河南省安阳五中教育集团2024-2025学年九年级上学期竞赛数学试卷（12月份）（含答案）

2024-2025学年河南省安阳五中教育集团九年级（上）竞赛数学试卷（12月份）一、单选题（每题3分，共30分）1．（3分）《国家宝藏》节目立足于中华文化宝库资源，通过对文物的梳理与总结，演绎文物背后的故事与历史，让更多的观众走进博物馆，让一个个馆藏文物鲜活起来．下面四幅图是我国一些博物馆的标志，其中是中心对称图形的是（）A． B． C． D．2．（3分）如图，AB与CD相交于点O，添加一个条件，不能判断△AOC∽△BOD的是（）A．∠A＝∠B B．∠C＝∠D C．OAOB=OC3．（3分）在不透明布袋中装有除颜色外完全相同的红、白玻璃球，已知白球有6个．同学们通过多次试验后发现摸到红色球的频率稳定在0.25左右，则袋中红球个数可能为（）A．1 B．2 C．3 D．44．（3分）如图所示，AB是⊙O的直径，C，D为圆上两点，若∠D＝30°，则∠AOC等于（）A．60° B．90° C．120° D．150°5．（3分）我国的乒乓球“梦之队”在巴黎奥运赛场上大放异彩，奥运会乒乓球比赛的第一阶段是团体赛，赛制为单循环赛（每两队之间都赛一场）．计划分为4组，每组安排28场比赛，设每组邀请x个球队参加比赛，可列方程得（）A．x（x+1）＝28 B．x（x﹣1）＝28 C．12x(x+1)=28 6．（3分）在同一平面直角坐标系中，将函数y＝2x2+4x﹣1的图象向右平移2个单位，再向下平移1个单位长度，得到新图象的顶点坐标是（）A．（﹣3，﹣4） B．（1，﹣4） C．（1，﹣3） D．（﹣1，﹣3）7．（3分）如图，平行四边形ABCD中，点E为AD边中点，连接AC、BE交于点F，若△AEF的面积为关于x的一元二次方程x2+x﹣2＝0的解，则△FBC的面积为（）A．4 B．5 C．6 D．78．（3分）若点A（﹣3，a），B（﹣1，b），C（2，c）都在反比例函数y=-k2-1x函数的图象上，则aA．b＜a＜c B．c＜b＜a C．a＜b＜c D．c＜a＜b9．（3分）如图，直径AB为3的半圆，绕A点逆时针旋转60°，此时点B到了点B′处，则图中阴影部分的面积是（）A．3π B．3π2 C．6π D．2410．（3分）如图，一组等腰三角形的底边均在x轴的正半轴上，两腰的交点在反比例函数y=1x(x＞0)的图象上，且它们的底边都相等．若记△OA1B1，△A1A2B2，△A2A3B3，…，△A2023A2024B2024的面积分别为S1，S2，S3，…，S2024，则A．14045 B．14046 C．14047二、填空题（每题3分，共15分）11．（3分）已知关于x的方程ax2+2x﹣3＝0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是．12．（3分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知函数y1=4x(x＞0)和y2=-2x(x＜0)，点M为y轴正半轴上一点，N为x轴上一点，过M作y轴的垂线分别交y1、y2的图象于A、13．（3分）用一个半径为30cm，圆心角为60°的扇形纸片围成一个圆锥形纸帽，则纸帽的底面圆半径为cm．14．（3分）如图，抛物线y＝ax2+c与直线y＝mx+n交于两点A（﹣1，p），B（4，q），则不等式ax2﹣mx+c≤n的解集是．15．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，点D为斜边AB的中点，点P为BC边上的一动点，沿着PD所在直线折叠△PBD，得到△PB′D，当DB′垂直于Rt△ABC的直角边时，PB的长度为．三、解答题（共75分）16．（8分）选择适当的方法解下列方程：（1）3x（x﹣1）＝2x﹣2；（2）x2﹣5x+8＝0．