（人教A版）必修二高一数学下学期期末模拟卷（一）(解析版)

高一下册数学期末模拟卷一、选择题：1．已知复数z满足，且是纯虚数，则（

）A． B．i C． D．【答案】B【分析】设，根据已知得出，，且，求解即可得出答案.【详解】设，则.因为，所以；又，是纯虚数，所以，，且，即.又，所以，解得或（舍去）.所以，.故选：B.2．在5件产品中，有3件一级品和2件二级品，从中任取2件，下列事件中概率为的是（

）A．2件都是一级品 B．2件都是二级品C．一级品和二级品各1件 D．至少有1件二级品【答案】D【分析】利用列举法求得任取两件的样本点的总数，根据选项，结合古典摡型的概率计算公式和互斥事件的概率加法公式，逐项判定，即可求解.【详解】设，，分别表示3件一级品，，分别表示2件二级品,任取2件，则样本空间，共10个样本点，且每个样本点出现的可能性相等，记事件A表示“2件都是一级品”，包含3个样本点，则.记事件B表示“2件都是二级品”，包含1个样本点，则.记事件C表示“2件中1件一级品、1件二级品”，包含6个样本点，则.事件A，B，C两两互斥，所以，又由表示“至少有1件二级品”.故选：D.3．在中，，，则外接圆的半径为（

）A． B．1 C．2 D．3【答案】B【分析】利用正弦定理即可求解.【详解】设为外接圆的半径，则由正弦定理，得，解得．所以外接圆的半径为.故选:B．4．从某小学随机抽取100名同学，将他们的身高（单位：厘米）数据绘制成频率分布直方图（如图）.若要从身高在三组内的学生中，用分层抽样的方法选取18人参加一项活动，则从身高在内的学生中选取的人数应为（

）

A．3 B．4 C．5 D．6【答案】A【分析】利用小矩形的面积之和为，求出，再求出三组内的学生总数，根据抽样比即可求解.【详解】直方图中各个小矩形的面积之和为，，解得，由直方图可知三个区域内的学生总数为，其中身高在[140，150]内的学生人数为.故选：A5．《算数书》竹简于20世纪80年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的成系统的数学典籍，其中记载有求“困盖”的术：“置如其周，令相乘也．又以高乘之，三十六成一．”该术相当于给出了由圆锥的底面周长L与高h计算其体积V的近似公式．它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率近似取为3．那么，近似公式相当于将圆锥体积公式中的近似取为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由圆锥的体积公式结合题设公式得出的近似值.【详解】依题意，设圆锥的底面半径为r，则，解得．故选：A.6．已知向量满足，则在方向上的投影向量的模长的最大值为（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据数量即可求出的夹角，然后设，，由可得，，再由投影向量的定义求解即可.【详解】因为，设的夹角为，，解得：，因为，则，设，所以设，，因为，则，化简得：，所以在方向上的投影向量的模长为：，所以在方向上的投影向量的模长的最大值为：.故选：D.7．甲、乙两人进行乒乓球比赛，采用七局四胜制，先赢四局者获胜，没有平局、甲每局赢的概率为，已知前两局甲输了，则甲最后获胜的概率为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用独立事件同时发生的概率公式，即可求得甲最后获胜的频率.【详解】因为前两局甲都输了，所以甲需要连胜四局或第三局到第六局输1局且第七局胜，甲才能最后获胜，所以甲最后获胜的概率为.故选：C8．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，若点M满足，且∠MAB＝∠MBA，则△AMC的面积是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由正弦定理及诱导公式结合可得.由，结合可得，.后由∠MAB＝∠MBA，结合正弦定理，可得，即可得面积【详解】由正弦定理及诱导公式，可得：，化简得：，又，则.又，则，.因，则，，则在MAC中，，解之：.则，则MAC中，边对应高，则MAC面积．选择题：9．在一次歌手大赛上，七位评委为歌手打出的分数如下：9.4，8.4，9.4，9.9，9.6，9.4，9.7，去掉一个最高分和一个最低分后，则（）A．所剩数据的平均数是9.4B．所剩数据的平均数是9.5C．所剩数据的方差是0.016D．所剩数据的方差是0.04【答案】BC【分析】根据题意，由平均数以及方差的计算公式，代入计算，即可得到结果.【详解】根据题意可得，,方差为，故选:BC10．已知且，若，则下列说法正确的有（

）A．B．C．的最大值是4D．若，则在复平面内对应的点在第一象限【答案】ABC【分析】设复数，，，根据复数代数形式的乘法运算判断A，根据共轭复数的定义判断B，求出，再表示出，即可求出的最大值，从而判断C，若则，即可求出，根据复数的几何意义判断D.【详解】设复数，，，，①，所以，故A正确；，，又，即，所以，所以，则，，，所以，故B正确；因为，当时，取到最大值，故C正确；若，则，即，，所以，则，则在复平面内对应的点为，位于在第四象限，故D错误.故选：ABC．11．在直角梯形中，为中点，分别为线段的两个三等分点，点为线段上任意一点，若，则的值可能是（

）

A．1 B． C． D．3【答案】AB【分析】建立平面直角坐标系，设，用坐标表示出，再根据列方程可得，然后可得.【详解】

如图，以A为坐标原点建立平面直角坐标系，不妨设，则，则设，则∵，∴，∴整理得，因为，所以故选：AB.三．填空题12．已知非零向量，的夹角为，，，则______．【答案】9【分析】根据数量积的定义结合数量积的运算律，即可求得答案.【详解】由及，夹角为可知，又，解得，则，故，故答案为：913．某园区有一块三角形空地（如图），其中，现计划在该空地上划分三个区域种植不同的花卉，若要求，则的最小值为______．

