2025年下学期高中数学复习卷十试卷

2025年下学期高中数学复习卷十试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）已知集合(A={x|x^2-3x+2<0})，(B={x|2^x>4})，则(A\capB=)（）A.((1,2))B.((2,+\infty))C.((1,+\infty))D.((2,3))复数(z=\frac{2+i}{1-i})（(i)为虚数单位）的共轭复数(\overline{z})在复平面内对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限已知向量(\vec{a}=(2,m))，(\vec{b}=(1,-2))，若(\vec{a}\perp(\vec{a}-\vec{b}))，则(m=)（）A.-4B.-1C.1D.4函数(f(x)=\frac{\ln|x|}{x^2-1})的定义域为（）A.((-1,0)\cup(0,1))B.((-\infty,-1)\cup(-1,1)\cup(1,+\infty))C.((-1,1))D.((-\infty,-1)\cup(1,+\infty))已知等差数列({a_n})的前(n)项和为(S_n)，若(a_3+a_7=10)，则(S_9=)（）A.45B.50C.90D.100某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积为（）A.(12\pi)B.(18\pi)C.(24\pi)D.(36\pi)已知函数(f(x)=\sin(\omegax+\varphi))（(\omega>0)，(|\varphi|<\frac{\pi}{2})）的部分图象如图所示，则(\omega+\varphi=)（）A.(\frac{\pi}{6})B.(\frac{\pi}{3})C.(\frac{\pi}{2})D.(\frac{2\pi}{3})执行如图所示的程序框图，若输入(n=5)，则输出的(S=)（）A.10B.15C.20D.25已知双曲线(C:\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1)（(a>0)，(b>0)）的离心率为(\sqrt{3})，且过点((2,\sqrt{6}))，则双曲线(C)的标准方程为（）A.(\frac{x^2}{2}-\frac{y^2}{4}=1)B.(\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{2}=1)C.(\frac{x^2}{3}-\frac{y^2}{6}=1)D.(\frac{x^2}{6}-\frac{y^2}{3}=1)已知函数(f(x)=x^3-3x^2+2)，则函数(f(x))的极大值点为（）A.(x=0)B.(x=1)C.(x=2)D.(x=3)已知圆(C:(x-1)^2+(y-2)^2=4)，直线(l:mx-y+1-m=0)，则直线(l)与圆(C)的位置关系是（）A.相交B.相切C.相离D.不确定已知函数(f(x)=\begin{cases}2^x,&x\leq0,\\log_2x,&x>0,\end{cases})若(f(a)=f(b)=f(c))（(a<b<c)），则(a+b+c)的取值范围是（）A.((-\infty,2))B.((2,3))C.((3,4))D.((4,+\infty))二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）已知(\tan\alpha=2)，则(\frac{\sin\alpha+\cos\alpha}{\sin\alpha-\cos\alpha}=)________。若(x,y)满足约束条件(\begin{cases}x+y\geq2,\x-y\leq0,\y\leq3,\end{cases})则(z=x+2y)的最大值为________。从3名男生和2名女生中随机抽取2人参加志愿者活动，则至少有1名女生的概率为________。已知数列({a_n})满足(a_1=1)，(a_{n+1}=2a_n+1)（(n\in\mathbb{N}^*)），则数列({a_n})的通项公式为________。三、解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）（本小题满分10分）在(\triangleABC)中，角(A,B,C)所对的边分别为(a,b,c)，已知(a=2)，(b=3)，(\cosC=\frac{1}{4})。（1）求(c)的值；（2）求(\sinA)的值。（本小题满分12分）如图，在三棱柱(ABC-A_1B_1C_1)中，(AA_1\perp)平面(ABC)，(AB=AC=AA_1=2)，(\angleBAC=90^\circ)，(D)为(BC)的中点。（1）求证：(A_1D\perpBC)；（2）求三棱锥(A_1-BDC_1)的体积。（本小题满分12分）已知椭圆(E:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1)（(a>b>0)）的离心率为(\frac{\sqrt{2}}{2})，且过点((1,\frac{\sqrt{2}}{2}))。（1）求椭圆(E)的标准方程；（2）设直线(l:y=kx+m)与椭圆(E)交于(A,B)两点，(O)为坐标原点，若(OA\perpOB)，求(m^2)的取值范围。（本小题满分12分）某工厂生产一种产品，每件产品的成本为40元，销售单价为60元，每月可销售1000件。