17．（9分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标为A（﹣2，3），B（﹣3，2），C（﹣1，1）．（1）将△ABC绕原点O顺时针旋转90°得到△A1B1C1，请画出旋转后的△A1B1C1；（2）画出△ABC绕原点O旋转180°后得到的△A2B2C2；（3）若△A′B′C′与△ABC是中心对称图形，则对称中心的坐标为．18．（9分）为了培养青少年体育兴趣、体育意识，某校初中开展了“阳光体育活动”，决定开设篮球、足球、乒乓球、羽毛球、排球这五项球类活动，为了了解学生对这五项活动的喜爱情况，随机调查了一些学生（每名学生必选且只能选择这五项活动中的一种）．根据以下统计图提供的信息，请解答下列问题：（1）本次被调查的学生有名，补全条形统计图；（2）扇形统计图中“羽毛球”对应的扇形的圆心角度数；（3）学校准备推荐甲、乙、丙、丁四名同学中的2名参加全市中学生篮球比赛，则甲和乙同学同时被选中的概率是多少？19．（9分）如图，一次函数y＝ax+b的图象与反比例函数y=kx的图象交于A，B两点，与y轴交于点C，已知点A坐标为（3，1），点B的坐标为（﹣2，（1）求反比例函数的解析式和一次函数的解析式；（2）观察图象直接写出ax+b＜kx时x的取值范围是（3）点D是y轴上一点，连接AD，当△AOD的面积是△AOC面积的2倍时，请直接写出点D的坐标．20．（9分）如图1，独轮车俗称“手推车”，又名辇、鹿车等，是交通运输工具史上的一项重要发明，至今在我国农村和一些边远地区仍然广泛使用．如图2所示为从独轮车中抽象出来的几何模型．在△ABC中，以△ABC的边AB为直径作⊙O，交AC于点P，PD是⊙O的切线，且PD⊥BC，垂足为点D．（1）求证：∠A＝∠C；（2）若PD＝2BD＝4，求⊙O的半径．21．（10分）我市某超市销售一种文具，进价为5元/件，售价为6元/件时，当天的销售量为100件．在销售过程中发现：售价每上涨1元，当天的销售量就减少10件．设当天销售单价统一为x元/件（x≥6），当天销售利润为y元．（1）求y与x的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）；（2）若当天销售利润恰好240元，求当天销售单价；（3）若每件文具的利润不超过80%，要想当天获得利润最大，每件文具售价为多少元？并求出最大利润．22．（10分）驱动任务：“过水门”是国际民航中高级别的礼仪，因两辆（或以上）的消防车在飞机两侧喷射水柱出现一个“水门”状的效果而得名．学校计划在运动会开幕式上举行彩旗队“过水门”仪式，数学研习小组协助彩旗队进行队列设计．研究步骤：（1）如图，研习小组测得表演场地宽度AB＝16米，在A，B处各安装一个接通水源的喷泉喷头，将出水口高度AM，BN都设为1米，调整出水速度与角度，使喷出的两条抛物线形水柱形状相同，并在抛物线顶点C处相遇，组成一条完整的抛物线形水门，且点C到地面的距离为5米；（2）研习小组了解到彩旗队的队列设置要求，每两列之间保持相同的间距，队员所持彩旗的顶端离地面的距离保持3.6米．问题解决：请根据上述研究步骤与相关数据，完成下列任务：（1）以线段AB所在直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，请在图中画出坐标系，并求出“过水门”仪式中抛物线的函数表达式；（2）为保证“水门”的水柱不被破坏，要求每排最外侧两列同学所持彩旗顶端与水柱间的铅直距离为0.4米，若彩旗队要排成6列纵队，请你通过计算，确定彩旗队“过水门”时，每相邻两列纵队的间距．23．（11分）综合与实践【问题背景】如图（1），在矩形ABCD中，AB＝5，BC＝4，点E为边BC上一点，沿直线DE将矩形折叠，使点C落在AB边上的点C′处．（1）【问题解决】填空：AC′的长为；（2）如图（2），展开后，将△DC′E沿线段AB向右平移，使点C′的对应点与点B重合，得到△D′BE′，D′E′与BC交于点F，求线段EF的长．（3）【拓展探究】如图（3），在△DC′E沿射线AB向右平移的过程中，设点C′的对应点为C″，则当△D′C″E′在线段BC上截得的线段PQ的长度为1时，直接写出平移的距离．

