点，则k的取值范围是【答案】BCD【解析】显然，所以所以，所以是周期为1的函数，当时，所以函数的值域为，故A错误，同时得C正确；因为是周期为1的函数，所以方程有无数个解，故B正确；作出函数的图象，作直线，直线，过点时，，过点时，，过点时，，过点时，，直线横过定点（－1，0），要使与恰有三个交点，由图可知，或，D正确.故选：BCD．10．已知函数，关于函数的结论正确的是（

）A． B．的最大值为C．有两个零点 D．的解集为【答案】ACD【解析】，，A正确；时，，时，是减函数，，所以无最大值，B错；时，满足题意，时，，，满足题意，C正确；时，由得，时，由，，综上的解为，D正确．故选：ACD．11．已知函数，设，，则（

）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则【答案】ABD【解析】作出函数的图象，如图示：当时，由于，可知，则，则，即，A正确；由于，则，即，B正确；当时，单调递增，当时，有，即，不符合C,D选项；当时，，由于，则，即，当时，递增，若，则即，当时，递减，若，则，即；若，则由，令，由于此时，则，由，可得，即，故C错误，D正确，故选：ABD12．已知，若，则（

）A． B．C． D．【答案】CD【解析】令，则二次函数的图象与轴的交点为，又，所以是由的图象向下平移一个单位长度，且的图象与轴的交点为，所以可知.故选：CD.13．已知函数，若方程有六个相异实根，则实数可能的取值为（

）A． B． C． D．【答案】BD【解析】的图像如图所示：则要使方程有六个相异实根即使在上有两个相异实根;则解得：.故选：BD.三、填空题14．已知是R上的增函数,若关于x的方程有且只有一个实根,则实数b的取值范围是__________．【答案】【解析】因为是上的增函数,所以,即即有且只有一个实根即函数与函数有且仅有一个交点.作出函数的图像.由图像可知当或时,函数与函数有且仅有一个交点.所以实数的取值范围是故答案为：15．若方程有四个不同的根，则的取值范围是_______．【答案】【解析】由于的图像是由的图像保留轴上方的图像的同时，将轴下方的图像关于轴向上翻折得到的图像，故由此作出函数的图像，如图，若方程有四个不同的根，则函数与有四个交点，因为，所以在上的最大值为，所以结合图像，可得，即.故答案为：．16．若，关于的一元二次方程