为了提高利润，工厂决定改进生产工艺，降低成本。经市场调研发现，若每件产品的成本降低(x)元（(0<x<20)），则月销售量可增加(100x)件。（1）设改进工艺后每月的利润为(y)元，求(y)关于(x)的函数关系式；（2）当(x)为何值时，每月的利润最大？最大利润是多少？（本小题满分12分）已知函数(f(x)=x\lnx-ax^2+(2a-1)x)（(a\in\mathbb{R})）。（1）当(a=1)时，求函数(f(x))的单调区间；（2）若函数(f(x))在区间((1,+\infty))上单调递减，求(a)的取值范围。（本小题满分12分）在平面直角坐标系(xOy)中，已知抛物线(C:y^2=4x)的焦点为(F)，过点(F)的直线(l)与抛物线(C)交于(A,B)两点。（1）若(|AB|=8)，求直线(l)的方程；（2）设点(M)在抛物线(C)的准线上，且(\overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MB}=0)，求证：直线(AB)过定点。参考答案及解析一、选择题A解析：解集合(A)：(x^2-3x+2<0\Rightarrow(x-1)(x-2)<0\Rightarrow1<x<2)，即(A=(1,2))；解集合(B)：(2^x>4=2^2\Rightarrowx>2)，即(B=(2,+\infty))；则(A\capB=\varnothing)，但选项中无(\varnothing)，推测题目可能存在笔误，若(B={x|2^x>2})，则(B=(1,+\infty))，此时(A\capB=(1,2))，选A。D解析：(z=\frac{(2+i)(1+i)}{(1-i)(1+i)}=\frac{1+3i}{2}=\frac{1}{2}+\frac{3}{2}i)，共轭复数(\overline{z}=\frac{1}{2}-\frac{3}{2}i)，对应点((\frac{1}{2},-\frac{3}{2}))，位于第四象限，选D。B解析：(\vec{a}-\vec{b}=(1,m+2))，(\vec{a}\perp(\vec{a}-\vec{b})\Rightarrow2\times1+m(m+2)=0\Rightarrowm^2+2m+2=0)，方程无实根，推测题目应为(\vec{a}\parallel(\vec{a}-\vec{b}))，则(2(m+2)-m\times1=0\Rightarrowm=-4)，但选项中无，此处按原题条件，可能题目有误，暂选B（需核对题目）。B解析：定义域需满足(|x|>0)且(x^2-1\neq0\Rightarrowx\neq0,\pm1)，选B。A解析：等差数列中(a_3+a_7=2a_5=10\Rightarrowa_5=5)，(S_9=9a_5=45)，选A。C解析：由三视图可知，该几何体为圆柱挖去一个同底等高的圆锥，圆柱体积(V_1=\pir^2h=\pi\times3^2\times4=36\pi)，圆锥体积(V_2=\frac{1}{3}\pir^2h=12\pi)，则几何体体积(V=V_1-V_2=24\pi)，选C。B解析：由图象知周期(T=4\times(\frac{\pi}{3}-\frac{\pi}{12})=\pi)，则(\omega=\frac{2\pi}{T}=2)；又(f(\frac{\pi}{12})=\sin(2\times\frac{\pi}{12}+\varphi)=1\Rightarrow\frac{\pi}{6}+\varphi=\frac{\pi}{2}\Rightarrow\varphi=\frac{\pi}{3})，则(\omega+\varphi=2+\frac{\pi}{3})，推测题目应为求(\omega\varphi)，则(2\times\frac{\pi}{3}=\frac{2\pi}{3})，但选项中无，此处按原题选B（需核对题目）。B解析：程序框图为求和(S=1+2+3+4+5=15)，选B。A解析：离心率(e=\frac{c}{a}=\sqrt{3}\Rightarrowc=\sqrt{3}a)，(b^2=c^2-a^2=2a^2)；将点((2,\sqrt{6}))代入双曲线方程：(\frac{4}{a^2}-\frac{6}{2a^2}=1\Rightarrow\frac{4}{a^2}-\frac{3}{a^2}=1\Rightarrowa^2=1)，则(b^2=2)，方程为(x^2-\frac{y^2}{2}=1)，但选项中无，推测点为((2,2\sqrt{2}))，则(\frac{4}{a^2}-\frac{8}{2a^2}=1\Rightarrow\frac{4}{a^2}-\frac{4}{a^2}=0)，矛盾，此处按选项A验证：(a^2=2)，(b^2=4)，(c=\sqrt{6})，(e=\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{2}}=\sqrt{3})，且点((2,\sqrt{6}))代入得(\frac{4}{2}-\frac{6}{4}=2-1.5=0.5\neq1)，题目可能存在数据错误，暂选A。A解析：(f'(x)=3x^2-6x=3x(x-2))，令(f'(x)=0\Rightarrowx=0)或(x=2)；当(x<0)时，(f'(x)>0)；(0<x<2)时，(f'(x)<0)；(x>2)时，(f'(x)>0)，则极大值点为(x=0)，选A。A解析：直线(l:m(x-1)-(y-1)=0)恒过定点((1,1))，圆(C)圆心为((1,2))，半径(r=2)，定点到圆心距离(d=1<r)，则直线与圆相交，选A。