2024-2025学年河南省安阳五中教育集团九年级（上）竞赛数学试卷（12月份）参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）题号12345678910答案BDBCDBADBC一、单选题（每题3分，共30分）1．（3分）《国家宝藏》节目立足于中华文化宝库资源，通过对文物的梳理与总结，演绎文物背后的故事与历史，让更多的观众走进博物馆，让一个个馆藏文物鲜活起来．下面四幅图是我国一些博物馆的标志，其中是中心对称图形的是（）A． B． C． D．【解答】解：A、不是中心对称图形，故选项错误，不符合题意；B、是中心对称图形，故选项正确，符合题意；C、不是中心对称图形，故本选项错误，不符合题意；D、不是中心对称图形，故本选项错误，不符合题意．故选：B．2．（3分）如图，AB与CD相交于点O，添加一个条件，不能判断△AOC∽△BOD的是（）A．∠A＝∠B B．∠C＝∠D C．OAOB=OC【解答】解：在△AOC和△BOD中，∠AOC＝BOD，A、∠A＝∠B，∴△AOC∽△BOD，故A不符合题意；B、∠C＝∠D，∴△AOC∽△BOD，故B不符合题意；C、OAOB=OCOD，∴△AOC∽△D、OAOB=ACBD，不能判定△AOC∽△故选：D．3．（3分）在不透明布袋中装有除颜色外完全相同的红、白玻璃球，已知白球有6个．同学们通过多次试验后发现摸到红色球的频率稳定在0.25左右，则袋中红球个数可能为（）A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：设红球个数为x个，根据题意得：xx+6解得：x＝2，经检验x＝2是原方程的解，则袋中红球个数可能为2个．故选：B．4．（3分）如图所示，AB是⊙O的直径，C，D为圆上两点，若∠D＝30°，则∠AOC等于（）A．60° B．90° C．120° D．150°【解答】解：∵∠D＝30°，∴∠BOC＝60°，∴∠AOC＝180°﹣60°＝120°，故选：C．5．（3分）我国的乒乓球“梦之队”在巴黎奥运赛场上大放异彩，奥运会乒乓球比赛的第一阶段是团体赛，赛制为单循环赛（每两队之间都赛一场）．计划分为4组，每组安排28场比赛，设每组邀请x个球队参加比赛，可列方程得（）A．x（x+1）＝28 B．x（x﹣1）＝28 C．12x(x+1)=28 【解答】解：根据题意得：12x（x故选：D．6．（3分）在同一平面直角坐标系中，将函数y＝2x2+4x﹣1的图象向右平移2个单位，再向下平移1个单位长度，得到新图象的顶点坐标是（）A．（﹣3，﹣4） B．（1，﹣4） C．（1，﹣3） D．（﹣1，﹣3）【解答】解：∵y＝2x2+4x﹣1＝2（x2+2x+1）﹣2﹣1＝2（x+1）2﹣3，∴顶点坐标为（﹣1，﹣3），∵图象向右平移2个单位，再向下平移1个单位长度，∴得到新图象的顶点坐标是（1，﹣4），故选：B．7．（3分）如图，平行四边形ABCD中，点E为AD边中点，连接AC、BE交于点F，若△AEF的面积为关于x的一元二次方程x2+x﹣2＝0的解，则△FBC的面积为（）A．4 B．5 C．6 D．7【解答】解：x2+x﹣2＝0，（x+2）（x﹣1）＝0，x1＝﹣2（舍去），x2＝1，则△AEF的面积为1，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴△AFE∽△CFB，∵点E为AD边中点，∴AE=12AD=∴S△AEFS△CBF=（AEBC解得，△FBC的面积＝4，故选：A．