5年（2021-2025）上海高考数学真题分类汇编：专题07 函数的应用 原卷版

专题07函数的应用

考点五年考情（2021-2025）命题趋势

函数零点的定义上海高考数学函数的应用命题呈

2025年求函数零点或方程根的个数

（年考）

51现“基础与创新并重、实际与理论

2024年根据二次函数零点的分布求参数的范结合”的特点，未来趋势将继续强

函数零点的分布围化核心素养考查，突出导数工具的

（5年2考）2023年根据二次函数零点的分布求参数的范应用、新情境问题的设计，以及跨

围学科综合能力。备考时关注社会热

函数与方程的综点与科学前沿，提升将数学知识应

2021年函数与方程的综合应用用于实际问题的素养。

合应用（5年1考）

考点01函数零点的定义

1．（2025·上海·高考真题）已知函数yf(x)的定义域为R．对于正实数a，定义集合Ma{x∣f(xa)f(x)}．

π

(1)若f(x)sinx，判断是否是M中的元素，请说明理由；

3π

x2,x0

(2)若fx,Ma，求a的取值范围；

x,x0

(3)若yf(x)是偶函数，当x(0,1]时，f(x)1x，且对任意a(0,2)，均有MaM2．写出yf(x)，

x(1,2)解析式，并证明：对任意实数c，函数yf(x)c在[3,3]上至多有9个零点．

考点02函数零点的分布

x23a1xc

2．（2023·上海·高考真题）函数fxa,cR

xa

(1)当a0时，是否存在实数c，使得fx为奇函数；

(2)若函数fx过点(1,3)，且函数f(x)图像与x轴负半轴有两个不同交点，求实数a的取值范围.

3．（2024·上海·高考真题）若fxlogax(a0,a1)．

(1)yfx过4,2，求f2x2fx的解集；

(2)存在x使得fx1、fax、fx2成等差数列，求a的取值范围．

考点03函数与方程的综合应用

4．（2021·上海·高考真题）已知函数f(x)|xa|ax.

（1）若a1，求函数的定义域；

（2）若a0，若f(ax)a有2个不同实数根，求a的取值范围；

（3）是否存在实数a，使得函数f(x)在定义域内具有单调性？若存在，求出a的取值范围.

一、单选题

1．（2025·上海徐汇·二模）已知函数yf(x)的定义域和值域都为R，且图像是一条连续不断的曲线，其导

函数yf(x)的值如下表：

x

x(,x1)1(x1,x2)x2(x2,)

f(x)＋0－0＋

设DR，若集合y|yf(x),xDa,b,c，其中a,b,c为常数，则符合要求的集合D的个数不可能是

（）

A．3B．27C．63D．343

二、填空题

2．（2025·上海·模拟预测）关于x的方程|x1||πx|π1的解集为．

5π

3．（2025·上海·三模）函数fxsinxlog2x的零点个数为

22

4．（2025·上海闵行·二模）已知数列an为等差数列，数列bn为等比数列，且a1b11，a2b2t，若

a6b638，则实数t的取值范围为．

5．（2025·上海青浦·模拟预测）道路通行能力指单位时间（1小时）内通过道路上指定断面的最大车辆数，

是度量道路疏导交通能力的指标.同时为了行驶安全，车辆之间必须保持一定的安全距离.为了研究某城市道

路通行能力，现给出如下假设：

假设1：车身长度均为4.8米；

假设2：所有车辆以相同的速度v（单位：千米／小时）匀速行驶；

假设3：安全距离d（单位：米）与车辆速度v近似满足d3.20.6522v0.01v2.

该城市道路通行能力的最大值约为.（结果保留整数）

6．（2025·上海·模拟预测）如图所示，正方形ABCD是一块边长为4的工程用料，阴影部分所示是被腐蚀的

区域，其余部分完好，曲线MN为以AD为对称轴的抛物线的一部分，DMDN3．工人师傅现要从完好

的部分中截取一块矩形原料BQPR，当其面积有最大值时，AQ的长为．

x22x,x0,

．（上海模拟预测）已知设，，若关于x的不等式

72025··fx2a0bR

x2x,x0.

f2xafxb20恰有一个整数解，则ab的取值范围是.

8．（2025·上海黄浦·二模）设a、b为常数，fxasinxasinx，若对任意的b1,2，函数yfxb

在区间0,2π上恰有4个零点，则a的取值范围是．

sin(2πx-2πa),xa

9．（2025·上海松江·二模）设aR，若函数f(x)22在区间(0,)内恰好有6个

x2(a1)xa5,xa

零点，则a的取值范围是.

ex,x0

10．（2025·上海普陀·二模）设aR，函数yf(x)的表达式为f(x)1，若函数

,x0

xa

g(x)f(x)f(x1)1恰有三个零点，则a的取值范围是.

三、解答题

ππ

11．（2025·上海松江·三模）已知函数fx4sinx0的图像相邻两个零点之间的距离为.

62

(1)求的值及fx2的解集；

33

(2)在VABC中，A为VABC的一个内角，若满足fA4，BC3，且S△，求VABC周长.

ABC4

12．（2025·上海长宁·二模）已知向量m(sinxcosx,2sinx),n(sinxcosx,3cosx),f(x)mn．

(1)求函数yf(x)的单调递减区间；

π

(2)若函数yf(x)a在区间0,上恰有2个零点，求实数a的取值范围．

2

13．（2025·上海杨浦·模拟预测）设常数aR.已知函数fx2asinxcosxcos2x.

(1)若a1，求yfx在区间π,2π上的零点；

π

(2)若yfx在0,上严格增，求a的取值范围.

6

14．（2025·上海金山·三模）如图所示是函数yFx的图象，由指数函数fxax与幂函数gxxb“拼

接”而成．

bb

(1)已知m432m，求m的取值范围；

1

(2)若方程Fx2025t2t0存在实数解，求t的取值范围．

2

a2x2x

15．（2025·上海·三模）已知函数fx,aR，

2

(1)当a1时，解不等式fx24f(4x1)；

(2)已知函数f(x)为偶函数，且函数g(x)mf(2x)f(x)在区间0,log23上有零点，求正实数m的取值范围．

16．（2025·上海杨浦·二模）已知函数yf(x)的导函数为yf(x)，若函数yf(x)的定义域为R，且不

等式f(x)f(x)对任意xR成立，则称函数yf(x)是“超导函数”.

(1)判断f(x)ex1是否为“超导函数”，并说明理由；

(2)若函数yg(x)与yh(x)都是“超导函数”，且对任意xR，都有h(x)0，g(x)0，记F(x)g(x)h(x)，

求证：函数yF(x)是“超导函数”；

(3)已知函数y(x)是“超导函数”且(1)e，若有且仅有一个实数t满足(lnt1at)elnt1at，求a的取值

范围.

17．（2025·上海黄浦·三模）已知函数yfx是定义在D上的连续函数，其导函数为yfx，函数

yfx的导函数为yfx，定义函数运算：fxfxfxfx．

1

(1)若fxx3x2，求出函数yfx的极值点x，并判断fx的符号；

300

(2)若fxlnx，aR，讨论方程afx解的个数；

(3)若Da,b，当xa,b，fx0，记fa与f(b)中较大者为MM0．证明：fxM．

x2fxfa

18．（2025·上海杨浦·模拟预测）设a2.已知fx,xR,gx,xa,.

exxa

(1)若a2，求函数ygx,xa,的值域；

k

(2)若关于x的方程fx有且仅有三个实数解，求实数k的取值范围；

2x