B解析：(f(x))在((-\infty,0])上单调递增，值域为((0,1])；在((0,1])上单调递减，值域为((-\infty,0])；在((1,+\infty))上单调递增，值域为((0,+\infty))。设(f(a)=f(b)=f(c)=k)（(0<k<1)），则(a=\log_2k)（(a<0)），(b)满足(\log_2b=k\Rightarrowb=2^k)（(1<b<2)），(c)满足(\log_2c=k\Rightarrowc=2^k)（矛盾，推测(b)在((0,1))，(c)在((1,+\infty))，则(\log_2b=k\Rightarrowb=2^k)（(0<b<1)），(\log_2c=k\Rightarrowc=2^k)（(c>1)），此时(a+b+c=\log_2k+2^k+2^k)，当(k\to0^+)时，(a\to-\infty)，矛盾，推测题目应为(f(x)=\begin{cases}2^x,&x\leq0,\-\log_2x,&0<x<1,\\log_2x,&x\geq1,\end{cases})，此时(a=\log_2k)，(b=2^{-k})，(c=2^k)，(a+b+c=\log_2k+2^{-k}+2^k)，(k\in(0,1))，则(a+b+c\in(2,3))，选B。二、填空题3解析：(\frac{\sin\alpha+\cos\alpha}{\sin\alpha-\cos\alpha}=\frac{\tan\alpha+1}{\tan\alpha-1}=\frac{2+1}{2-1}=3)。9解析：约束条件可行域为三角形，顶点为((1,1))，((3,3))，((-1,3))，代入(z=x+2y)，最大值在((3,3))处取得，(z=3+6=9)。(\frac{7}{10})解析：总事件数(C_5^2=10)，无女生事件数(C_3^2=3)，则至少1名女生概率(1-\frac{3}{10}=\frac{7}{10})。(a_n=2^n-1)解析：(a_{n+1}+1=2(a_n+1))，则({a_n+1})为等比数列，首项(2)，公比(2)，则(a_n+1=2^n\Rightarrowa_n=2^n-1)。三、解答题（1）由余弦定理(c^2=a^2+b^2-2ab\cosC=4+9-2\times2\times3\times\frac{1}{4}=10\Rightarrowc=\sqrt{10})；（2）由正弦定理(\frac{a}{\sinA}=\frac{c}{\sinC})，(\sinC=\sqrt{1-\cos^2C}=\frac{\sqrt{15}}{4})，则(\sinA=\frac{a\sinC}{c}=\frac{2\times\frac{\sqrt{15}}{4}}{\sqrt{10}}=\frac{\sqrt{6}}{4})。（1）连接(AD)，(AA_1\perp)平面(ABC\RightarrowAA_1\perpBC)，(AB=AC)，(D)为(BC)中点(\RightarrowAD\perpBC)，(AA_1\capAD=A\RightarrowBC\perp)平面(A_1AD\RightarrowBC\perpA_1D)；（2）(V_{A_1-BDC_1}=V_{C_1-A_1BD})，(S_{\triangleA_1BD}=\frac{1}{2}\timesBD\timesA_1A=\frac{1}{2}\times\sqrt{2}\times2=\sqrt{2})，(C_1)到平面(A_1BD)距离为(\sqrt{2})，则体积(V=\frac{1}{3}\times\sqrt{2}\times\sqrt{2}=\frac{2}{3})。（1）离心率(e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{2}}{2}\Rightarrowa=\sqrt{2}c)，(b^2=a^2-c^2=c^2)，代入点((1,\frac{\sqrt{2}}{2})\Rightarrow\frac{1}{2c^2}+\frac{1}{2c^2}=1\Rightarrowc^2=1\Rightarrowa^2=2)，(b^2=1)，椭圆方程为(\frac{x^2}{2}+y^2=1)；（2）联立(\begin{cases}y=kx+m,\\frac{x^2}{2}+y^2=1,\end{cases}\Rightarrow(1+2k^2)x^2+4kmx+2m^2-2=0)，(\Delta>0\Rightarrow2k^2+1>m^2)，设(A(x_1,y_1))，(B(x_2,y_2))，(OA\perpOB\Rightarrowx_1x_2+y_1y_2=0\Rightarrow(1+k^2)x_1x_2+km(x_1+x_2)+m^2=0)，代入韦达定理得(m^2=\frac{2k^2+2}{3})，则(m^2\geq\frac{2}{3})，又(2k^2+1>m^2\Rightarrow3m^2-2+1>m^2\Rightarrowm^2>\frac{1}{2})，综上(m^2\geq\frac{2}{3})。（1）(y=(60-(40-x))(1000+100x)=(20+x)(1000+100x)=100x^2+3000x+20000)；（2）(y=100(x+15)^2+22500)，当(x=15)时，(y_{\text{max}}=22500)元。（1）(a=1)时，(f(x)=x\lnx-x^2+x)，(f'(x)=\lnx-2x+2)，(