8．（3分）若点A（﹣3，a），B（﹣1，b），C（2，c）都在反比例函数y=-k2-1x函数的图象上，则aA．b＜a＜c B．c＜b＜a C．a＜b＜c D．c＜a＜b【解答】解：∵﹣k2﹣1＜0，点A，B同象限，y随x的增大而增大，∵﹣3＜﹣1，∴0＜a＜b，又∵C（2，c）在反比例函数y=-∴c＜0，∴c＜a＜b．故选：D．9．（3分）如图，直径AB为3的半圆，绕A点逆时针旋转60°，此时点B到了点B′处，则图中阴影部分的面积是（）A．3π B．3π2 C．6π D．24【解答】解：阴影部分的面积＝以AB′为直径的半圆的面积+扇形ABB′的面积﹣以AB为直径的半圆的面积＝扇形ABB′的面积．则阴影部分的面积是：60π×32故选：B．10．（3分）如图，一组等腰三角形的底边均在x轴的正半轴上，两腰的交点在反比例函数y=1x(x＞0)的图象上，且它们的底边都相等．若记△OA1B1，△A1A2B2，△A2A3B3，…，△A2023A2024B2024的面积分别为S1，S2，S3，…，S2024，则A．14045 B．14046 C．14047【解答】解：分别过点B1，B2，B3，•••，Bn作x轴的垂线，垂足分别为C1，C2，C3，•••，∁n．设B1(m，1m)，则C1（m，0），C2（3m，0），C3（5m，0），•••，∁nS1S2S3S4…，依次类推，Sn∴S2024故选：C．二、填空题（每题3分，共15分）11．（3分）已知关于x的方程ax2+2x﹣3＝0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是a＞-13且a【解答】解：由关于x的方程ax2+2x﹣3＝0有两个不相等的实数根得Δ＝b2﹣4ac＝4+4×3a＞0，解得a＞-则a＞-13且故答案为a＞-13且12．（3分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知函数y1=4x(x＞0)和y2=-2x(x＜0)，点M为y轴正半轴上一点，N为x轴上一点，过M作y轴的垂线分别交y1、y2的图象于A、【解答】解：如图，过N作NC⊥AB于点C，则NC＝OM．设OM＝a（a＞0），则NC＝a．令y＝a，则x=4∴A（4a，a∴AN=4令y＝a，则x=-2∴B（-2a，∴BM=2∴AB＝AM+BM=4∴△ABN的面积为：12×AB×NC故答案为：3．13．（3分）用一个半径为30cm，圆心角为60°的扇形纸片围成一个圆锥形纸帽，则纸帽的底面圆半径为5cm．【解答】解：∵扇形纸片的半径为30cm，圆心角为60°，∴其弧长为：60π×30180=10∵扇形纸片的弧长等于围成的圆锥的底面周长，∴2πR＝10π，解得R＝5．故答案为：5．14．（3分）如图，抛物线y＝ax2+c与直线y＝mx+n交于两点A（﹣1，p），B（4，q），则不等式ax2﹣mx+c≤n的解集是﹣1≤x≤4．【解答】解：∵抛物线y＝ax2+c与直线y＝mx+n交于A（﹣1，p），B（4，q）两点，∴﹣m+n＝p，4m+n＝q，∵ax2﹣mx+c≤n，∴ax2+c≤mx+n，∴由图可知﹣1≤x≤4．故答案为：﹣1≤x≤4．15．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，点D为斜边AB的中点，点P为BC边上的一动点，沿着PD所在直线折叠△PBD，得到△PB′D，当DB′垂直于Rt△ABC的直角边时，PB的长度为52或5【解答】解：∵∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，∴AB=A∵点D为AB的中点，∴AD＝BD=12如图1，DB′⊥BC，垂足为点E，则∠DEB＝∠PEB′＝90°，∵∠DEB＝∠C