【答案】【分析】根据可知点的轨迹，再利用正弦定理以及圆周角和圆心角之间的关系，易知当为与圆的交点时，取最小值，再利用余弦定理即可求得结果.【详解】如图，因为，所以在如图所示的圆上，圆的半径为，

由圆周角的性质可得，连接，可得，所以当为与圆的交点时，取最小值，即，又，在中，，根据余弦定理可知，所以的最小值为．故答案为：14．正方体的棱长为1，当，，分别是，，的中点时，平面截正方体所截面的周长为___【答案】【分析】先作出平面截正方体所得截面，进而求得该截面的周长.【详解】连接并延长交延长线于Q，则.过Q作，交于H，交于K，则，过K作，交于T，连接，则六边形即为平面截正方体所得截面，又均为棱的中点，则截面的周长为故答案为：四．解答题：15．某校为了解高一学生在五一假期中参加社会实践活动的情况，抽样调查了其中的100名学生，统计他们参加社会实践活动的时间（单位：小时），并将统计数据绘制成如图的频率分布直方图．(1)估计这100名学生在这个五一假期中参加社会实践活动的时间的众数，中位数，平均数；(2)估计这100名学生在这个五一假期中参加社会实践活动的时间的75百分位数（结果保留两位小数）．【答案】(1)众数是20；中位数是；平均数为20.32(2)23.86【分析】（1）根据频率分布直方图求出的值，然后根据众数、中位数、平均数的概念计算；（2）根据75百分位数确定所在区间，再计算即可.【详解】（1）由频率分布直方图可看出最高矩形底边上的中点值为20，故众数是20；由，解得，∵，且，∴中位数位于之间，设中位数为，，解得，故中位数是；平均数为；（2）75百分位数即为上四分位数，又∵，，∴上四分位数位于之间，设上四分位数为，则，解得．16．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．满足．(1)求角B的大小；(2)设，．（ⅰ）求c的值；（ⅱ）求的值．【答案】(1)(2)（ⅰ）；（ⅱ）【分析】（1）利用正弦定理和诱导公式求解即可.（2）（ⅰ）利用余弦定理求解即可；（ⅱ）利用二倍角公式，两角和的正弦定理结合即可求解.【详解】（1）由，根据正弦定理得，,可得，因为，故，则，又，所以.（2）由（1）知，，且，，（ⅰ）则，即，解得（舍），.故.（ⅱ）由，得，解得，则，则，，则.17．如图，在中，，点是线段上一点.(1)若点是线段的中点，试用和表示向量；(2)若，求实数的值.【答案】(1)(2).【分析】（1）根据向量的线性运算法则求解；（2）根据向量线性运算利用表示，结合平面向量基本定理列方程求的值.【详解】（1）因为点是线段的中点，且，所以.所以；（2）设，则，又，所以，因为，所以，所以.18．乒乓球被称为中国的“国球”．20世纪60年代以来，中国乒乓球选手取得世界乒乓球比赛的大部分冠军，甚至多次包揽整个赛事的所有冠军．乒乓球比赛每局采用11分制，每赢一球得1分，一局比赛开始后，先由一方发2球，再由另一方发2球，依次每2球交换发球权，若其中一方先得11分且至少领先2分即为胜方，该局比赛结束；若双方比分打成平后，发球权的次序仍然不变，但实行每球交换发球权，先连续多得2分的一方为胜方，该局比赛结束．现有甲、乙两人进行乒乓球单打比赛，假设甲发球时甲得分的概率为，乙发球时甲得分的概率为，各球的结果相互独立，已知某局比赛甲先发球．(1)求该局比赛中，打完前4个球时甲得3分的概率；(2)求该局比赛结束时，双方比分打成且甲获胜的概率；(3)若在该局双方比分打成平后，两人又打了X个球该局比赛结束，求事件“”的概率．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）分类讨论，甲失一球，这球有是甲发球还是是乙发球，结合独立事件概率乘法公式分析运算；（2）分类讨论，甲失一球，这球有是甲发球还是是乙发球，结合独立事件概率乘法公式分析运算；（3）由题意可得：或，分类讨论，甲赢得比赛还是是乙赢得比赛，结合独立事件概率乘法公式分析运算.【详解】（1）若打完前4个球时甲得3分，则甲失一球，这球有可能是甲发球也可能是乙发球，所以打完前4个球时甲得3分的概率.（2）若双方比分打成且甲获胜，则甲失一球，这球有可能是甲发球也可能是乙发球，且乙最后一次发球甲胜，双方比分打成且甲获胜的概率.（3）由题意可得：若，则或，可得；；所以.19．如图，在多面体中，四边形与均为直角梯形，，平面，，，G在上，且．(1)求证：平面；(2)若与所成的角为，求多面体的体积．【答案】(1)证明见解析(2)．【分析】（1）延长交于点M，连接，根据已知求得，易证为平行四边形，有，则为平行四边形，即，最后应用线面平行的判定证结论；（2）取的中点N，可得，在平面内，过G作FB的平行线交AB于P，得，证明为的中位线，由棱台结构特征确定为棱