2025年下学期高中数学高考超常发挥试卷

2025年下学期高中数学高考超常发挥试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题6分，共60分）已知集合A={x|log₂(x-1)≤2}，B={x|x²-4x-12≤0}，则A∩B=（）A.[1,6]B.(1,6]C.[2,6]D.(2,6]某外卖平台为优化配送路径，将配送区域划分为边长为1km的正方形网格，某骑手从原点(0,0)出发，沿网格线配送至点(4,3)，若每次只能向右或向上移动1km，则不同的最短路径共有（）A.35条B.42条C.56条D.70条函数f(x)=eˣ-2x+a在区间[0,2]上有两个零点，则实数a的取值范围是（）A.(2-2ln2,2]B.[2-2ln2,2)C.(2-2ln2,2)D.[2-2ln2,2]我国古代数学名著《九章算术》中记载"今有委粟平地，下周一十二丈，高二丈，问积及为粟几何？"其意思为"现将谷子堆放在平地上，形成一个圆锥形谷堆，底面圆的周长为12丈，高为2丈，问这堆谷子的体积和质量各是多少？"已知π取3，1斛谷子的体积约为2.7立方丈，1斛谷子的质量约为60千克，则这堆谷子的质量约为（）A.5333千克B.6667千克C.8000千克D.10667千克已知向量a=(1,2),b=(m,1)，且(a+b)⊥(a-b)，则m=（）A.-2B.2C.-1D.1某医疗团队为研究某种疾病的诊断方法，已知在患有该疾病的人群中，有90%的人能通过某种检测被确诊，而在未患有该疾病的人群中，有5%的人会被误诊为患有该疾病.若该疾病在人群中的发病率为0.5%，则在一次检测中被确诊为患有该疾病的人，实际上未患有该疾病的概率为（）A.1/19B.1/20C.1/21D.1/22已知复数z满足|z-2i|=1，且Re(z)≥1，则|z|的取值范围是（）A.[√3,3]B.[√3,√5]C.[√5,3]D.[2,3]已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π)的部分图像如图所示，其中f(0)=1/2，f(π/3)=0，则函数f(x)的反函数f⁻¹(x)在区间[-1,1]上的最大值为（）A.π/3B.2π/3C.πD.4π/3已知双曲线C:x²/a²-y²/b²=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F₁,F₂，过F₂的直线与双曲线C的右支交于A,B两点，若|AF₁|=3|AF₂|，且∠F₁AF₂=60°，则双曲线C的离心率为（）A.√7/2B.√13/3C.√10/2D.√13/2某科技公司研发了一款智能机器人，其电池续航时间y（单位：小时）与行驶速度x（单位：km/h）之间的关系可以用函数y=kx/(x²+bx+c)来模拟，其中k,b,c为常数.已知当行驶速度为10km/h时，续航时间为5小时；当行驶速度为20km/h时，续航时间为8小时；当行驶速度为30km/h时，续航时间为6小时.则该机器人的最佳行驶速度（即续航时间最长时的行驶速度）为（）A.15km/hB.20km/hC.25km/hD.30km/h二、填空题（本大题共6小题，共36分）已知函数f(x)=x³-3x²+2x，则函数f(x)的反函数f⁻¹(x)在点(0,0)处的切线方程为________.已知数列{aₙ}满足a₁=1，aₙ₊₁=2aₙ+1，则数列{aₙ}的前n项和Sₙ=________.某学校为了解学生的体育锻炼情况，随机抽取了100名学生进行调查，得到如下列联表：性别经常锻炼不经常锻炼合计男401050女302050合计7030100经计算K²=100×(40×20-30×10)²/(50×50×70×30)≈4.762，则有________%的把握认为学生的性别与体育锻炼情况有关.（参考数据：P(K²≥3.841)=0.05，P(K²≥5.024)=0.025）已知正四棱锥P-ABCD的底面边长为2，侧棱长为√5，以点P为球心，半径为2的球面与正四棱锥的表面相交，则交线的总长度为________.已知抛物线C:y²=4x的焦点为F，准线为l，过点F的直线与抛物线C交于A,B两点，过点A作准线l的垂线，垂足为M，若|AF|=3，则△AFM的面积为________.某企业为提高生产效率，对生产流程进行优化改造，需要投入固定成本50万元，此外，每生产x千件产品，还需投入可变成本C(x)万元，且C(x)=x²/2+2x，若每件产品的售价为10元，则该企业至少生产________千件产品，才能实现盈利.三、填空题（本大题共6小题，共70分）（本小题满分10分）已知数列{aₙ}满足a₁=1，aₙ₊₁=2aₙ+2ⁿ.（1）证明：数列{aₙ/2ⁿ}是等差数列；（2）求数列{aₙ}的前n项和Sₙ.（本小题满分12分）在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，且满足b²+c²-a²=bc.（1）求角A的大小；（2）若a=√3，b+c=3，求△ABC的面积.（本小题满分12分）如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC=BC=AA₁=2，∠ACB=90°，D,E分别是A₁B₁,BB₁的中点.