＝90°，∴DE∥AC，∴CEBE∴CE＝BE=12∴DE=12由折叠得B′D＝BD＝5，∴EB′＝B′D﹣DE＝5﹣3＝2，∵EB′2+PE2＝PB′2，且PB′＝PB，PE＝4﹣PB，∴22+（4﹣PB）2＝PB2，解得PB=5如图2，DB′⊥AC，∵BC⊥AC，∴DB′∥BC，∴∠ADB′＝∠B，由折叠得∠B′＝∠B，∴∠B′＝∠ADB′，∴PB′∥BD，∴四边形PBDB′是平行四边形，∵B′D＝BD，∴四边形PBDB′是菱形，∴PB＝BD＝5，综上所述，PB的长为52故答案为：52三、解答题（共75分）16．（8分）选择适当的方法解下列方程：（1）3x（x﹣1）＝2x﹣2；（2）x2﹣5x+8＝0．【解答】解：（1）3x（x﹣1）＝2x﹣2，3x（x﹣1）＝2（x﹣1），3x（x﹣1）﹣2（x﹣1）＝0，（x﹣1）（3x﹣2）＝0，（x﹣1）＝0，（3x﹣2）＝0，解得：x1＝1，x2=2（2）x2﹣5x+8＝0．Δ＝25﹣32＝﹣7＜0．原方程在实数范围内无解．17．（9分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标为A（﹣2，3），B（﹣3，2），C（﹣1，1）．（1）将△ABC绕原点O顺时针旋转90°得到△A1B1C1，请画出旋转后的△A1B1C1；（2）画出△ABC绕原点O旋转180°后得到的△A2B2C2；（3）若△A′B′C′与△ABC是中心对称图形，则对称中心的坐标为（1，0）．【解答】解：（1）如图1，△A1B1C1即为所求；（2）如图2，△A2B2C2即为所求；（3）△ABC的顶点坐标为A（﹣2，3），B（﹣3，2），C（﹣1，1），△A′B′C′与△ABC是中心对称图形，连接AA′、BB′、CC′，交点为Q，如图3，观察图象可得交点Q坐标为（1，0），即对称中心的坐标为（1，0）．故答案为：（1，0）．18．（9分）为了培养青少年体育兴趣、体育意识，某校初中开展了“阳光体育活动”，决定开设篮球、足球、乒乓球、羽毛球、排球这五项球类活动，为了了解学生对这五项活动的喜爱情况，随机调查了一些学生（每名学生必选且只能选择这五项活动中的一种）．根据以下统计图提供的信息，请解答下列问题：（1）本次被调查的学生有100名，补全条形统计图；（2）扇形统计图中“羽毛球”对应的扇形的圆心角度数36°；（3）学校准备推荐甲、乙、丙、丁四名同学中的2名参加全市中学生篮球比赛，则甲和乙同学同时被选中的概率是多少？【解答】解：（1）本次被调查的学生人数为30÷30%＝100（名）．选择“足球”的人数为35%×100＝35（名）．补全条形统计图如下：（2）扇形统计图中“羽毛球”对应的扇形的圆心角度数为10100故答案为：36°．（3）画树状图如下：共有12种等可能的结果，其中甲和乙同学同时被选中的结果有2种，∴甲和乙同学同时被选中的概率为21219．（9分）如图，一次函数y＝ax+b的图象与反比例函数y=kx的图象交于A，B两点，与y轴交于点C，已知点A坐标为（3，1），点B的坐标为（﹣2，（1）求反比例函数的解析式和一次函数的解析式；（2）观察图象直接写出ax+b＜kx时x的取值范围是0＜x＜3或x（3）点D是y轴上一点，连接AD，当△AOD的面积是△AOC面积的2倍时，请直接写出点D的坐标．【解答】解：（1）把点A的坐标代入y=kx得：∴反比例函数的解析式是y=3把点B的坐标为（﹣2，m）代入y=3﹣2m＝3，解得：m=-3∴B(-2，-3把A、B两点的坐标代入y＝ax+b中得：3a+b=1-2a+b=-解得：a=1∴一次函数的解析式为：y=1（2）如图，当0＜x＜3或x＜﹣2时，一次函数y＝ax+b的图象在反比例函数y=k∴ax+b＜kx时x的取值范围是：0＜x＜3或（3）如图：当x＝0时，y=1∴点C的坐标是(0，-1∴OC=1设点D的坐标是（0，t），则OD＝|t|，∴32解得t＝1或t＝﹣1，∴点D的坐标为（0，1）或（0，﹣1）．20．（9分）如图1，独轮车俗称“手推车”，又名辇、鹿车等，是交通运输工具史上的一项重要发明，至今在我国农村和一些边远地区仍然广泛使用．如图2所示为从独轮车中抽象出来的几何模型．在△ABC中，以△ABC的边AB为直径作⊙O，交AC于点P，PD是⊙O的切线，且PD⊥BC，垂足为点D．（1）求证：∠A＝∠C；（2）若PD＝2BD＝4，求⊙O的半径．【解答】（1）证明：连接OP，如图2，∵PD是⊙O的切线，∴OP⊥PD，∵PD⊥BC，∴OP∥BC，∴∠OPA＝∠C，∵OA＝OP，∴∠OPA＝∠A，∴∠A＝∠C；（2）解：连接PB，如图2，在Rt△PBD中，∵PD＝2BD＝4，∴PB=22+∵AB为直径，∴∠APB＝90°，∵∠BDP＝∠BPC，∠DBP＝∠PBC，∴△BDP∽△BPC，∴BP：BC＝BD：BP，即25：BC＝2：25，解得BC＝10，∵∠A＝∠C，∴BA＝BC＝10，∴⊙O的半径为5．21．（10分）我市某超市销售一种文具，进价为5元/件，售价为6元/件时，当天的销售量为100件．在销售过程中发现：售价每上涨1元，当天的销售量就减少10件．设当天销售单价统一为x元/件（x≥6），当天销售利润为y元．（1）求y与x的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）；（2）若当天销售利润恰好240元，求当天销售单价；（3）若每件文具的利润不超过80%，要想当天获得利润最大，每件文具售价为多少元？并求出最大利润．【解答】解：（1）由题意得：y＝（x﹣5）[100﹣10（x﹣6）]＝﹣10x2+210x﹣800，答：y与x之间的函数关系式为y＝﹣10x2+210x﹣800；（2）当y＝240时，即﹣10x2+210x﹣800＝240，解得x1＝8，x2＝13，答：要使当天的销售利润为240元，当天的售价为8元或13元；（3）∵每件文具利润不超过80%，∴x-55解得：x≤9，∴文具的销售单价为6≤x≤9，由（1）得y＝﹣10x2+210x﹣800＝﹣10（x﹣10.5）2+302.5，∵﹣10＜0，∴当x＜10.5时，y随着x的增大而增大，∵6≤x≤9，∴当x＝9时，取得最大值，此时y＝﹣10（9﹣10.5）2+302.5＝280，答：每件文具售价为9元时，最大利润为280元．22．（10分）驱动任务：“过水门”是国际民航中高级别的礼仪，因两辆（或以上）的消防车在飞机两侧喷射水柱出现一个“水门”状的效果而得名．学校计划在运动会开幕式上举行彩旗队“过水门”仪式，数学研习小组协助彩旗队进行队列设计．研究步骤：（1）如图，研习小组测得表演场地宽度AB＝16米，在A，B处各安装一个接通水源的喷泉喷头，将出水口高度AM，BN都设为1米，调整出水速度与角度，使喷出的两条抛物线形水柱形状相同，并在抛物线顶点C处相遇，组成一条完整的抛物线形水门，且点C到地面的距离为5米；（2）研习小组了解到彩旗队的队列设置要求，每两列之间保持相同的间距，队员所持彩旗的顶端离地面的距离保持3.6米．问题解决：请根据上述研究步骤与相关数据，完成下列任务：（1）以线段AB所在直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，请在图中画出坐标系，并求出“过水门”仪式中抛物线的函数表达式；（2）为保证“水门”的水柱不被破坏，要求每排最外侧两列同学所持彩旗顶端与水柱间的铅直距离为0.4米，若彩旗队要排成6列纵队，请你通过计算，确定彩旗队“过水门”时，每相邻两列纵队的间距．【解答】解：（1）由题意，建立如图所示的平面直角坐标系，设所求抛物线的函数表达式为y＝ax2+c，由题可知，AB＝16，OA＝OB，BN＝1，OC＝5，∴点N的坐标为（8，1），点C的坐标为（0，5）