（1）求证：CE⊥平面A₁CD；（2）求二面角A₁-CD-E的余弦值.（本小题满分12分）某电商平台为了提升用户体验，对商品推荐算法进行优化，现从平台用户中随机抽取1000人，记录其每天使用平台的时长x（单位：分钟），得到如下频率分布直方图：（1）求频率分布直方图中a的值；（2）估计这1000名用户每天使用平台的平均时长；（3）为进一步优化算法，平台决定从每天使用时长在[120,150)和[150,180]的用户中，用分层抽样的方法抽取10人进行深度访谈，再从这10人中随机抽取3人赠送礼品，求这3人中至少有1人每天使用时长在[150,180]的概率.（本小题满分12分）已知椭圆C:x²/a²+y²/b²=1(a>b>0)的离心率为√3/2，且过点(√3,1/2).（1）求椭圆C的标准方程；（2）过点P(0,1)的直线l与椭圆C交于A,B两点，若以AB为直径的圆过点Q(1,0)，求直线l的方程.（本小题满分12分）已知函数f(x)=lnx+ax²-(2a+1)x+1(a>0).（1）讨论函数f(x)的单调性；（2）若函数f(x)有两个极值点x₁,x₂(x₁<x₂)，且f(x₂)-f(x₁)<m恒成立，求实数m的取值范围.四、解答题（本大题共6小题，共70分）（本小题满分10分）某物流公司为提高运输效率，计划对运输车辆进行更新换代，现有A,B两种型号的新能源车辆可供选择，A型车每辆价格为15万元，每年的运营成本为2万元；B型车每辆价格为20万元，每年的运营成本为1.5万元.假设两种车辆的使用年限均为10年，10年后的残值均为购车价格的10%，若该公司要求的年投资回报率为8%，问：（1）购买A型车和B型车的年均成本分别为多少万元？（精确到0.01万元）（2）从经济性角度考虑，该公司应选择哪种型号的车辆？（参考数据：(1+0.08)¹⁰≈2.1589，(1+0.08)⁻¹⁰≈0.4632）（本小题满分12分）某城市为缓解交通拥堵，计划在市中心区域修建一条地下通道，为了解市民对该项目的支持度，随机抽取了1000名市民进行调查，得到如下列联表：年龄段支持不支持合计18-35岁30010040036-55岁25015040055岁以上100100200合计6503501000（1）能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为市民对该项目的支持度与年龄段有关？（2）现从支持该项目的市民中按年龄段分层抽样的方法抽取13人，再从这13人中随机抽取3人作为市民代表参加项目听证会，求这3人中至少有1人来自55岁以上年龄段的概率.（参考数据：K²=n(ad-bc)²/[(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)]，P(K²≥6.635)=0.01，P(K²≥10.828)=0.001）（本小题满分12分）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，∠BAD=60°，PA⊥底面ABCD，PA=2，E是PC的中点.（1）求证：平面BDE⊥平面ABCD；（2）求二面角A-BE-D的正弦值；（3）在线段PC上是否存在一点F，使得直线BF与平面BDE所成角的正弦值为√3/4？若存在，求出PF/PC的值；若不存在，说明理由.（本小题满分12分）已知函数f(x)=eˣ-ax²-bx-1，其中a,b∈R.（1）若a=0,b=1，求函数f(x)的单调区间；（2）若f(1)=0，且函数f(x)在区间(0,1)内有零点，求a的取值范围；（3）若a=1，b=0，证明：对任意的x>0，f(x)≥x³.（本小题满分12分）已知抛物线C:y²=4x的焦点为F，准线为l，过点F的直线与抛物线C交于A,B两点，过点A,B分别作准线l的垂线，垂足分别为M,N.（1）求证：以MN为直径的圆与x轴相切；（2）设直线AB与圆x²+y²=1交于P,Q两点，求|PQ|·|AB|的最小值.（本小题满分12分）某科研团队为研究某种新型材料的抗压强度，对该材料进行了多次试验，得到抗压强度X（单位：MPa）服从正态分布N(μ,σ²)，其中μ,σ²均未知.现从试验数据中随机抽取16个样本，得到样本均值x̄=50，样本标准差s=4.（1）求μ的置信度为0.95的置信区间；（2）若该材料的抗压强度达到45MPa以上为合格，根据（1）的结果，能否认为该材料的合格率超过95%？（参考数据：t₀.₀₂₅(15)=2.1315，t₀.₀₂₅(16)=2.1199，Φ(1.25)=0.8944，Φ(1.645)=0.95，Φ(1.96)=0.975）五、开放探究题（本大题共1小题，共15分）某城市为推动绿色出行，计划在市区范围内建设公共自行车租赁系统，为合理规划站点布局，需要考虑多个因素：（1）站点覆盖范围：每个站点的服务半径为500米；（2）人口密度：人口密集区域应适当增加站点数量；（3）交通流量：交通枢纽周边应设置站点；（4）建设成本：每个站点的建设成本为10万元，占地面积为50平方米.现有A,B两个方案可供选择：方案A：在市中心区域（边长为4km的